1、3 指数函数(二),第三章 指数函数和对数函数,学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断. 2.能借助指数函数性质比较大小. 3.会解简单的指数方程、不等式. 4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 不同底指数函数图像的相对位置,思考 y2x与y3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？,答案 经描点观察，在y轴右侧，2x3x，即y3x图像在y2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y2x在y3x图像上方,梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数
2、图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系： (1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图,知识点二 比较幂的大小,思考 若x1x2，则 与 (a0且a1)的大小关系如何？,答案 当a1时，yax在R上为增函数，所以,当0a0，且a1)，则x1，x2的大小关系如何？,答案 当f(x)在区间m，n上单调递增(减)时， 若x1，x2m，n，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2),所以，当0a0，且a1)函数的性质 (1)函数yaf(x)与函数yf(x)有 的定
3、义域 (2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0a0.1b，则ab.( ) 3.a，b均大于0且不等于1，若axbx，则x0.( ) 4.由于yax(a0且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数.( ),题型探究,类型一 解指数方程,解答,例1 解下列关于x的方程.,32x432(x2)， 2x42(x2)， x2.,(2)22x232x10.,解答,解 22x232x10， 4(2x)232x10. 令t2x(t0)，则方程可化为4t23t10，,反思与感悟 (1)af(x)b型通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换
4、元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.,跟踪训练1 解下列方程. (1)33x281；,解答,解 8134，33x234， 3x24，解得x2.,(3)52x65x50.,解答,解 令t5x，则t0， 原方程可化为t26t50， 解得t5或t1，即5x5或5x1， x1或x0.,类型二 指数函数单调性的应用,命题角度1 比较大小 例2 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.72.5,1.73；,解答,解 1.71， y1.7x在(，)上是增函数. 2.53，1.72.51.73.,(2)1.70.3,1.50.3；,解答,解 方法一 1.7
5、1.5，在(0，)上，y1.7x的图像位于y1.5x的图像的上方. 而0.30，1.70.31.50.3.,1.70.31.50.3.,(3)1.70.3,0.83.1.,解答,解 1.70.31.701,0.83.10.801， 1.70.30.83.1.,反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.,跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小. (1)0.80.1,1.250.2；,解答,解 00.81，y0.8x在R上是减函数. 0.20.1，0.80.20.80.1， 即0.80.10，且a1).,解答,解 (1)当01时，a2x1ax5
6、， 2x1x5，解得x6. 综上所述，当01时，不等式的解集为x|x6.,反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.,跟踪训练3 已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_.,解析,答案,命题角度3 与指数函数复合的函数单调性问题,例4 (1)求函数 的单调区间；,解 的定义域为R.,在(，3上，yx26x17是减少的，, 在(，3上是增加的.,在3，)上，yx26x17是增加的，, 在3，)上是减少的., 的增区间是(，3，减区间是3，).,解答,解答,又yt28t17在(0,4上是减少的， 在4，
7、)上是增加的.,当2x1x2时，,同理可得减区间是(，2.,反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x11时，y关于u为增函数； 当01时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1； 当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，).,解答,解 已知函数的定义域为x|x0.,原函数的增区间为(，0)和(0，).,达标检测,1.若 则a，b，c的大小关系是 A.abc B.abc C.acb D.bca,答案,解析,1,2,3,4,5,2.方程42x116的解是,1,2,3,4,5,答案,解析,3.函数 的递增区间为 A.(，0 B.0，) C.(1，) D.(，1),1,2,3,4,5,答案
8、,解析,f(x)的递增区间为u(x)x21的递减区间，即(，0.,4.设0a1，则关于x的不等式 的解集为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,(1，),解析 0a1，yax在R上是减函数，,又,2x23x22x22x3，解得x1.,5.若指数函数yax 在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 若0a1，则aa11，即a2a10，,1.比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn. 2.解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论. (2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解. (3)形如axbx的不等式，可借助图像求解.,规律与方法,3.(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是01时，yaf(x)与f(x)的单调性相同. 当0a1时，yaf(x)与f(x)的单调性相反. (2)研究yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.,
