1、北京市东城区 2018-2019 学年度高三综合练习（一）2019.4数学 （理科）本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1 ）已知集合 ， ， 则20Ax210BxABI（A） （B）1x 12x（C ） （D） R0（2 ）在复平面内，若复数 对应的点在第二象限，则 可以为(2)izz（A） （B） 1（C ） （D）i 2+i（3 ）在平面直角坐标系 XOY 中
2、，角 以 OX 为始边，终边经过点 ，则(,)0Pm下列各式的值一定为负的是(A) (B) sincosinco(C) (D) ta（4 ）正方体被一个平面截去 一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A）等腰三角形 （B）直角三角形（C ）平行四边形 （D）梯形（5 ）若 满足 ，则 的最大值为,xy0126yxy（A）0 （B）1 （C ）2 （D）4（6 ）已知直线 过抛物线 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于点 C.l28y若点 F 是 的 AC 中点，则线段 BC 的长为(A) (B)3 (C) (D)68363（7 ）南北朝时代的伟大数学家祖暅
3、在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 ，被平行于这12,V两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 ，则“ 相等”是12,S“ 总相等”的12,S(A) 充分而不必要条件(B) 必要 而不 充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（8 ）已知数列 满足： ， ，则下列关于 的判断正确na1a+1=(*)2nNana的是（A） 使得0,2,n（B
4、） 使得an1a（C ） 总有,*,mNmn（D） 总有0第 二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9）在 的展开式中， 的系数是 .（用数字作答）(2)x2x（ 10 ）在 中，若 ，则 .ABCcosin0bB=C（ 11）若曲线 （ 为参数）关于直线 ( 为参数)对称，:2ixay 1:2xtly则 ； 此时原点 O 到曲线 C 上点的距离的最大值为 .a（ 12）已知向量 a= ，向量 b 为单位向量，且 ab=1，则 2 b- a 与 2 b 夹角为 .(1,3)（13 ）已知函数 ，若 都有4fx121,xx成立，则 满足条件的
5、一个区间是 .1212()()()fxf（14 ）设 A,B 是 R 中两个子集，对于 ，定义：xR0,1xAm， 0,1xBn若 .则对任意 ， ；ABx(1)mn若对任意 ， ，则 A,B 的关系为 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15 ） （本 小题 13 分）已知函数 ，且 .()4cosin()6fxax()13f( ) 求 的值及 的最小正周期；)f( ) 若 在区间 上单调递增，求 的最大值.(fx0,m()fx（16 ） （本 小题 13 分）改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国 2006
6、 年 至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元） ，折线图为体育产业年增长率（） （ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 亿 元以上的概率；（ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设 X 是选出的三年 中体育产业年增长率超过 20%的年数，求 X 的分布列与数学期望；（ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年 增加值方差最大？（结论不要求证明）（17 ） （本 小题 14 分）如图，在棱长均为 2 的三棱柱 中，点 C
7、 在平面 内的射影 O 为1ABC1AB与 的 交点， E,F 分别为 的中点1AB,（ ）求证：四边形 为正方形；1AB（ ）求直线 EF 与平面 所成角的正弦值；1C（ ）在线段 上存在一点 D，使得直线 EF 与平面 没有 公共点，求 的值.1 1ACD1ADB（18 ） （本 小题 13 分）设函数 的极小值点为 .2()()lnfxax0x（I）若 ，求 的值 的单调区间；01f（II）若 ，在曲线 上是否存在点 P，使得点 P 位于 X 轴的下方？若存在，x()yx求出一个 点 P 坐标，若不存在，说明理由 .（19 ） （本 小题 13 分）已知椭圆 与 x 轴交于两点 ，与 y
8、 轴的一个交点为 B，2:1(0)4xyCm12,A的面积 为 2.12BA（ ）求椭圆 的方程及离心率；（ ）在 y 轴右侧且平行于 y 轴的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 与直l 12,P1A线 交于点 P.以原点 O 为圆心，以 为半径的圆与 x 轴交于 两点 M,N（点 M 在2P1AB点 N 的左侧） ，求 的值.MPN（20 ） （本 小题 14 分）已知 LN，数列 12:nAaL， ， ， 中的项均为不大于 L的正整数. kc表示12,na中 k的个数 ()， ， ， . 定义变换 T， 将数列 A变成数列 ()T:(),)ntt其中 12)kcctkLn.（）若 4L，
9、对数列 A： ， ， ， 3， ， 4，写出 i4)(1的值；（）已知对任意的 (1,2)k ，存在 A中的项 ma，使得 mk. 求证： iita（ ） (,)nL的充分必要条件为 (12)ijcL， ， ， ， ；（）若 ln，对于数列 12:,nAa，令 12():,nTAbL， 求证： ()iibta(1,2).in北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）B （3）D （4）A（5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共 6 小题，每
10、小题 5 分，共 30 分）（9） （10）0 34（11） （12） 31+60（13） (答案不唯一) （14） 0, ABR三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）由已知 ，得 ，解得 .()13f142a1acosin)6xx24(cos23sin1xxi()6所以 的最小正周期为 . 7 分()2sin()16fx（）由（）知 i.fx当 时，0,xm2,2,66m若 在区间 上单调递增，()f,则有 ，即 .23所以 的最大值为 . 13 分m（16） （共 13 分）解:（）设 表示事件“从 2007 年至 2016 年随机选出 1 年，该年体育
11、产业年增加值A比前一年的体育产业年增加值多 亿元以上” 50由题意可知，2009 年，2011 年，2015 年，2016 年满足要求，故 4 分42()105PA（）由题意可知， 的所有可能取值为 , , ，3，且X012； ；3610C()=P46310C()=P； . 246310X4310X所以 的分布列为：0 1 2 3P16231010故 的期望 10 分X36()005E（）从 年或 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大2089从 年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大 .13 分14F EC1 OBB1A1 Ax yzCF EC1 OBB1A1 AC（17） （共 14
12、分）解：（）连结 CO 因为 在平面 内的射影 为 与 的交点，1ABO1AB 所以 平面 由已知三棱柱 各棱长均相等，1C所以 ，且 为菱形.C由勾股定理得 ，即 . OAB1A所以四边形 为正方形. .5 分1（）由（）知 平面1, 1,.CO在正方形 中， 1如图建立空间直角坐标系 xyz由题意得，1 1(0,)(2,0)(,20),(,)(0,2),(,2)OABCEF所以 1(,),(,).A设平面 的法向量为ACxyzm则 即 10,.m20,.令 则,x,.yz于是 (1)又因为 ，32,0)EF设直线 与平面 所成角为 ，则1AC 3sin|co|15EF,m 所以直线 与平面
13、 所成角的正弦值为 . .10 分EF1A0（）直线 与平面 没有公共点，即 平面 CDEF1ACD设 点坐标为 ， 与 重合时不合题意，所以 0(,)yO0yF EC1 OBB1A1 Ax yzCD因为 ， 10(2,)ADy1(2,0)AC设 为平面 的法向量，1,xznD则 即 10.C10,2.xyz令 ，则 ， .x0y1于是 . 02(1,)n若 平面 ， .EF1ACD0EFn又 ，32(,)所以 ，解得 0y023y此时 平面 ，EF1ACD所以 ， .23423B所以 14 分1（18） （共 13 分）解：（） 定义域为 .()fx(0,).21()1(2)12axxafa
14、由已知，得 ，解得 .()0f=当 时，1a=21)( ,x当 时， ；当 时， .0x(f()0fx所以 的递减区间为 ，单调递增区间为()f0,1)1,)+所以 时函数 在 处取得极小值.1a(fx即 的极小值点为 时 的值为 . 6 分()fx a（II） 当 时，曲线 上不存在点 位于 轴的下方，理由如下：01x()yfxPx由（I）知 (21),af当 时， ，所以 在 单调递减， 不存在极小值点；ax()fx0)()fx当 时，令 ，得 .021()af1a=当 时， 在区间 上单调递减；1(,xa0x， ()f(0,)当 时， ， 在区间 上单调递增.)fx所以 是 在 上的最小
15、值.(ln1f=+-(),)由已知，若 ，则有 ，即 .0x1a当 时 ， ，且 ， .al 0所以 1().f当 时，曲线 上所有的点均位于 轴的上方.0x()yfxx故当 时，曲线 上不存在点 位于 轴的下方. 1P13 分（19） （共 13 分）解：（）因为 由椭圆方程知： ，0,m224,ambabm，所以122BASab 1.所以椭圆 的方程为 . C214xy由 ， ，得 ，2,1ab22ac3所以椭圆 的离心率为 . 5 分（）设点 , 不妨设()Pxy10200(),(),Pxy12(,0)(,A设 ， ，01:2yPAx02:2yPAx由 得002yx， 04,.Pxy即0
16、04,2=.2PPpxyxy又 ，得 ， 2014xy24()1Pxy化简得 2(0).PPx因为 ，所以 ，即1(,0)(,AB15AB(,0)(5,).MN所以点 的轨迹为双曲线 的右支， 两点恰为其焦点， 为双P24xy, 12,A曲线的顶点，且 ，所以 . 13 分124P（20） （共 14 分）解：（） 3 分1=2c32c4=1.（）由于对任意的正整数 ，存在 中的项 ，使得 . 所以()kLAmamk均不为零.12Lc， ， ，必要性：若 ，由于 ，()iita(1)n12()kcctkLn所以有 ； ； ； ；1ct 12ctL 1233tL.12()LcctLn通过解此方程
17、组，可得 成立.(12)ijcL， ， ， ，充分性：若 成立，不妨设 ，可以得到()ijcL， ， ， ， (12)ijhcL， ， ， ，. hLn所以有： ； ； ； ； .(1)htn2()htn 3()tLn()htn所以 成立. 9 分iita（）设 的所有不同取值为 ，且满足： . 12:nAaL， ， ， 12muL， ， ， 12muuL不妨设 ，1 21212:, mr r ruuu， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中 ； ； ； . 112rL=22rL12mrL=又因为 ，根据变换 有： ；nT1111()()urctuttutn；122212 12()()u
18、rctuttutLnL ;L；1212 12()mmuumr mctttt rrL 所以 1 21():,(),(),(),(),().r r rTAtttut 55555个 个 个， ，即 121.mrrrL 个个 个 ， ， ，所以 1 21112():(,),(),(,()(,),(.mrr rTAtttttLt 55555个个 个 ， ，因为 212,mr 所以有 .1 12(),()()mtrttrr 因此， 112122 2, ,rrrrbbb 1211211mmrrrrnmL 即 ():TA122,.rrr 555个个 个 ， ， ，从而 .(,)iibta因此结论成立. 14 分
