1、1.3.2 函数的极值与导数,第一章 1.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 函数的极值点和极值,观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.,思考1,答案,答案 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)； 极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).,思考2,导数为0的点一定是极值点吗？,答案 不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x
2、20，得出x0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点.,答案,梳理,(1)极小值点与极小值 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a) ，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极小值点， 叫做函数yf(x)的极小值.,0,f(x)0,点a,f(a),(2)极大值点与极大值 若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b) ，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极大值点， 叫做函数yf(x)的极大值. (3)极大值点、极
3、小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 .,0,f(x)0,f(x)0,点b,f(b),极值点,极值,知识点二 函数极值的求法与步骤,(1)求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时， 如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f(x)0，在x0的右侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是 ； 如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f(x)0，在x0的右侧函数单调递增，即f(x)0，那么f(x0)是 .,极大值,极小值,(2)求可导函数f(x)的极值的步骤 确定函数的定义区间，求导数f(x)； 求方程 的根； 列表； 利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧
4、单调性的变化情况求极值.,f(x)0,题型探究,类型一 求函数的极值点和极值,命题角度1 不含参数的函数求极值,例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图. (1)f(x)(x21)31；,解答,解 f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2. 令f(x)0，解得x11，x20，x31. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,当x0时，f(x)有极小值且f(x)极小值0. 函数的草图如图所示.,解答,令f(x)0，解得xe. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,函数的草图如图所示.,(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则. (2)求可导函数f(x)的极值的
5、步骤 求导数f(x)； 求方程f(x)0的根； 观察f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f(x)0的根和f(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.,反思与感悟,跟踪训练1 设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则,答案,解析,解析 当x0，即f(x)3时，f(x)1时，f(x)6xx(a1)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：,从上表可知，函数f(x)在(，0)上单调递增， 在(0，a1)上单
6、调递减，在(a1，)上单调递增.,(2)讨论f(x)的极值.,解 由(1)知，当a1时，函数f(x)没有极值. 当a1时，函数在x0处取得极大值1，在xa1处取得极小值1(a1)3.,解答,讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；,解答,因而f(1)1，f(1)1. 所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即xy20.,(2)求函数f(x)的极值.,解答,当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x
7、)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0， 从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.,类型二 已知函数极值求参数,例3 (1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.,2,9,答案,解析,解析 f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去. 当a2，b9时，f(x)3x212x9
8、3(x1)(x3). 当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数； 当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数. 故f(x)在x1时取得极小值，a2，b9.,(2)若函数f(x) x3x2ax1有极值点，则a的取值范围为_.,答案,解析,(，1),解析 f(x)x22xa，由题意，方程x22xa0有两个不同的实数根，所以44a0，解得a1.,引申探究 1.若例3(2)中函数的极大值点是1，求a的值.,解答,解 f(x)x22xa， 由题意得f(1)12a0， 解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值.,2.若例3(2)中函数f(x)有两个极值点，均为
9、正值，求a的取值范围.,解答,解 由题意，方程x22xa0有两个不等正根，设为x1，x2，则,解得0a1. 故a的取值范围是(0,1).,已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.,反思与感悟,跟踪训练3 (1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线 y0在原点处相切，函数的极小值为4. 求a，b，c的值；,解答,解 函数图象过原点，c0， 即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.
10、又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切， f(0)0，解得b0， f(x)3x22axx(3x2a).,a3，bc0.,求函数的递减区间.,解答,解 由知f(x)x33x2，且f(x)3x(x2). 由f(x)0，得3x(x2)0，0x1时，f(x)0，x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.故选D.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值，则a等于 A.2 B.3 C.4 D.5,解析 由题意得，f(3)3(3)22a(3)30，所以a
11、5.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为 A.12 D.a6,解析 f(x)3x22axa6. 因为f(x)既有极大值又有极小值， 所以(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,1,2,3,4,5,4.已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x 是yf(x)的极值点，则ab_.,答案,解析,解析 f(x)3x22axb，,2,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值 . (1)求a，b的值；,解答,1,2,3,4,5,(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.,解答,解 由(1)得，,又f(x)的定义域为(0，)， 令f(x)0，解得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，).,1,2,3,4,5,规律与方法,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.,本课结束,
