1、3.4 基本不等式： (一),第三章 不等式,1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 算术平均数与几何平均数,思考,如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？,|PO| .易证RtAPQRtPBQ，那么|PQ|2|AQ|QB|，即|PQ| .,答案,梳理,一般地，对于正数a，b， 为a，b的 平均数， 为a，b的 平均数.两个正数的算术平均数不小于
2、它们的几何平均数，即 .其几何意义如上图中的|PO|PQ|.,算术,几何,知识点二 基本不等式及其常见推论,思考,如何证明不等式 (a0，b0)?,答案,梳理,(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR).,题型探究,类型一 常见推论的证明,例1 证明不等式a2b22ab(a，bR).,证明,a2b22ab(ab)20， a2b22ab.,引申探究 证明不等式 (a，bR).,证明,由例1，得a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab，两边同除以4，即得 ，当且仅当ab时，取等号.,反思与感悟,(1)本例证明的不等式成立的条件是a，bR，与基本不等式不同. (2)本例使用的作差法与不等式
3、性质是证明中常用的方法.,跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.,证明,a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca， 2(a2b2c2)2(abbcca)， 即a2b2c2abbcca， 当且仅当abc时，等号成立.,类型二 用基本不等式证明不等式,例2 已知x、y都是正数. 求证：(1) 2；,证明,x，y都是正数，,当且仅当xy时，等号成立.,(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.,证明,x，y都是正数，,即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3， 当且仅当xy时，等号成立.,反思与感悟,利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)
4、策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.,跟踪训练2 已知a、b、c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.,证明,a，b，c都是正实数，,即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当abc时，等号成立.,类型三 用基本不等式比大小,例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二
5、年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)则,答案,解析,第二年的产量为AAaA(1a)， 第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2. 依题意有A(1x)2A(1a)(1b)， a0，b0，x0， (1x)2(1a)(1b) ，1x 1 ， x .,反思与感悟,基本不等式 一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.,跟踪训练3 设ab1，P ，Q ，Rlg ， 则P，Q，R的大小关系是 A.RPQ B.PQR C.QPR D.PRQ,答案,解析,ab1， lg alg b0，,当堂训练,1.已知a0，b0，则 的最小值是,1,2,3,4,答案,解析,a0，b0，,2.若0a0，b0，给出下列不等式：,答案,解析,1,2,3,4,规律与方法,1.两个不等式a2b22ab与 都是带有等号的不等式，对于 “当且仅当时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当ab时， ；另一方面：当 时，也有ab. 2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.,本课结束,
