1、14.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式A组 基础题组1.若 sin = ,则 cos =( )2 33A.- B.- C. D.23 13 13 23答案 C 由二倍角公式得 cos =1-2sin 2 =1-2 = ,选 C.2 13132.(2019衢州质检)在ABC 中,cos A= ,cos B= ,则 sin(A-B)=( )35 45A.- B. C.- D.725 725 925 925答案 B 在ABC 中,cos A= ,cos B= ,sin A= ,sin B= ,sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=35 45 45 35,故选
2、B.7253.(2018温州十校联合体期初)若 ,且 3cos 2=sin ,则 sin 2 的值为( )(2, ) (4- )A.- B. C.- D.118 118 1718 1718答案 C 由 3cos 2=sin 可得 3(cos2-sin 2)= (cos -sin ),又由 可(4- ) 22 (2, )知 cos -sin 0,所以 3(cos +sin )= ,所以 1+2sin cos = ,故 sin 2=- .故选 C.22 118 17184.已知 sin +sin =- ,则 cos =( )( +3) 435 ( +23)A.- B. C.- D.45 45 35
3、 35答案 B sin +sin = sin + cos = sin =- ,sin =- ,( +3) 32 32 3 ( +6) 435 ( +6) 45则 cos =cos =-sin = .( +23) 2+( +6) ( +6)455.已知角 , 均为锐角,且 cos = ,tan(-)=- ,则 tan =( )35 13A. B. C.3 D.913139 13答案 C cos = , 为锐角 ,sin = ,tan = ,tan =tan-(-)35 45 43= =3.tan -tan( - )1+tan tan( - )26.已知 sin = ,则 cos =( )(5-
4、)13 (2 +35)A.- B.- C. D.79 19 19 79答案 A sin = ,cos =1-2sin2 = ,cos =cos(5- )13 (25-2 ) (5- )79 (2 +35)=-cos =- ,故选 A. -(25-2 ) (25-2 ) 797.(2018宁波诺丁汉大学附中高三期中)若 sin(+x)+cos(+x)= ,则 sin 2x= , = .12 1+tanxsinxcos(x-4)答案 - ;-34 823解析 sin(+x)+cos(+x)=-sin x-cos x= ,即 sin x+cos x=- ,12 12两边平方得 sin2x+2sin
5、xcos x+cos2x= ,14即 1+sin 2x= ,则 sin 2x=- ,14 34故 =1+tanxsinxcos(x-4) 1+sinxcosx22sinx(cosx+sinx)= = = =- .2sinxcosx22sin2x22-34 8238.(2016浙江,10,6 分)已知 2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则 A= ,b= . 答案 ;12解析 2cos 2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin +1,A= ,b=1.2 (2x+4) 29.已知函数 f(x)= sin xcos x-cos2x- ,xR,则函数 f(x)
6、的最小值为 ,函数 f(x)的递增区间312为 . 答案 -2; ,kZ-6+k ,3+k 解析 f(x)= sin xcos x-cos2x- = sin 2x- - =sin -1,故最小值是-2;令-312 32 1+cos2x2 12 (2x-6)+2k2x- +2k,kZ,得- +kx +k,kZ,所以 f(x)的递增区间是2 6 2 6 3,kZ.-6+k ,3+k 10.(2019效实中学月考)如图,在矩形 ABCD中,AB=2,AD=1,在平面内将矩形 ABCD绕点 B按顺时针方向旋转 60后得到矩形 ABCD,则点 D到直线 AB的距离是 . 3答案 +12 3解析 如图所示
7、,连接 BD,BD,过 D作 DHAB 于点 H,由题意得,cosABD= ,sinABD= ,sinABD=sin(ABD+DBD)=sin = + 25 15 ( ABD+3) 15 12 25= ,故点 D到直线 AB的距离为 BDsinABD= = + .32 5+21510 5 5+21510 12 311.(2017浙江杭州二模)设函数 f(x)=2cos x(cos x+ sin x)(xR).3(1)求函数 y=f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当 x 时,求函数 f(x)的最大值.0,2解析 (1)f(x)=2cos x(cos x+ sin x)=2sin +1.3
8、 (2x+6)函数 y=f(x)的最小正周期为 .令 2k- 2x+ 2k+ (kZ),2 6 2得 k- xk+ (kZ),3 6函数 y=f(x)的单调递增区间为 (kZ).k -3,k +6(2)x ,2x+ ,0,2 6 6,76sin ,(2x+6) -12,1函数 f(x)的最大值是 3.B组 提升题组1.已知 3tan +tan2 =1,sin =3sin(2+),则 tan(+)=( )2 2A. B.- C.- D.-343 43 234答案 B 由 3tan +tan2 =1得 = ,2 2 tan21-tan2213所以 tan = ,23由 sin =3sin(2+)得
9、 sin(+)-=3sin(+)+,展开并整理得,2sin(+)cos =-4cos(+)sin ,所以 tan(+)=-2tan ,由得 tan(+)=- .432.函数 y=sin sin 的最大值为( )(x-12) (x+512)A. B. C.1 D.12 14 22答案 A y=sin sin =sin sin =sin cos = sin(x-12) (x+512) (x-12) 2-(12-x) (x-12) (12-x)12 ,所以该函数的最大值为 .(2x-6) 12 123.已知锐角 , 满足 sin =cos(+)sin ,则 tan 的最大值为( )A.1 B. C.
10、 D.24 23 34答案 B sin =cos(+)sin sin =(cos cos -sin sin )sin sin (1+sin 2)=cos cos sin tan = = (可以看作单位圆上的点(cos 2,sin cos sin1+sin2 sin23-cos22)与点(3,0)连线的斜率的相反数).根据几何意义可得 tan 的最大值为 .24(此时 tan = 22)4.(2017温州中学月考)已知向量 a=(sin +cos ,1),b=(1,-2cos ),ab= , ,则 sin 15 (0,2)= ,cos = ,设函数 f(x)=5cos(2x-)+cos 2x(x
11、R),则 f(x)取得最大值时的 x的值是 . 答案 ; ;k+ ,kZ4535 8解析 由题意知 sin +cos -2cos = ,即 sin -cos = ,故 2sin cos = ,所以(sin 15 15 2425+cos ) 2= ,因为 ,所以 sin +cos = ,所以 sin = ,cos = .又 f(x)=4sin 4925 (0,2) 75 45 352x+4cos 2x=4 sin ,故当 f(x)取最大值时,2x=2k+ ,kZ,即 x=k+ ,kZ.2 (2x+4) 4 85.已知函数 f(x)=2 sin xcos x+2cos2x+3.3(1)若 A为三角
12、形的一个内角,且 f(A)=5,求角 A的大小;5(2)若 f(x)= ,且 x ,求 cos 2x的值.285 (6,512)解析 (1) 由已知得 f(x)= sin 2x+cos 2x+4=2sin +4,sin = ,3 (2x+6) (2A+6)120A, 2A+ ,2A+ = ,A= .6 6136 656 3(2)由(1)得 sin = .x ,(2x+6)45 (6,512)cos =- .(2x+6) 35故 cos 2x=cos = .(2x+6)-64-33106.(2017浙江金华十校联考)如图,在平面直角坐标系 xOy中,以 x轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单
13、位圆分别交于点 A,B,x轴正半轴与单位圆交于点 M,已知 SOAM = ,点 B的纵坐标是 .55 210(1)求 cos(-)的值;(2)求 2- 的值.解析 (1)由 SOAM = 和 为锐角,知 sin = ,cos = .55 255 55又点 B的纵坐标是 ,sin = ,cos =- .210 210 7210cos(-)=cos cos +sin sin = + =- .55 (-7210)255 210 1010(2)cos 2=2cos 2-1=2 -1=- ,(55)2 35sin 2=2sin cos =2 = ,2 .255 55 45 (2, ) ,2- .(2, ) (-2,2)sin(2-)=sin 2cos -cos 2sin =- ,222-=- .4
