高考文科数学命题热点名师解密专题:导数与不等式的解题技巧
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1、专题 09 导数与不等式的解题技巧一知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C) _(C 为常数); ( x)_;(x 2)_ ; _;(1x)( )_x(2)初等函数的导数公式(x n)_; (sin x)_;(cos x)_; (e x)_;(a x)_ ; (ln x)_;(log ax)_ 【详解】如图所示,直线 l 与 ylnx 相切且与 yx1 平行时,切点 P 到直线 yx1 的距离|PQ| 即为所求最小值(lnx) ,令 1,得 x1.故 P(1,0)由点到直线的距离公式得 |PQ|min= ,故选 C.(三)构造函数证明不等式例 3 【山东省烟台市 2019 届高三
2、数学试卷 】已知定义在( ,0)上的函数 f(x) ,其导函数记为 f(x) ,若 成立,则下列正确的是( )A f( e)e 2f(1)0 BCe 2f(e)f(1)0 D【答案】A【分析】由题干知: ,x1 时,2f(x)xf(x)01x0 时,2f (x)xf(x)0构造函数 g(x)= ,对函数求导可得到 x1 时,g(x)0;1x0,g(x)0,利用函数的单调性得到结果.练习 1设 是定义在 上的偶函数 的导函数,且 ,当 时,不等式恒成立,若 , , ,则 的大小关系是( )A B C D【答案】D【分析】构造函数 ,根据函数 的奇偶性求得 的奇偶性,再根据函数 的导数确定单调性,
3、由此比较 三个数的大小.【解析】构造函数 ,由于 是偶函数,故 是奇函数.由于 ,故函数 在 上递增.由于 ,故当 时, ,当 时, .所以, , ,根据 单调性有 .故 ,即 ,故选 D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查构造函数法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.练习 2.设函数 , 的导函数为 ,且满足 ,则( )A BC D不能确定 与 的大小【答案】B【解析】令 g(x)= ,求出 g(x)的导数,得到函数 g(x)的单调性,【详解】令 g(x)= ,则 g(x)= = ,xf (x)g( ) ,即 ,则有故选 B.练习 3.定义在0,+)上的函数 满足: 其
4、中 表示 的导函数,若对任意正数 都有 ,则实数 的取值范围是( )A ( 0,4 B2,4 C (,0)4,+) D4,+)【答案】C【解析】由 可得 ,令,则 ,利用导数可得函数 在区间 上单调递减,从而由原不等式可得,解不等式可得所求范围【详解】 , ,当且仅当 且 ,即时两等号同时成立,“对任意正数 都有 ”等价于“ ”由 可得 ,令 ,则 , 令 ,则 ,当 时, 单调递增;当 时, 单调递减 , ,函数 在区间 上单调递减,故由 可得 ,整理得 ,解得 或 实数 的取值范围是 故选 C【点睛】本题难度较大,涉及知识点较多解题的关键有两个,一是求出 的最小值,在此过程中需要注意基本不
5、等式中等号成立的条件,特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立;二是结合条件中含有导函数的等式构造 函数,并通过求导得到函数的单调性,最后再根据单调性将函数不等式转化为一般不等式求解主要考查构造、转化等方法在解题中的应用(四)不等式中存在任意问题例 4 【安徽省皖南八校 2019 届高三第二次(12 月)联考数学 】已知函数 ,对于 , ,使得 ,则实数 的取值范围是A B C D【答案】D【解析】 , ,使得 ,可得 ,利用 , 的单调性、最值即可求得.【详解】对于 , ,使得 ,等价于 ,因为 是增函数,由复合函数增减性可知在 上是增函数,所以当 时, ,令 ,则 , 若 时, ,
6、 ,所以只需 ,解得 .若 时, , ,所以只需 ,解得 .当 时, 成立.综上 ,故选 D. 练习 1.已知函数 ,函数 ( ) ,若对任意的 ,总存在使得 ,则实数 的取值范围是()A B C D【答案】B【解析】由题意,可得 在 的值域包含于函数 的值域,运用导数和函数的单调性和值域,即可求解.【详解】由题意,函数 的导数为 ,当 时, ,则函数 为单调递增;当 时, ,则函数 为单调递减,即当 时,函数 取得极小值,且为最小值 ,又由 ,可得函数 在 的值域 ,由函数 在 递增,可得 的值域 ,由对于任意的 ,总存在 ,使得 ,可得 ,即为 ,解得 ,故选 B.【点睛】本题主要考查了函
7、数与方程的综合应用,以及导数在函数中的应用,其中解答中转化为 在的值域包含于函数 的值域,运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题.练习 2函数 , ,若对 , , ,则实数的最小值是_ 【答案】14【解析】利用导数以及指数函数的性质,分别求出函数 f(x) ,g(x)的最值,将问题转为求 f(x)ming(x) min 即可【详解】 , 在 递减,在 递增,所以, 在 单调递增, ,由已知对, , ,可知只需 f(x) ming(x) min即练习 3已知函数 ,且 , ,若存在 ,使得对任意 , 恒成立,则 的取值范围是
8、_ _【答案】【解析】存在 ,使得对任意的 , 恒成立,即 ,由 在上递增,可得 ,利用导数可判断 在 上的单调性,可得 ,由 ,可求得 的范围;【详解】 的定义域为 , ,当 时, , , 为增函数,所以 ;若存在 ,使得对任意的 , 恒成立,即 ,当 时 , 为减函数, , , ,故答案为: .【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数。(五)数列与不等式例 5 【湖北省武汉市 2019 届 12 月高三数学试题】等差数列 的前 项和
9、,若, ,则下列结论正确的是( )A , B ,C , D ,【答案】A【解析】设 f(x)=x 3+2 018x 判断函数的奇偶性以及函数的单调性,然后判断 a8+a2011=2,且 a2011a 8,推出结果【详解】设 f(x)=x 3+2 018x,则由 f(x)=f(x)知函数 f(x)是奇函数由 f(x)=3x 2+2 0180 知函数 f(x)=x 3+2 018x 在 R 上单 调递增因为(a 81) 3+2 018(a 81)=1, (a 20111) 3+2 018(a 20111)=1,所以 f(a 81)=1,f(a 20111)=1,得 a81= (a 20111) ,
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