1、专题 23 空间中的平行与垂直证明技巧一 【学习目标】（1）熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题（2）学会应用“化归思想” 进行“ 线线问题、线面问题、面面问题 ”的互相转化（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题（4）熟练掌握空间中线面垂直的有关性质与判定定理；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题不论何种“垂直”都能化归到“ 线线垂直”二.【知识点及方法归纳】1直线与平面平行的判定(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行，即ab，a ，b a .(2)如果两个平面平行
2、，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，则 a .2直线与平面平行的性质如 果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和平面平行，即a，a ，b， 3直线与平面垂直的判定(1)(定义 )如果一条直线和平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直(2)(判定定理 1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号语言表示为：若 m，n，m nB，l m ，l n，则 l.(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面用符号语言表示为：若ab，a，则 b.(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那
3、么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面4两平面平行的判断方法(1)依定义采用反证法.(2)依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判断两平面平行.(3)依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.(4)依据平行于同一平面的两平面平行来判定.5.平行关系的转化程序线线平行 A线面平行 A面面平行从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程.在解题时要把握这一点，灵活确
4、定转化思路和方向.三【解题方法总结】1证明直线与平面平行和直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的平行与垂直关系来证明2直线与平面平行的判定方法：(1)a a (定义法)，(2)Error!a，这里 表示平面，a，b 表示直线 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。练习 1正三棱柱 中,所有棱长均为 2,点 分别为棱 的中点,若过点 作一截面,则截面的周长为（ ）A B C D【答案】B【解析】在正三棱柱 中，延长 和 交于点 M，连接 ，交 于点 ，分别连接 ，
5、则过点 的截面为四边形 ，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.【详解】在正三棱柱 中，延长 和 交于点 M，连接 ，交 于点 ，分别连接 ，则过点的截面为四边形 ，如图所示，由 ，可得 ，由 ，则 ，解得 ，则 ，在直角 中， ，则 ，在直角 中， ，则 ，在直角 中， ，则 ，在 中， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以截面的周长为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.练习 2在空间四边形 的各边 上的依次取点
6、，若 所在直线相交于点 ，则（ ）A点 必在直线 上 B点 必在直线 上C点 必在平面 外 D点 必在平面 内【答案】B【解析】由题意连接 EH、FG、BD，则 PEH 且 PFG，再根据两直线分别在平面 ABD 和 BCD 内，根据公理 3 则点 P 一定在两个平面的交线 BD 上【点睛】本题考查公理 3 的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明练习 3如图所示，有一木块，点 P 在平面 内，棱 BC 平行于平面 要经过点 P 和棱 BC 将木块锯开，锯开的面必须平整，有 n 种锯法，则 n 为（ ）A0 B1 C2 D无数
7、【答案】B【解析】因为 平面 ，所以过平面 上点 作 ，只需没过 , 所确定的平面锯开即可又由于此平面唯一确定，所以只有一种方法，故选 B【点睛】本题考查确定平面的一句，属基础题.（二）异面直线例 2平面 外有两条直线 ， ，它们在平面 内的射影分别是直线 ， ，则下列命题正确的是( ). A若 ，则 B若 ，则C若 ，则 D若 和 相交，则 和 相交或异面【答案】D【解析】本道题可以通过发挥空间想象能力，对每个选项逐一排除，即可。【详解】A 选项，若 ，则 m 不一定垂直 n，可能 m,n 的夹角为钝角或者锐角，故错误；B 选项，若，则 a 不一定垂直 b，可能 a,b 夹角为钝角或锐角，故
8、错误；C 选项，若 m 平行 n，则 a 与 b 可能异面，故错误；D 选项，若 m 和 n 相交，可能 a 在 b 的上方，此时异面，a 与 b 也可能相交，故正确。故选D。【点睛】本道题考查了空间直线与直线的位置关系，关键发挥空间想象能力，逐一排除答案，即可，难度中等。 【详解】若 ， ，则 或者 ，故 A 错误；若 ， 时， 或者 ，故 B 错误；若 ， 内必有两条相交直线 ， 与平面 内的两条相交直线 ， 平行，又 ，则 ， ，即， ，故 ，因此 C 正确；若 ， ，则 与 相交或 或 ，故 D 错误，故选 C.【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，解决此类问题的关键是熟练掌
9、握空间中直线与平面的位置关系（平行关系与垂直关系） ，属于基础题练习 1设 是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）A存在与 都垂直的直线，存在与 都平行的平面B存在与 都垂直的直线，不存在与 都平行的平面C不存在与 都垂直的直线，存在与 都平行的平面D不存在与 都垂直的直线，不存在与 都平行的平面 【答案】A【解析】画出一个正方体，根据正方体的结构特征，结合线、面平行和垂直的定理，判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示， 分别是 的中点.由图可知， ，平面 ， 平面 .由此判断 A 选项正确，本题选 A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线的位置关系，考查线面平行等知识，属于基础题.
10、练习 2已知两条不同的直线 和两个不同的平面 ，有如下命题：若 ， ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；若 ， ，则 其中正确的命题个数为A B C D【答案】B【解析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答【详解】对于，若 ， ， ， ，则 与 可能相交；故错误；对于，若 ， ， ，满足线面平行的性质定理，故 ；故正确；对于，若 ， ，如果 ，则 ；故错误；故选：B【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答（五）面面关系例 5已知 是不同的平面， 是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）A若 ， ， ，则 B若 ， ，则 ，C若 ，
11、，则 D 若 ， ，则【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，判断 A；由线面位置关系判断 B；由线面垂直定理判断 C；由面面平行判断 D；【点睛】本题主要考查空间中线面、面面位置关系，需要考生熟记线面平行于垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，难度不大.练习 1设 为三个不同的平面， 为两条不同的直线，则下列命题中假命题是（ ）A当 时，若 ，则 B当 ， 时，若 ，则C当 ， 时，若 ，则 是异面直线 D当 ， ，若 ，则【答案】C【解析】对于 A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得正确；对于 B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得正确；对于 C， 可能异面，也可能平行，故错误
12、；对于 D，由 ， 可知 ，又 ，所以 ，可得正确.故选：C【点睛】本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运用定理是关键练习 2设 为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若 ， ，则 ；若 ， ， ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， ， ， ，则其中真命题的个数是（ ）A 1 B2 C3 D4【答案】B【解析】对于，可在正方体中举例说明它们错误即可。对利用面面平行的定义即可判断其正确，对于利用线面平行的性质来证明即可。【详解】对照下图，对于，令平面 ，平面 ,平面 ,满足 ， ，但是 与 不平行。所以错误。对于，令平面 ，平面 ，
13、，满足 ， ， ， ，但是 与 不平行，所以错误。对于，利用面面平行的定义即可判断正确，对于， ，同理可得： ，所以 ，所以正确。故选：B。【点睛】本题主要考查了面面平行的判断及线面平行的判断，还考查了线面平行的性质，属于基础题。 （六）线面平行的判定例 6如图,正方体 的棱长为 1,线段 上有两个动点 、 ,且 ，则下列结论错误的是( )A B三棱锥 的体积为定值C 平面 D 的面积与 的面积相等【答案】D【解析】 ， 在平面 的投影所在直线为 ， ,由三垂线 定理可以得到 ，故正确，由几何体的性质及图形可知，故可得三棱锥以 为底面，点 A 到面 的距离为 的高， 的面积为 ,点 A 到面
14、的距离为 ，则三棱锥 的体积为定值,故正确，由正方体可得平面 平面 ，又 平面 ，则 平面 ，故正确，由题可知， 为等腰三角形， 到线段 的距离为 的高， 点到线段 的距离为 ， 的高为 ，, ,故 的面积与 的面积不相等，故错误。故选【点睛】本题考查了立体几何中线面的关系，运用线面平行、垂直来解答，在解答体积问题时注意高的取值，属于中档题练习 1如图是几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点,在此几何体中,给出下面 4 个结论:直线 BE 与直线 CF 共面； 直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF平面 PBC； 平面 BCE平面 PAD.其
15、中正确的有( )A1 个 B3 个 C2 个 D4 个【答案】B【解析】连接 EF，由 E、F 分别为 PA、PD 的中点，可得 EFAD，从而可得 E，F，B，C 共面，故直线 BE 与直线 CF 是共面直线；根据 E平面 PAD，AF平面 PAD，EAF，B平面 PAD，可得直线 BE 与直线 AF 是异面直线；由知 EFBC，利用线面平行的判定可得直线 EF平面 PBC；由于不能推出线面垂直，故平面 BCE平面 PAD 不成立【详解】连接 EF，则E 、F 分别为 PA、PD 的中点，EFAD，ADBC，EFBC，E，F，B，C 共面，直线 BE 与直线 CF 是共面直线，故正确；E平面
16、 PAD，AF平面 PAD，EAF，B平面 PAD，直线 BE 与直线 AF 是异面直线，故正确；由知 EFBC，EF 平面 PBC，BC 平面 PBC，直线 EF平面 PBC，故正确；由于不能推出线面垂直，故平面 BCE平面 PAD 不成立故选：B【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查异面直线的判定，考查线面平行，属于中档题练习 2如图，在棱长为 2 的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面内一动点，若直线 与平面 不存在公共点，则三角形 的面积的最小值为A B1 C D【答案】C【解析】延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，可得 平面 ,再证明平面 平面 ,可知 在 上时，符
17、合题意，从而得到 与 重合时三角形 的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，直线 与平面 不存在公共点，所以 平面 ,由中位线定理可得 ,在平面 内， 在平面 外，所以 平面 ,因为 与 在平面 内相交，所以平面 平面 ,所以 在 上时，直线 与平面 不存在公共点，因为 与 垂直，所以 与 重合时 最小，此时，三角形 的面积最小，最小值为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合
18、理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.（七）面面平行的判定例 7如图，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且MD=NB=1，E 为 MC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A平面 平面 ABN B C平面 平面 AMN D平面 平面 AMN【答案】C【解析】分别过 A，C 作平面 ABCD 的垂线 AP，CQ ，使得 AP=CQ=1，连接 PM，PN，QM，QN ，将几何体补成棱长为 1 的正方体BC平面 ABN，BC平面 BCE， 平
19、面 BCE平面 ABN，故 A 正确； 连接 PB，则 PBMC，显然 PBAN，MCAN，故 B 正确； 取 MN 的中点 F，连接 AF，CF，AC AMN 和CMN 都是边长为 的等边三角形， AFMN ，CFMN， AFC 为二面角 A-MN-C 的平面角， AF=CF= ，AC= ，AF 2+CF2AC2，即AFC ， 平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，故 C 错误； DEAN ，MNBD， 平面 BDE平面 AMN，故 D 正确 故选 C【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，在解题时能运用补的思想将其补成一个正方体，然后求解练习 1如图，L、M 、N 分别为正方
20、体对应棱的中点，则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是（ ）A垂直 B相交不垂直 C平行 D重合【答案】C【解析】将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL, 因 PQ AL 可得出 PQ 平面 LMN，同理可得出 PR平面 LMN,由面面平行的判定定理即可得出结果 .【详解】如图分别取另三条棱的中点 A,B,C，将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL,因 PQ AL,AL 平面LMN，PQ 平面 LMN,故 PQ 平面 LMN,同理，由 PR CN，可得 PR 平面 LMN,因 PQ,PR 为平面 PQR 内两相交直线 ,故平面 PQR 平面 LMN.故选 C.【点睛】
21、本题考查了面面平行的判定定理，把平面进行延展是本题的关键，是解题的突破口，因此在平时学习要对平面延展性加强练习.练习 2如图所示，在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，则下列结论： ； 平面 ；平面 平面 ； 平面 .其中正确结论的序号是（ ）A B C D【答案】D【解析】如图所示，连接 ， ， ， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点 对于，因方 ， 是正三角形，所以 与 不垂直；对于，因为平面 平面 ，并且 平面 ，所以 平面 对于，显然不正确；对于， ，所以 面 故选 D.【点睛】本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，属于中档题.（八）线面平行的性质例 8如图，在空间四
22、边形 ABCD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分别是 CB、CD 上的点，且，若 BD6cm，梯形 EFGH 的面积为 ，则平行线 EH、FG 间的距离为( )A8cm B6cm C4cm D9cm【答案】A【解析】首先根据相似三角形可求出 和 的长，结合梯形面积公式即可得结果.【详解】由题知， ， 设平行线 、 之间距离为 ，则 ， ，故选 A.【点睛】本题主要考查了空间中两条直线的平行关系，相似三角形的性质，梯形的面积等，属于基础题.练习 1如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，F、G 分别为 C1D1、BC 1 上一点，C
23、 1F=1，且 FG平面 ACE，则 BG=（ ）A B4 C D【答案】C【点睛】本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题练习 2如图，正方体 的棱长为 1， ,EF分别是棱 1,AC的中点，过 EF的平面与棱 1,BD分别交于点 ,GH.设 Bx， 0,四边形 EF一定是菱形； /AC平面 GH；四边形 的面积 Sf在区间 ,1上具有单调性；四棱锥 A的体积为定值.以上结论正确的个数是A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】因为对面互相平行，所以 四边形 EGFH一定是平行四边形；因为 EF 垂直平面 BDD1B1,所以 EF 垂直 GH，所以四边形 EF一定是菱形
24、；因为 AC/EF，所以 /AC平面EGFH；四边形 EF的面积 S 12GH 在区间 0,1上先减后增；四棱锥 EGFH的体积为,所以正确的是 1,2,4，选 B点睛：求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体) 的面积(或体积) 通过已知条件可以得到（九）面面平行的性质例 9如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 平面 ABC， 分别交线段 PA，PB，PC 于A，B，C，若 PAAA=23，则 SABC S ABC 等于 ( )A225 B425 C2
25、5 D45【答案】B【解析】平面 平面 ABC，平面 PAB 与它们的交线分别为 AB，AB，所以 ABAB ，同理BCBC，易得ABCABC，S ABC S ABC = = = ,故选 B.练习 1a，b，c 为三条不重合的直线， 为三个不重合的平面，给出的下列命题中，正确的个数为( ) ab； ab； ； .A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】由平行公理 4 知 ab 正确. ab 或 a 与 b 相交或异面均可，故不正确； 或 ， 相交，不正确； ，由面面平行的性质知正确故选：B 练习 2如图，在四棱锥 中， ，底面 为直角梯形， ， 分别为 中点，且 ， .（1） 平面 ；（2）若
26、 为线段 上一点，且 平面 ，求 的值； （3）求四棱锥 的体积.【答 案】 （1）详见解析；（2） ；（3） .【解析】 （1）连结 ，利用勾股定理逆定理可证明 ，又易证 ，可证明 平面 （2）连接 ，根据 ， 平面 可得 ，进而 ，利用 为 中点可得结论（3）OA 是棱锥的高，求底面直角梯形 的面积即可代入体积公式计算.【详解】 （1）证明：连结 ， 为 的中点，且 ， 又 ， 是 中点， ，由已知 ，且 是平面 内两条相交直线 平面 .（2）连接 ，由已知底面 为直角梯形， ，则四边形 为平行四边形所以因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 所以因为 为 中点，所以 为 中点，所以
27、，又因为点 为 的中点.所以 .（3）由（1） 平面 得 为四棱锥 的高，且又因为 是直角梯形， ， ，所以直角梯形 的面积为则四棱锥 的体积【点睛】本题主要考查了线面垂直、平行的判定和性质，棱锥的体积，属于中档题.练习 3如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F（1）求证：ABEF ；（2）若 PA=AD，且平面 PAD平面 ABCD，求证：AF平面 PCD【解析】 （1）证明： 底面 ABCD 是正方形， ABCD ,又 AB平面 PCD，CD 平面 PCD， AB平面 PCD ,又 A，B ，E， F 四点
28、共面，且平面 ABEF平面 PCD=EF， ABEF ;（2）证明：在正方形 ABCD 中，CDAD ,又 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD，CD平面 ABCD,CD平面 PADCD平面 PAD ,又 AF平面 PAD , CDAF ,由（1）可知，ABEF，又 ABCD，C,D,E,F 在同一平面内， CDEF , 点 E 是棱 PC 中点， 点 F 是棱 PD 中点 ,在PAD 中， PA=AD， AFPD ,又 PDCD=D，PD、CD平面 PCD, AF平面 PCD【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面垂直的证明，属于基础题.练习 4如图，三棱柱
29、ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 侧面 ABB1A1，AC=AA 1= AB，AA 1C1=60，ABAA 1，H 为棱 CC1 的中点， D 为 BB1 的中点（1）求证：A 1D平面 AB1H；（2）若 AB= ，求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积【解析】 （1）根据面面垂直的性质得到 AHA 1D，再由条件得到 A1DAB 1，于是根据线面垂直的判定得到结论成立；（2）方法一：取 A1C1 的中点 G，连接 AG，证明 AG 为三棱柱 ABCA1B1C1 的高，然后根据体积公式求出结果方法二：先求出 ，然后根据三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V=3 求解【详解】 （1）如
30、图，连接 AC1，因为 为正三角形，H 为棱 CC1 的中点，所以 AHCC 1，从而AHAA 1，又平面 AA1C1C平面 ABB1A1，平面 AA1C1C平面 ABB1A1=AA1，AH平面 AA1C1C，所以 AH平面ABB1A1，又 A1D平面 ABB1A1，所以 AHA 1D 设 AB= a，因为 AC=AA1= AB，所以 AC=AA1=2a，DB 1=a， 因为 ABAA 1，所以平行四边形 ABB1A1 为矩形，所以DB 1A1=B 1A1A=90，所以 ，所以B 1AA1=DA 1B1，又 DA1B1+AA 1D=90，所以B 1AA1+AA 1D=90，故 A1DAB 1由
31、及 AB1AH=A，可得 A1D平面 AB1H（2）方法一：如图，取 A1C1 的中点 G，连接 AG，因为 为正三角形，所以 AGA 1C1，因为平面 AA1C1C平面 ABB1A1，平面 AA1C1C平面 ABB1A1=AA1，A 1B1平面 ABB1A1，A 1B1AA 1，所以 A1B1平面 AA1C1C，又 AG平面 AA1C1C，所以 A1B1AG，又 A1C1A1B1=A1，所以 AG平面 A1B1C1，所以 AG 为三棱柱 ABCA1B1C1 的高，经计算 AG= ， A1B1A1C1= 2= ，所以三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V= AG= 【点睛】 （1）解决空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的利用，这是证明空间垂直关系的基础另外要熟练运用“线线垂直”、 “线面垂直”、 “面面垂直”之间的相互转化（2）求空间几何体的体积的方法有两个：一是根据几何体的特征直接根据体积公式求解；二是将几何体分割成几个便于求体积的几何体后再进行求解
