1、专题 06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1了解导数概念的实际背景2理解导数的意义及几何意义3能根据导数定义求函数 yC (C 为常数) ，yx，y x 2，yx 3，y ，y 的导数1x x4能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导【知识要点】1平均变化率及瞬时变化率(1)函数 yf( x)从 x1 到 x2 的平均变化率用_表示，且 .yx f（x2） f（x1）x2 x1(2)函数 yf( x)在 xx 0 处的瞬时变化率是：0limx 0lix .limx 0yx lim x 0f（x0 x） f（x0）x2导数的概念(1)函数 yf( x)在 xx 0 处的导
2、数就是函数 yf( x)在 xx 0 处的瞬时变化率，记作 f(x0)或 y|xx 0，即 f(x0) 0lix . limx 0f（x0 x） f（x0）x【详解】y=x 3 的导数为 y=3x2，设切点为（m，m 3） ，可得切线的斜率为 3m2，切线的方程为 ym3=3m2（xm） ，若 P（0，0） ，则m 3=3m2（0m） ，解得 m=0，只有一解；若 P（0，1） ，则 1m3=3m2（0m ） ，可得 m3= ，只有一解；若 P（1，1） ，则 1m3=3m2（1m ） ，可得 2m33m2+1=0，即为（m1） 2（2m+1）=0，解得 m=1 或 ，有两解；若 P（2， 1
3、） ，则 1m3=3m2（2 m） ，可得 2m3+6m21=0，由 f（m）=2m 3+6m21，f（m ）=6m 2+12m，当2 m 0 时，f（m）递减；当 m0 或 m2 时，f（m）递增可 得 f（0）= 1 为极小值，f （ 2）=7 为极大值，则 2m3+6m21=0 有 3 个不等实数解故选：C练习 3过点 A(2,1)作曲线 的切线最多有( )A3 条 B2 条 C1 条 D0 条【答案】A【解析】设切点为 ，则切线方程为 ，因为过 A(2,1)，所以令 ，而 ，所以0gx有三个零点，即切线最多有 3 条，选 A 6.与切线有关的范围问题例 6已知 ，若 的图象与 x轴有
4、3 个不同的交点，则实数 a的取值范围为（ ）A ln31,2e B ln31,e C 10,e D 10,2e【答案】B【解析】由分段函数画出 y=|f(x)|的图像，即直线 yax与 y=|f(x)|的图像有三个不同交点，直线过定点 C, ln3,BCk 14AC, 02x时，,设切点为 ,lt，则切线方程为，过 C(-1,0),代入得 t=e-1,即切点为 ，两个图像要有三个交点，所以 ln31ke，即 ln31ae，选 B.【点睛】本题把方程根的个数问题转化为两个函数交点个数问题，一般适用于，两个不同类函数求零点个数问题，而且两个函数均容易画出，尽量使得只有一个函数带有参数，即一个函数
5、为定函数，另一个函数为动态函数，再根据要求找出合适位置的图像及参数范围。练习 1已知函数 ，若过点 3,Mt可作曲线 yfx的三条切线，则实数 t的取值范围是( )A 9,8 B 18, C 18,6 D 6,【答案】A【解析】由 ，得 ，设切点为 ，曲线在点 3,a处的切线方程为 ，因为该切线过点3,Mt，所以 ，即 有三个零点，即直线 yt和函数的图象有三个公共点，因为 ，则 gx在 单调递减，在 0,上单调递增，且当 0x时，函数 gx取得极大值为 09，当 3时，函数gx取得极小值为 318g，则 .故选 A.练习 2已知定义在 ,上的函数 fx，满足 ，且当 1,x时 lnfx，若函
6、数 在 1,上有唯一的零点，则实数 a的取值范围是（ ）A 1,lne B C 0,ln D【答案】D【解析】, 1,x时， lnfx， 时， ， g零点，就是 yf与 yax的交点，画出两函数图象，如图，由图知， lnOAk过原点与 lnyx相切的直线斜率为 1e，所有直线与曲线有一个交点的 a的范围是，故选 D.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式以及函数与方程思想、数形结合思想，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解
7、决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解7.已知切线求参数范围例 7若直线 与曲线 相切，则 的值为（）A B C D【答案】C【解析】函数求导后由切线斜率可得切点横坐标，进而利用切点横坐标代入直线和曲线，由纵坐标相等得到 ，从而得解.练习 1已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且当 时， ，过点作曲线 的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数 的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】当 时， ，可得函数 在 为增函数，结合函数的对称性可得函数的最小值为 ,进而分析可得点 作曲线 的两条切线的斜率 ，设 右侧的切点为，求
8、出函数的导数，由导数的几何意义可得 ，即 ，结合两点间连线的斜率公式可得 ，即 ，联立两式求出 的值，代入函数的解析式可得结果.【详解】根据题意，分析可得当 时， ，则函数 在 为增函数，又由函数 的图象关于直线 对称，函数 在 为减函数，所以函数的最小值为 ，点 作曲线 的两条切线，则两条切线的关于直线 对称，即两条切线的斜率互为相反数，若两条切线互相垂直，切线的斜率 ，设 右侧的切点为 ，因为 ，所以导 数 ，则有 ，即 ，又由切线过点 ，可得 ，即 ，解可得 ，联立可得 ，则函数 的最小值为 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的斜率公式，属于中档题. 应用导数的几何
9、意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解.练习 2已知曲线 与直线 相切，且满足条件的 值有且只有 3 个，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】设切点 ，求出切线方程为 ，将代入，可得 只需使该方程有三个根即可，利用导数研究函数 的单调性，令其极大值大于零，极小值小于零列不等式可得结果.【详解】由题意得： ，设切 点 ，则其切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，又点 在切线上， ，即 ，由题意得，方程 有三个不同的实
10、数解，记 ，则 ，当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ，要使方程 有三个不同的实数解，则 ，解得 ，实数 的取值范围是 ，故选 B【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于难题.对于与“三次函数” 的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点 或 ；两个零点 或 ；三个零点 且.8.导数几何意义综合例 8设过曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在过曲线上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）A B C D【
11、答案】C【解析】分析：先设切点，根据导数几何意义表现切线斜率，根据切线垂直得等量关系，最后根据任意性与存在性转化为函数值域包含问题求解.详解：因为切线 ， 的切点分别为而 ，所以因为 ，所以因为 ，所以因此 ，选 C.点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于 的值域； 的值域与的值域交集非空.练习 1已知函数 的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为 ，则 ( )A B C0 D1【答案】B【解析】直线 ,即 ，直线过定点 ，函数 的图象与直线 恰有三个公共点即直线与 的图象相切于 B，C 两点， , , ，且 .故答案为：B 点睛：本
12、题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，充分利用函数的中心对称性及相切的关系布列方程即可.练习 2已知 ， 是函数 图像上的两个不同点.且在 两点处的切线互相平行，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意, ，当 时, ，当 时, ，因为在 两点处的切线互相平行,且 ，所以 (否则根据导数相等得出 两点重合) ，所以在点 处切线的斜率为 ，在点 处切线的斜率为所以 ，即 表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图： 表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是 ,
13、故选 D. 【点睛】本题考查了导数在研究切线方面的应用，同时考查了数形结合的思想，综合性较强，难度较大，属于难题.，解本题时先对原函数求导并判断 ，然后利用导数求出 的范围，因此解本题的关键是把问题转化成图形的几何意义来求解.9.与最值有关切线问题例 9点 P是曲线 上任意一点，则点 P到直线 的最短距离为（ ）A. 3 B. 32 C. 23 D. 2【答案】D【解析】设 ,因 xy12/,故切线的斜率 tk12,由题意当切线与直线 平行时,切点 P到这条直线的距离最小,所以 t,解之得 t, 应舍去,故 )1,(P到直线的距离,故应选 D.学科网考点：导数的几何意义及但点到直线的距离公式的
14、综合运用.【易错点晴】导数是研究和刻画函数的单调性和极值等的重要工具,也是中学数学中的重要知识点和高考命题的重要内容和考点.本题以 所满足等式条件为背景,考查的是函数求导法则及导数的几何意义的灵活运用.求解时先运用求导法则求出函数 的导数为 xy12/,然后依据题设求出切线与直线 平行时,切点 P到这条直线的距离最小,所以 t,解之得 t, 2,求出切点坐标,从而使得问题获解.练习 1已知 ，则 的最小值为 （ ）A 503 B 518 C 516 D 512【答案】B【解析】设 )3,(aP， ),(bQ，则 ， )3,(aP的轨迹为直线 3xy，),(bQ的轨迹为双曲线 xy3，双曲线上一点 )3,(0x到直线 0y的距离为， 的最小值为 518【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力
