1、烟台市 2019 年高考诊断性测试理科数学注意事项：1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟2答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上3使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1已知复数 z 满足 (i 为虚数单位)，则12izzA B C1+i D1ii2若集合 ,04RMxNxZMN， 则A B C D001,22,343已知甲袋中有 1 个红球 1 个黄球，乙袋中有 2 个红球 1
2、 个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有 1 个红球的概率为A B C D23564 “ ”是“ ”的0babA充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5在平面直角坐标系 中，角 的顶点在原点，始边与xOyx 轴的非负半轴重合，终边经过点(3，1) ，则 cos2A B C D3545456执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A8 B16 C32D647在 2=3CABA中 ， ， ， ， D若，则23A B C D99169898我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也” “幂”是截面积， “势”是几何体的高，意
3、思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同” ，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为14A B C D213621239将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图sin0,fx6象关于 y 轴对称，且 ，则当 取最小值时，函数 的解析式为12f fxA Bsin26fxsin26fxC Di4fi4f10设 A，B，C，D 是同一个球面上四点， 是斜边长为 6 的等腰直角三角形，若三ABC棱锥 DABC 体积的最大值为 27，则该球的表面积为A B C D366101411若函数 ，则满足 的取值
4、范围为sin2xfex20fxfx的A B C D12， 1， ， ， 2， ，12已知 分别为双曲线 的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足12F、 246xy，若直线 与双曲线的另一个交点为 N，则 的面积为120M2F1FA12 B C24 D1 24二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 的展开式中 的系数为 40，则实数 a 的值为52ax3x14己知 满足约束条件 的最小值是,y024yzxyx， 则15在 分别为内角 A，B，C 的对边，若 ，则,ABCabc中 ， ,sin3cosaBbA周长的最大值为ABC16已知 ，若方程 有 2 个不
5、同的实根，则ln,0244xxeffe0fxm实数 m 的取值范围是(结果用区间表示)三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60 分17(12 分)已知数列 中， na11,2,nanN(1)记 是否为等差数列，并说明理由：2logb， 判 断(2)在(1)的条件下，设 ，求数列 的前 项和 1nbcancnT18(12 分)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC 等边三角形， ，以 AC 为折痕将ABCACD折起，使得平面 平面 ACDABC(1)设 E 为 B
6、C 的中点，求证： 平面 BCD：E(2)若 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值32B19(12 分)已知 F 为抛物线 的焦点，过 F 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点2:0Cypx当直线与 x 轴垂直时， 4AB(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 AB 与抛物线的准线 l 相交于点 M，在抛物线 C 上是否存在点 P，使得直线PA，PM，PB 的斜率成等差数列 ?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由20(12 分)2019 年 2 月 13 日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城
7、市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图(1)求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 (同一组中的数据用x2s该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 ，2N，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 x2s(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2, 0,1XaXNYYNPXY 令 ， 则 ， 且利用直方图得到的正态分布，求 。P(ii)从该高校的学生中随机抽取 20 名，记 Z 表示这 2
8、0 名学生中每周阅读时间超过 10 小时的人数，求 (结果精确到 0.0001)以及 Z 的数学期望2PZ参考数据： 1940178,.30.760,10.75.34YNPY若 ， 则21(12 分)已知函数 为自然对数的底数232.718xxfeaeRe， 其 中(1)讨论 的单调性；(2)当 时， 恒成立，求 a 的取值范0,x220xxeeafx围(二)选考题：共 10 分请在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程 (10 分)在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为xOyl312xty极点，x 轴的非
9、负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .2cos(1)求直线 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；l(2)设点 ，直线 与曲线 C 相交于两点 A，B，求 的值.1,3Pl 1PB23选修 45：不等式选讲 (10 分)已知函数 。22fxmx(1)当 m=1 时，求不等式 的解集；f(2)若实数 m 使得不等式 恒成立，求 m 的取值范围1,xx在2018-2019 学年度高三诊断性练习理科参考答案及评分标准一、选择题A B D A D C C B C C B C二、填空题13 14 15 1639461(,)e三、解答题17. 解：（1） . 1 分1212log()lo
10、gba当 时，n122121ll()lognnnnaa. 3 分122loglogna所以数列 是以 为首项、公差为 的等差数列. 4 分nb1（2）由（1）得 ， ，于是 . 5 分2na2nc6 分2311()()()()2nnnT 12两式相减得 9 分231()()()2nnn 11 分111()2nnn所以 . 12 分2nnT18. 解：（1）证明：因为平面 平面 ，ABCD平面 平面 ， 平面 ， ，ABCDAC所以 平面 . 1 分又 平面 ，所以 . 2 分EE在等边 中，因为 为 的中点，所以 . 3 分B因为 ， ， ，BC所以 平面 . 4 分AD（2）由（1）知 平面
11、 ，所以 即为 与平面 所成角，CADAC于是在直角 中， . 5 分DCB3tan2DCB以 为坐标原点，分别以 所在的方向作为 轴、 轴的正方向，建立如,Axy图所示的空间直角坐标系 .xyz设等边 的边长为 ，则 ， ，ABCa32Da(0,)C， ， ，(0,)a3(,)2(,)， ， ， . (,)AB(,0)aA3(,)2aCB3(,0)2aCD7 分设平面 的一个法向量为 ，D1(,)xyzm则 ，即 ，0AB:11302ayx令 ，则 ， ，于是 . 9 分1z13y12(3,1)m=设平面 的一个法向量为 ，BCD2(,)xyzn则 ，即 ，0:n22130ayx解得 ，令
12、，则 ，于是 . 11 分20x21z23y(0,31)n所以 .cos,43:mn由题意知二面角 为锐角，所以其余弦值为 . 12 分ABDC4319. 解：（1）因为 ，在抛物线方程 中，令 ，可得 ,2(,0)2pF2ypx2pyp分zyxABCDE所以当直线与 轴垂直时 ，解得 , 3 分x24ABp2抛物线的方程为 . 4 分24y（2） 不妨设直线 的方程为 ，1(0)xmy因为抛物线 的准线方程为 ，所以 .5 分2y2(1,)Mm联立 消去 ，得 , 6 分41xm240y设 ， ，则 ， , 7 分1(,)Ay2(,)B12124y若存在定点 满足条件，则 ，0PxPBAPM
13、kk即 ， 8 分001022yymxx因为点 均在抛物线上，所以 .,PAB22201,44yyxx代入化简可得 ， 9 分001222()4()ymyy将 ， 代入整理可得12y12，即 , 100022(4)4y220(1)4my分因为上式对 恒成立，所以 ，解得 ,11 分m200将 代入抛物线方程，可得 ，02y1x于是点 即为满足题意的定点. 12 分(1,)P20. 解：（1）2 分60.37.80.29.3510.90.12.49x2 22()(7)(8)()035s4 分21.78（2）(i)由题知 ， ， .91.(9,17)XN:. 5 分1784.03. 7 分9()(
14、)(0.75)34PXYPY（）由(i)知 ， 8 分(10)(1).26X可得 ,2,.6ZB:()()()PPZ201191.734.0.734(6)C10 分.95的数学期望 . 12 分Z2.52EZ21. 解：（1）由题意可知，22e3()e3xxx afa ， 1 分()x当 时， ，此时 在 上单调递增； 2 分0a()e0xffR当 时，令 ，解得 ，ln(3)a当 时， ， 单调递减；(,ln3)a0fx(f当 时， ， 单调递增； 3 分x()当 时，令 ，解得 ，0a()0flna当 时， ， 单调递减；,lna()0fx()f当 时， ， 单调递增； 4 分()x综上，
15、当 时， 在 上单调递增；当 时， 时， 单0afRa(,ln3)xa()fx调递减， 时单调递增；当 时， 时，(ln3),a0(单调递减， 时单调递增. ()fxl(,)x5 分（2）由 可得，22e()3e10()xxaafx，令1 22e(1)10xgaxa只需在 使 即可，0,min()g， 6 分()ee2(2)xxxgaa 当 时， ，当 时， ，当 时，0a0xaln2x()0gxln2，()g所以 在 上是减函数，在 上是增函数，(,ln2)l,只需 ， 2l )n80aa解得 ，所以 ； 8 分4ll4 当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在0ln2()gx0,(,l
16、n2)a上是增函数，则 ，解得 ， (l,)ln2)(09 分 当 时， ， 在 上是增函数，ln2a()0gx),)而 成立， 10 分2(0)9l 当 时， 在 在 上是增函数，在 上是减函数，在l()(,ln2)(ln2,)a上是增函数，则 ，解得 .11 分(,)a2e10,()9ag 10综上， 的取值范围为 . 12 分ln24,l22. 解：（1）因为 ，所以 ， 1 分28cos22cos8将 ， ，代入上式，可得 . 3 分x2xy2xy直线 的普通方程为 ； 5 分l30（2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，可得 ， 6 分C251340tt设 两点所对应的参数分别
17、为 ，则 ， .7,AB12,t12t125t分于是 8 分121PABt. 10 分211()4tt23. 解：（1） ，x当 时，原不等式转化为 ，解得 ；1 分2x 21x2x当 时，原不等式转化为 ， 解得 ；2 分21x 21x1x当 时，原不等式转化为 ，解得 ； 3 分2x5综上，不等式的解集为 . 4 分51或（2）由已知得： ，即 . ()2xmf25|1x，由题意 . 5 分5(),1,|xgin()g当 时， 为减函数，0,257()1xgx此时最小值为 ； 7 分31当 时， 为增函数，,)x3()2xx此时最小值为 . 9 分7g又 ，所以372min3()2x所以 的取值范围为 . 10 分|
