1、专题分类突破二 用适当的方法解一元二次方程类型 1 根据方程的特点解方程【例 1】 按指定的方法解下列方程(1)x22x3( 配方法与因式分解法) ；(2)(x1) 24(1x) 2(因式分解法与开方法)解：(1)配方法：x 22x131，(x1) 24，x12， x13，x 21.因式分解法：x 22x 30，(x3)(x1)0，x 13，x 21.(2)因式分解法：(x 1) 24(1x) 20，(x1)2(1x )(x1) 2(1 x )0，(3x 1)(3x)0，x 1 ，x 23.13开方法：x12(1 x )， x1 ，x 23.13变式 用你认为最简单的方法解下列方程(1)x(x
2、 2)x 20；(2)x22 x1 0；5(3)(3x1)(x1)4；(4)(2x3) 23(2x3)20.【答案】 (1)x 12，x 21.(2)x1 2，x 2 2.5 5(3)x1 ，x 21.53(4)x1 ，x 22.52类型 2 利用转化的策略解特定的方程例 2 我们已经知道方程 x2bxc 0 的解是 x11，x 23，现给出另一个方程(2x3)2b(2x 3)c 0，它的解是 x 11，x 23 变式 2018嘉兴欧几里得的 原本记载，形如 x2ax b2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，ACb，再在斜边 AB 上截取 BD .则该方程的一个正根a2
3、a2是( B )AAC 的长 BAD 的长CBC 的长 DCD 的长【解析】 欧几里得的原本记载，形如 x2axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，AC b，再在斜边 AB 上截取 BD ，a2 a2设 ADx，根据勾股定理，得 b 2 ，(x a2)2 (a2)2 整理，得 x2axb 2，则该方程的一个正根是 AD 的长类型 3 解含字母常数的方程例 3 2018包头已知关于 x 的一元二次方程 x22xm20 有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为( B )A6 B5C4 D3【解析】 a1，b2，cm 2，关于
4、x 的一元二次方程 x22xm20 有实数根， b 24ac2 24( m2)124m0，m 3.m 为正整数，且该方程的根 x 都是整数， 2 12 4m2m2 或 3.235.变式 已知关于 x 的方程 x22(k1)xk 22k 0.(1)求证：不论 k 取何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)求出方程的根(用含 k 的代数式表示) ；(3)若等腰三角形 ABC 的周长为 14，其中两边长度恰好是这个方程的两个根，求 k 的值解：(1)4(k1) 24(k 2 2k)40 ，不论 k 取何实数，方程总有两个不相等的实数根(2)x ，x 1k2，x 2k.2（k 1）22(3)x 1x
5、 2，故由等腰三角形 ABC 的周长为 14，得：2(k 2)k 14，k ，三边长分别为 ， ， ，符合题意103 163163103k22k14，k 4， 三边长分别为 4，4，6，符合题意故 k4 或 .1031选择合适的方法解下列方程：(1) (y2) 23；(2) (x5) 2(13x) 2；(3)2x29x90；(4)(x4) 25( x4)；(5)x22axa 21；(6)(x1) 24x；(7)(x1)( x2)2x 4；(8)2x28x10；(9)(x2)( x5)2；(10)2x212x60.【答案】 (1)y 12 ，y 223 3(2)x11，x 23 (3)x 13，
6、x 232(4)x14，x 21 (5)xa1，x 2a1(6)x1x 21 (7)x 12，x 21(8)x12 ，x 22 32 2 32 2(9)x13，x 24 (10)x 132 ，x 232 .3 32阅读材料：定义新运算 maxa，b：当 ab 时，maxa，ba；当 ab 时，maxa，bb.例如：max 3，22.请你阅读以上材料，完成下列各题(1)max ，3 _7 2(2)当 max3x 1，2x3x 2x3 时，求 x 的值解：(1) 3 ，7 2max ，3 3 .7 2 2故答案为 3 ；2(2)当3x12x3 时，解得 x4，此时，3x1x 2x 3，解得 x1x
7、 22(不合题意)；当3x12x 3 时，解得 x4，此时，2x3x 2x 3，解得 x10，x 23(符合题意)综上所述，x 的值为 0 或3.3已知关于 x 的一元二次方程(m 1)x 22mxm 10.(1)求出方程的根；(2)当 m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意，得 m1.am1，b2m，c m1，b24ac(2m) 24(m1)(m1)4，x 1 ，2m 22（m 1） m 1m 1x2 1.2m 22（m 1）(2)由(1)知，x 1 1 .m 1m 1 2m 1方程的两个根都为正整数， 是正整数，2m 1m11 或 m12，解得 m2 或 3.即当 m 为 2 或 3 时，此方程的两个根都为正整数
