1、合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120 分钟 满分：150 分)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 满足 ，则 在复平面内的对应点位于z41izA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合 ， ，则20xA12BxABA. B. C.(-1，1) D.(-1，2)2， ，3已知双曲线 ( )的一条渐近线方程为 ，且经过点 ( ，4)，则2yab0b， 2yxP6双曲线的方程是A. B. C. D.214xy2134x218x214y4.在 中， ，则ABC
2、DCAA. B. C. D. 3423B23ABC23ABC5.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比 95.80% -0.48% 3.82% 0.86%则下列判断中不正确的是A.该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损B.该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低6.将函数 的图象上各点横坐标缩短到原来
3、的 (纵坐标不变) 得到函数2sin16fx 12的图象，则下列说法正确的是gxA.函数 的图象关于点 对称 B.函数 的周期是g012， gxC.函数 在 上单调递增 D.函数 在 上最大值是 1x0 6， 0 6，7.已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，以线段2yab12F， AB为直径的圆交线段 的延长线于点 ，若 ，则该椭圆离心率是1FA1FBP2/BAA. B. C. D. 3338.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务 必须排在前三项执行，且A执行任务 之后需立即执行任务 ，任务 、任务 不能相邻，则不同的执行方案共有ECA.36 种 B
4、.44 种 C.48 种 D.54 种9.函数 的图象大致为2sinfxx10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对11.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层多 1 件，最后一层是 件已知第一层货物单价 1 万元，n从第二层起，货物的单价是上一层单价的 若这堆货物总价是90万元，则 的值为910
5、2nA.7 B.8 C.9 D.1012.函数 在(0，1) 内有两个零点，则实数 的12xfebx b取值范围是A. B. e， ， 1 0 1e， ，C. D.10 1e， ， e， ，第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 则数列 的公差 _.nanS23a416Snad14.若 ，则 _.1si23cos215.若 ，则 的最小值为_.0b22ba16.已知半径
6、为 4 的球面上有两点 ， ，球心为 ，若球面上的动点 满足二面角AB， 42OC的大小为 ，则四面体 的外接球的半径为_.CABO6oOC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分 12 分)在 中，角 所对的边分别为 ， ，AB， ， abc， ， 22sinisin2sinABcC的面积 .ABSabc()求角 ；C()求 周长的取值范围.18.(本小题满分 12 分)如图，三棱台 的底面是正三角形，平面 平ABEFGABC面 ， ， .BCGF2C()求证： ；ABCG()若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 .FEBG19.(本小题满分 12 分)某种大型医
7、疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数 0 1 2 3台数 5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率.记 表示这 2
8、 台机器超过质X保期后延保的两年内共需维修的次数.()求 的分布列；X()以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院 选择哪种延保方案更合算？20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 ( )上一点 ( ，9) 到其焦点 的距离为 .2:Cxpy0MmF10()求抛物线 的方程；()设过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点，且抛物线在 两点处的切线分别交FlCAB， AB，轴于 两点，求 的取值范围.xPQ， APBQ21.(本小题满分 12 分)已知函数 ( )是减函数. 21lnfxaxax0()试确定 的值；()已知数列 ， ， ( )，求证： .nl123nnTa Nln21nT请考生
9、在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数). 在以原点 为极点， 轴正xOy1C2cosinxyOx半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 .243()写出曲线 和 的直角坐标方程；12()若 分别为曲线 ， 上的动点，求 的最大值 .PQ， 12PQ23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知 .32fx()求 的解集；1()若 恒成立，求实数 的最
10、大值.2faa合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.2 14.15.16.92463三、解答题：17.(本小题满分 12 分)解：() 由 可知 ，1sin2SabcC2sinc . 由正弦定理得 .22siniiAB 22abc由余弦定理得 ， . 5 分os3()由( )知 ， ， .inc2sinaA2sinbB的周长为C1abC13si24A31incosin213si24in.3AA ， ， ，0 ， 2 3， 3s
11、in 12A， 的周长的取值范围为 . 12 分ABC3 4，18.(本小题满分 12 分)解：() 取 的中点为 ，连结 .DF由 是三棱台得，平面 平面 ，从而 .EFGABCEG/BCF ， ，2CB/四边形 为平行四边形， ./ ， 为 的中点，B ， .D平面 平面 ，且交线为 ， 平面ACFBC，BCGF 平面 ，而 平面 ，A题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C B B C D B A C D D . 5 分CGAB()连结 .D由 是正三角形，且 为中点得， .ADBC由()知， 平面 ， ，C/GF ，F， 两两垂直.BA， ，以 分别为
12、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .， ， xyz， ， Dxyz设 ，则 ( )， ( )， (1，0，0)， (-1， ，0)，2C0 3， ， E13 2， ， BG3 ， ， .1 2AE， ， BG， ， 32E， ，设平面 的一个法向量为 .BGnxyz， ，由 可得， .0nE30 2z，令 ，则 ， .3x1yz， 21n， ，设 与平面 所成角为 ，则 .ABG 6sico 4AEn，12 分19.(本小题满分 12 分)解：() 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6.X， ， ，10P125PX123505PX， ，3250370， ，6510X391 的分布列为
13、0 1 2 3 4 5 6P550729105 分()选择延保方案一，所需费用 元的分布列为：1Y1Y7000 9000 11000 13000 15000P 7050725625910(元).171699130107052EY选择延保方案二，所需费用 元的分布列为：Y210000 11000 12000P 6710625910(元).267691010201425EY ，该医院选择延保方案二较合算. 12 分220.(本小题满分 12 分)解：() 已知 ( )到焦点 的距离为 ，则点 到其准线的距离为 10.M 9m， F10M抛物线的准线为 ， ，2py解得， ，抛物线的方程为 . 5
14、分2p24xy()由已知可判断直线 的斜率存在，设斜率为 ，因为 (0，1) ，则 .l kF:1lykx设 ( )， ( ， )，由 消去 得， ，A14x， B24x21xy240xk ， .12k1由于抛物线 也是函数 的图象，且 ，则 .C2y2x 211:4PAyx令 ，解得 ， ，从而 .0y1xP1 0x， 21同理可得， ，24BQ .221216APxx2 2211164xxx2k ， 的取值范围为 . 12 分20k ,21.(本小题满分 12 分)解：() 的定义域为 ， .fx1， ln12fxax由 是减函数得，对任意的 ，都有 恒成立.， ln120fax设 .ln
15、2ga ，由 知， ，1x 0a12当 时， ；当 时， ，2a， gxax， 0gx 在 上单调递增，在 上单调递减，gx1， 12， 在 时取得最大值.2a又 ，对任意的 ， 恒成立，即 的最大值为 .0x， 0gxgx0g ，解得 . 5 分1()由 是减函数，且 可得，当 时， ，fx0ffx ，即 .0n221lnn两边同除以 得， ，即 .12 12na从而 ，123 1334524nn nTan 所以 .21ln2lnln2l1ln2Tn下面证 ：lll0记 ， .2n1n21xhxx， ，1ln2lln233x 在 上单调递增，2yx， 在 上单调递减，而 ，h， 1112ln
16、23ln2l806h当 时， 恒成立，2x， 0hx 在 上单调递减，即 ， ， x， l43lnl3hx当 时， .nn ，1912l3l2ln08h e当 时， ，即 .*N0h2l1ln21n综上可得， . 12 分ln21nT22.(本小题满分 10 分)解：() 曲线 的直角坐标方程为 ，1C214xy曲线 的直角坐标方程为 ，即 .5 分2 23221xy()设 点的坐标为( ).Pcos in，21Q22 241sin4i8当 时， = . 10 分sin3maxQ323.(本小题满分 10 分)解：() 由 得 ，1f|2|1所以 ，解得 ，32x3x所以， 的解集为 . 5 分f，() 恒成立，即 恒成立.2xa2xa当 时， ；0R当 时， .23因为 (当且仅当 ，即 时等号成立) ，6x23x63x所以 ，即 的最大值是 . 10 分2aa6
