1、第20课时 圆的有关概念及性质,考点梳理,自主测试,考点一 圆的有关概念及其对称性 1.圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫做圆心,定长叫做半径; (2)平面内一条线段绕着一个固定端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,这条线段叫做半径.,考点梳理,自主测试,3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径. 4.弦心距:从圆心到弦的距离. 5.弓形:由弦及其所对的弧组成的图形. 6.同心圆:圆心相同,半径不等的圆. 7.等圆:圆心不同,半径相等的圆. 8.等弧:在同圆或等圆中,能够重合的弧. 9.圆的对称性 (1)圆
2、的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴; (2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; (3)圆是旋转对称图形:圆绕圆心旋转任意角度,都能和原来的图形重合.这就是圆的旋转不变性.,考点梳理,自主测试,考点二 圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. 2.推论 在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.,考点梳理,自主测试,考点三 垂径定理及推论 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 2.推论1 (1)平
3、分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 3.推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,考点梳理,自主测试,考点四 圆心角与圆周角 1.定义 顶点在圆心的角叫做圆心角;顶点在圆上,角的两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.性质 (1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半. (3)同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,
4、90的圆周角所对的弦是直径.,考点梳理,自主测试,考点五 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的外接圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形,外接圆的圆心叫做三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部. 3.圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.,考点梳理,自主测试,1.下列说法错误的是( ) A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等
5、弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧 答案:B 2.如图,CD是O的直径,弦ABCD于点E,连接BC,BD.下列结论中不一定正确的是( ) A.AE=BEC.OE=DE D.DBC=90 答案:C,考点梳理,自主测试,3.如图,A是O的圆周角,A=40,则OBC的度数为 .答案:50 4.如图,AB是O的直径,弦CDAB.若ABD=65,则ADC= . 答案:25 5.圆的半径为2 cm,圆的一条弦长为 cm,则此弦中点到所对的劣弧中点的距离为 . 答案:1 cm,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1 圆的基本概念 【例1】 如图,已知CD是O的直
6、径,EOD=78,AE交O于点B,且AB=OC,求A的度数. 分析:已知EOD=78,与A构成了内、外角关系,而E也未知,且AB=OC这一条件不能直接使用,因此想到同圆的半径相等,需连接半径OB,从而得到OB=AB. 解:连接OB. AB=OC,OB=OC, AB=OB,A=1. 又OB=OE,E=2=1+A, DOE=E+A=3A. DOE=78,3A=78,A=26.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,变式训练1下列说法中,不正确的是( ) A.直径是弦,弦是直径 B.半圆周是弧 C.圆上的点到圆心的距离都相等 D.在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长 答案:A,命题点1,命题
7、点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点2 圆心(周)角、弧、弦之间的关系 【例2】 如图,已知A,B,C,D是O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD. (1)求证:DB平分ADC; (2)若BE=3,ED=6,求AB的长.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点3 垂径定理及推论 【例3】 如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足P是OB的中点, CD=6 cm,求直径AB的长.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,解:如图,连接OC,BC, 则根据ABCD,且垂足P是OB的中点,得OC=BC
8、. OC=OB,OC=OB=BC. BOC为等边三角形. BOC=60.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,解析:由OCAB,利用垂径定理可知AD=BD= AB=150 m. 又OD=OC-CD=(OC-50)m, 设这段弯路的半径为x m,则OD=(x-50)(m). 在RtAOD中,由勾股定理可知OA2=OD2+AD2, 即x2=(x-50)2+1502,解得x=250. 答案:250,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点4 圆周角定理及推论 【例4】 如图,半圆的直径AB=10,点C在半圆上,BC=6. (1)求弦AC的长; (2)若P为AB的中点,PEAB交AC于点E,求PE的长.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点5 圆内接四边形 【例5】 如图,已知四边形ABCD是圆内接四边形,1=120,则CDE= 度. 解析:1=120,B= 1=60. 四边形ABCD内接于O, CDE=B. CDE=60. 答案:60,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,
