1、2017-2018 学年河北省沧州市沧县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 个小题；每小题 3 分，共 30 分）1在 RtABC 中，C90，AB 5，BC3，则 tanA 的值是（ ）A B C D2有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ）A方差 B中位数 C众数 D平均数3下列说法正确的是（ ）A任意两个等腰三角形相似B任意两个直角三角形相似C任意两个等腰直角三角形相似D任意两个钝角三角形相似4图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）A甲和乙 B甲和丙C乙和丙 D没有相似的矩形5如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米，已知 co
2、s ，则小车上升的高度是（ ）A5 米 B6 米 C6.5 米 D12 米6我们知道方程 x2+2x30 的解是 x11，x 23，现给出另一个方程（2x +3） 2+2（2x+3）30，它的解是（ ）Ax 11，x 23 Bx 11，x 23Cx 1 1，x 23 Dx 11 ，x 237若 ，则 的值是（ ）A1 B2 C3 D48如图，在半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为 8cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为（ ）A10cm B16cm C24cm D26cm9一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为 x，y，剪去部分的面积
3、为 20，若 2x 10，则 y 与 x 的函数图象是（ ）A BC D10某同学在用描点法画二次函数 yax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ）A11 B2 C1 D5二、准确填空（本大题共 10 个小题；每小题 3 分，共 30 分）11如图，圆心角AOB20，将 旋转 n得到 ，则 的度数是 度12七（1）班举行投篮比赛，每人投 5 球如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是 13如图，已知点 A（0，1），B（0，1），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，
4、交 x 轴的正半轴于点 C，则BAC 等于 度14把二次函数 yx 212x 化为形如 ya（xh） 2+k 的形式 15如图，点 A、B、C 在半径为 9 的O 上， 的长为 2，则ACB 的大小是 16如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网 4m 的位置上，则网球的击球的高度 h 为 17如图，四边形 ABCD 是菱形，E、F、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形 ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是 18已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是 y 19某经济开发区今年 1 月份工业产值达 50 亿元，第一季度总产值 175 亿
5、元，问二三月份月平均增长率是多少？设平均每月增长的百分率为 x，根据题意得方程 20如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为 3，1，反比例函数 y 的图象经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为 三、简答题（本题共 3 个小题；每小题 8 分，共 24 分）21如图，已知点 A（a，3）是一次函数 y1x +1 与反比例函数 y2 的图象的交点（1）求反比例函数的解析式；（2）在 y 轴的右侧，当 y1y 2 时，直接写出 x 的取值范围；（3）求点 A 与两坐标轴围成的矩形 OBAC 的面积22如图，ABC 和ABC
6、 是两个完全重合的直角三角板， B30，斜边长为 10cm三角板 AB C 绕直角顶点 C 顺时针旋转，当点 A 落在 AB 边上时（1）求 CA 旋转到 CA所构成的扇形的弧长（2）判断 BC 与 AB的位置关系23如图，某农场有一块长 40m，宽 32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1140m2，求小路的宽四、证明与解答（本题共 4 个小题，共 36 分）24某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核甲、乙、丙各项得分如下表：笔试 面试 体能甲 83 79 90乙 85 80 75丙 80
7、90 73（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分，80 分，70 分，并按60%，30%，10%的比例计入总分根据规定，请你说明谁将被录用25如图，Rt ABC 中，ACB90，AB10，BC6，在线段 AB 上取一点 D，作 DFAB 交AC 于点 F，现将ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对应点记为 A1；AD 的中点 E 的对应点记为 E1，若E 1FA1E 1BF，求 AD 的长度26在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程x25x +20，操作步骤
8、是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点 A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 A，另一条直角边恒过点 B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C 的横坐标 m 即为该方程的一个实数根（如图 1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点 D 的横坐标为 n 即为该方程的另一个实数根；（1）在图 2 中，按照“第四步“的操作方法作出点 D（请保留作出点 D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图 1，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 x25x+20 的一个实数
9、根27在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋，AB+BC10m拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为 S（m 2）如图 1，若 BC4m，则 S m 2如图 2，现考虑在（ 1）中的矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正CDE 区域，使之变成落地为五边形 ABCED 的小屋，其它条件不变则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，边BC 的长为 m2017-2018 学年河北省沧州市沧县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个小题；每小题 3 分，共 30 分）1在 Rt
10、ABC 中，C90，AB 5，BC3，则 tanA 的值是（ ）A B C D【分析】根据勾股定理，可得 AC 的长，根据正切函数的定义，可得答案【解答】解：由勾股定理，得AC 4，由正切函数的定义，得tanA ，故选：A【点评】本题考查了锐角三角函数，利用正切函数的定义是解题关键2有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ）A方差 B中位数 C众数 D平均数【分析】根据各自的定义判断即可【解答】解：有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的方差，故选：A【点评】此题考查了统计量的选择，弄清方差表示的意义是解本题的关键3下列说法正确的
11、是（ ）A任意两个等腰三角形相似B任意两个直角三角形相似C任意两个等腰直角三角形相似D任意两个钝角三角形相似【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案【解答】解：A、不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不相似；B、不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不相似；C、正确，因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似；D、因为没有说明角或边相等的条件，故不相似；故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定：一组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似4图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）A甲和乙 B甲和丙C乙
12、和丙 D没有相似的矩形【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.53：5，1：1.52：3，甲和丙相似，故选：B【点评】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例5如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos ，则小车上升的高度是（ ）A5 米 B6 米 C6.5 米 D12 米【分析】在 RtABC 中，先求出 AB，再利用勾股定理求出 BC 即可【解答】解：如图 AC13，作 CBAB，cos ，AB12，BC 5
13、，小车上升的高度是 5m故选：A【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型6我们知道方程 x2+2x30 的解是 x11，x 23，现给出另一个方程（2x +3） 2+2（2x+3）30，它的解是（ ）Ax 11，x 23 Bx 11，x 23Cx 1 1，x 23 Dx 11 ，x 23【分析】先把方程（2x+3） 2+2（2x+3）30 看作关于 2x+3 的一元二次方程，利用题中的解得到 2x+31 或 2x+33，然后解两个一元一次方程即可【解答】解：把方程（2x+3） 2+2（2x+3）30 看作关于 2x
14、+3 的一元二次方程，所以 2x+31 或 2x+33，所以 x11，x 23故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解7若 ，则 的值是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】先设 k，用 k 分别表示出 x，y，z，进而代入解答即可【解答】解：设 k，则 x2k ，y7k，z5k，把 x2k，y7 k，z5k 代入 ，故选：B【点评】此题考查比例的性质，关键是设 k 解答8如图，在半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为 8cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为（ ）A10cm B16cm C24cm D26cm【分析】首先构造直
15、角三角形，再利用勾股定理得出 BC 的长，进而根据垂径定理得出答案【解答】解：如图，过 O 作 ODAB 于 C，交O 于 D，CD8，OD13，OC5，又OB13，RtBCO 中， BC 12，AB2BC24 故选：C【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出 AC 的长是解题关键9一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为 x，y，剪去部分的面积为 20，若 2x 10，则 y 与 x 的函数图象是（ ）A BC D【分析】先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象【解答】解
16、：是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为 20，xy10，y 是 x 的反比例函数，2x10，答案为 A故选：A【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限10某同学在用描点法画二次函数 yax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ）A11 B2 C1 D5【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（1，2），（0，1），（1，2）在函数图象
17、上，把（1，2），（0，1），（1，2）代入函数解析式，得，解得 ，函数解析式为 y3x 2+1x2 时 y11，故选：D【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键二、准确填空（本大题共 10 个小题；每小题 3 分，共 30 分）11如图，圆心角AOB20，将 旋转 n得到 ，则 的度数是 20 度【分析】先根据旋转的性质得 ，则根据圆心角、弧、弦的关系得到DOCAOB 20，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数即可得到 的度数【解答】解：将 旋转 n得到 ， ，DOCAOB 20， 的度数为 20 度故答案为 20【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或
18、等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了旋转的性质12七（1）班举行投篮比赛，每人投 5 球如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是 3 球 【分析】根据众数的定义及扇形统计图的意义即可得出结论【解答】解：由图可知，3 球所占的比例最大，投进球数的众数是 3 球故答案为：3 球【点评】本题考查的是扇形统计图，熟知扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数是解答此题的关键13如图，已知点 A（0，1），B（0，1），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C，则BAC
19、等于 60 度【分析】求出 OA、AC，通过余弦函数即可得出答案【解答】解：A（0，1），B（0，1），AB2，OA 1，AC2，在 Rt AOC 中， cosBAC ，BAC60，故答案为 60【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是求出 AC、OA 的长14把二次函数 yx 212x 化为形如 ya（xh） 2+k 的形式 y（x6） 236 【分析】由于二次项系数为 1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式【解答】解：yx 212x （ x212x+36）36（x6 ） 236，即 y（x6） 236故答案为 y（x 6） 236【点评】本题考查了二次函
20、数解析式的三种形式：（1）一般式：yax 2+bx+c（ a0，a、b、c 为常数）；（2）顶点式：ya（x h） 2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y a（x x 1）（xx 2）15如图，点 A、B、C 在半径为 9 的O 上， 的长为 2，则ACB 的大小是 20 【分析】连结 OA、OB先由 的长为 2，利用弧长计算公式求出AOB40，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到ACB AOB 20【解答】解：连结 OA、OB设AOBn 的长为 2， 2 ，n40，AOB40，ACB AOB 20故答案为 20【点评】本题考查了弧长公式：l （
21、弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），同时考查了圆周角定理16如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网 4m 的位置上，则网球的击球的高度 h 为 1.4m 【分析】判断出ABC 和AED 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：由题意得，DEBC，所以，ABCAED，所以， ，即 ，解得 h1.4m故答案为：1.4m【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，熟记性质并列出比例式是解题的关键17如图，四边形 ABCD 是菱形，E、F、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形 ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是 【分
22、析】先求出阴影部分的面积与菱形的面积之比，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，E、F、G 、H 分别是各边的中点，四边形 HGFE 的面积是菱形 ABCD 面积的 ，米粒落到阴影区域内的概率是 ；故答案为： 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率18已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是 y x 22x 【分析】根据函数的图象可以得到，函数的顶点是（1，1），并且经过点（0，0）和（2，0），
23、可以设函数解析式是：ya（x1） 21，把点（0，0）代入解析式，就可以求出解析式【解答】解：根据图象可知顶点坐标（1，1），设函数解析式是：ya（x 1） 21，把点（0，0）代入解析式，得：a10，即 a1，解析式为 y（x 1） 21，即 yx 22x【点评】函数求解析式的方法是待定系数法，当已知函数的顶点时，利用顶点式比较简单，当已知函数经过三点，已知函数经过的三点的坐标时，利用一般式比较简单19某经济开发区今年 1 月份工业产值达 50 亿元，第一季度总产值 175 亿元，问二三月份月平均增长率是多少？设平均每月增长的百分率为 x，根据题意得方程 50+50（1+x）+50（1+x）
24、2175 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），如果设平均每月增长的百分率为 x，根据题意可用 x 分别表示二三月份月工业产值，然后根据已知条件列出方程【解答】解：设平均每月增长的百分率为 x，那么二三月份月的工业产值分别为 50（1+x），50（1+x） 2，50+50（1+x）+50 （1+x ） 2175故填空答案：50+50（1+ x）+50（1+ x） 2175【点评】增长率问题，一般形式为 a（1+x） 2b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量20如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B
25、两点的纵坐标分别为 3，1，反比例函数 y 的图象经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为 4 【分析】过点 A 作 x 轴的垂线，与 CB 的延长线交于点 E，根据 A，B 两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得 AE，BE，再根据勾股定理得出 AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案【解答】解：过点 A 作 x 轴的垂线，与 CB 的延长线交于点 E，A，B 两点在反比例函数 y 的图象上且纵坐标分别为 3，1，A，B 横坐标分别为 1，3，AE2，BE2，AB2 ，S 菱形 ABCD底高2 24 ，故答案为 4 【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标
26、特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键三、简答题（本题共 3 个小题；每小题 8 分，共 24 分）21如图，已知点 A（a，3）是一次函数 y1x +1 与反比例函数 y2 的图象的交点（1）求反比例函数的解析式；（2）在 y 轴的右侧，当 y1y 2 时，直接写出 x 的取值范围；（3）求点 A 与两坐标轴围成的矩形 OBAC 的面积【分析】（1）将点 A 的坐标代入一次函数的解析式，求得 a 值后代入一次函数求得 b 的值后即可确定反比例函数的解析式；（2）y 1y 2 时 y1 的图象位于 y2 的图象的上方，据此求解（3）根据反比例函数 k 值的几何意义即可求解【解答】解：（1）将 A
27、（a，3）代入一次函数 y1x +1 得 a+13，解得 a2，A（2，3），将 A（2，3）代入反比例函数 y2 得 3，解得 k6，y 2 ；（2）A（2，3），y 1x +1，y 2 ，在 y 轴的右侧，当 y1y 2 时， x 的取值范围是 x2；（3）k6，点 A 与两坐标轴围成的矩形 OBAC 的面积是 6【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的确定点 A 的坐标是解答本题的关键，难度不大22如图，ABC 和ABC 是两个完全重合的直角三角板， B30，斜边长为 10cm三角板 AB C 绕直角顶点 C 顺时针旋转，当点 A 落在 AB 边上时（1）求 CA 旋转
28、到 CA所构成的扇形的弧长（2）判断 BC 与 AB的位置关系【分析】（1）根据三角形内角和定理和直角三角形的性质得到 AC AB5，A60，根据旋转的性质得到 CACA，根据弧长公式计算；（2）根据旋转变换的性质求出BCB60，根据垂直的定义证明【解答】解：（1）ACB90，B30，AC AB5，A60 ，由题意得，CACA，CAA为等边三角形，ACA60，CA 旋转到 CA所构成的扇形的弧长 （cm）；（2）BCAB，理由如下：ACA60，BCA30，BCB60，又B30，BCAB 【点评】本题考查的是旋转变换的性质，弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键23如图，某农场有一块长 40m，宽
29、 32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1140m2，求小路的宽【分析】本题可设小路的宽为 xm，将 4 块种植地平移为一个长方形，长为（ 40x）m ，宽为（32x）m根据长方形面积公式即可求出小路的宽【解答】解：设小路的宽为 xm，依题意有（40x）（32x ）1140，整理，得 x272x +1400解得 x12，x 270（不合题意，舍去）答：小路的宽应是 2m【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式另外求出 4 块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键四、证明与解答（本题共 4 个小题，共 36
30、 分）24某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核甲、乙、丙各项得分如下表：笔试 面试 体能甲 83 79 90乙 85 80 75丙 80 90 73（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分，80 分，70 分，并按60%，30%，10%的比例计入总分根据规定，请你说明谁将被录用【分析】（1）代入求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）由于甲的面试成绩低于 80 分，根据公司规定甲被淘汰；再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果【解答】解：（1） 甲
31、 （83+79+90）384，乙 （85+80+75）380，丙 （80+90+73）381从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲，丙，乙；（2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分，80 分，70 分，甲淘汰；乙成绩8560%+8030%+7510%82.5，丙成绩8060%+9030%+7310%82.3，乙将被录取【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算平均数等于所有数据的和除以数据的个数25如图，Rt ABC 中，ACB90，AB10，BC6，在线段 AB 上取一点 D，作 DFAB 交AC 于点 F，现将ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对
32、应点记为 A1；AD 的中点 E 的对应点记为 E1，若E 1FA1E 1BF，求 AD 的长度【分析】利用勾股定理列式求出 AC，设 AD2x，得到 AEDE DE 1A 1E1x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出 DF，然后利用勾股定理列式求出 E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到 x 的值，从而可得 AD 的值【解答】解：ACB90，AB10，BC 6，AC 8，设 AD2x，点 E 为 AD 的中点，将 ADF 沿 DF 折叠，点 A 对应点为 A1，点 E 的对应点为 E1，AEDE DE 1A 1E1x，DFAB，ACB90，AA ，ABCAFD，
33、 ，即 ，解得 DF x，在 Rt DE1F 中，E 1F x，又BE 1ABAE 1103x，E 1FA1E 1BF， ，E 1F2A 1E1BE1，即（ x） 2x （103x ），解得 x ，AD 的长为 2 【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据三角形相似列出比例式，属于中考常考题型26在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程x25x+20，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点 A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 A，另一条直角
34、边恒过点 B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C 的横坐标 m 即为该方程的一个实数根（如图 1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点 D 的横坐标为 n 即为该方程的另一个实数根；（1）在图 2 中，按照“第四步“的操作方法作出点 D（请保留作出点 D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图 1，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 x25x+20 的一个实数根【分析】（1）根据题意作出图形即可（2）如图 1 中，作 BDx 轴于 D，利用相似三角形的性质即可解决问题【解答】解：（1）点 D 如图所示（2
35、）如图 1 中，作 BDx 轴于 DAOCACBCDB90，ACO+BCD90，BCD+CBD90，ACOCBD，ACOCBD， ， ，整理得：m 25m+20，m 是方程 x25x+20 的实数根【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考创新题型27在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋，AB+BC10m拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为 S（m 2）如图 1，若 BC4m，则 S 88 m 2如图 2，现考虑在（ 1）中的矩形
36、 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正CDE 区域，使之变成落地为五边形 ABCED 的小屋，其它条件不变则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，边BC 的长为 m【分析】（1）小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 C 为圆心、6 为半径的圆和以 A 为圆心、4 为半径的 圆的面积和，据此列式求解可得；（2）此时小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 A 为圆心、x 为半径的 圆、以 C 为圆心、10x 为半径的 圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可【解答】解：（1）如图 1，拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗可以活动的区域如图所示：由图可知，小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的 圆，以 C 为圆心、6 为半径的圆和以 A 为圆心、4 为半径的 圆的面积和，S 102+ 62+ 4288 ，故答案为：88；（2）如图 2，设 BCx，则 AB10x，S 102+ x2+ （10x ） 2 （x 25x +250） （x ） 2+ ，当 x 时，S 取得最小值，BC ，故答案为： 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积
