1、期末测试卷（2）一选择题1下列函数不属于二次函数的是（ ）Ay= （ x2） （x+1） By= （x+1） 2 Cy=2（x+3） 22x2 Dy=1 x22矩形 ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点 A 的坐标为（ 2，1） 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点 A 重合，此时抛物线的函数表达式为 y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点 C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）Ay=x 2+8x+14 By=x 28x+14 Cy=x 2+4x+3 Dy=x 24x+33已知抛物线 y=x22x+c 的顶点在 x 轴上，你认为 c 的值应为（ ）A 1 B0 C1
2、D24若抛物线 y=x24x+2t（t 为实数）在 0x 的范围内与 x 轴有公共点，则 t的取值范围为（ ）A 2 t2 B2t2 C t2 Dt25某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.设每件商品降价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为（ ）Ay=60（300+20x） By=（60 x） （300+20x）Cy=300（6020x）Dy=（60x） （30020x）6若 2a=3b，则 a：b 等于（ ）A3 ：2 B2：3 C 2：3 D 3：27如图，
3、在ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，下列结论正确的有（ ）AD=BD=BC ；BCDABC ；AD 2=ACDC；点 D 是 AC 的黄金分割点.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，且 DEBC ，若AD：DB=3：2，AE=6，则 EC 等于（ ）A10 B4 C15 D99如图，已知ABC 与 ADE 中，C=AED=90，点 E 在 AB 上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDAE 的是（ ）AB=D B = CADBC DBAC=D10如图，ABC 中，AC=6，AB=4，点
4、D 与点 A 在直线 BC 的同侧，且ACD=ABC，CD=2，点 E 是线段 BC 延长线上的动点，当DCE 和ABC 相似时，线段 CE 的长为（ ）A3 B C3 或 D4 或11如图，已知OAB 与OAB是相似比为 1：2 的位似图形，点 O 为位似中心，若OAB 内一点 P（x ，y）与OAB内一点 P是一对对应点，则点 P的坐标为（ ）A C12为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距离为 3m 的小视力表.如图，如果大视力表中“E”的高度是 3.5cm，那么小视力表中相应 “E”的高度是（ ）A3cm
5、B2.5cm C2.3cm D2.1cm二填空题13如图，在边长为 1 的小正反形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanB 的值为 .14在ABC 中，C=90，ABC 的面积为 6，斜边长为 6，则 tanA+tanB 的值为 .15在等腰 RtABC 中，AB=AC，则 tanB= .16用科学计算器计算：7 5sin37= （结果精确到 0.1）.17等腰ABC 中，当顶角 A 的大小确定时，它的对边 BC 与邻边（腰 AB 或AC）的比值确定，记为 f（A ） ，易得 f（60 ）=1 若 是等腰三角形的顶角，则 f（）的取值范围是 .18在一个箱子里放有 1 个白球和
6、 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出 1 个球，则摸到红球的概率是 .三解答题19为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m 2） ，种草所需费用 y1（元）与 x（m 2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用 y2（元）与x（m 2）的函数关系式为 y2=0.01x220x+30000（0x1000）.(1) 请直接写出 k1、k 2 和 b 的值；(2) 设这块 1000m2 空地的绿化总费用为 W（元） ，请利用 W 与 x 的函数关系式，求出绿化总费用 W 的最
7、大值；(1) 若种草部分的面积不少于 700m2，栽花部分的面积不少于 100m2，请求出绿化总费用 W 的最小值.20如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（1，0） ， B（4，0） ，交 y 轴于点 C；(1) 求抛物线的解析式（用一般式表示） ；(2) 点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 SABC = SABD ？若存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；(3) 将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45，与抛物线交于另一点 E，求 BE 的长.21我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角
8、形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1) 等边三角形“ 內似线”的条数为 ；(2) 如图，ABC 中， AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求证：BD 是ABC 的“內似线” ；(3) 在 RtABC 中，C=90，AC=4 ，BC=3，E 、 F 分别在边 AC、BC 上，且 EF是ABC 的“內似线” ，求 EF 的长.22已知点 O 是正方形 ABCD 对角线 BD 的中点.(1) 如图 1，若点 E 是 OD 的中点，点 F 是 AB 上一点，且使得CEF=90，过点E 作 MEAD，交 AB 于点 M，交 CD 于
9、点 N.AEM=FEM； 点 F 是 AB 的中点；(2) 如图 2，若点 E 是 OD 上一点，点 F 是 AB 上一点，且使 = = ，请判断EFC 的形状，并说明理由；(3) 如图 3，若 E 是 OD 上的动点（不与 O，D 重合） ，连接 CE，过 E 点作EF CE，交 AB 于点 F，当 = 时，请猜想 的值（请直接写出结论.23风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图 1） ，图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55，沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处发现正好一叶片到达
10、最高位置，此时测得叶片的顶端 D（D、C、H 在同一直线上）的仰角是 45.已知叶片的长度为 35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计） ，山高 BG 为 10 米，BGHG，CHAH，求塔杆 CH 的高.（参考数据：tan551.4，tan350.7，sin550.8，sin350.6 ）24为响应习总书记足球进校园的号召，某学校积极开展与足球有关的宣传与实践活动学生会体育部为了解本学校对足球运动的态度，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的统计图表（部分信息未给出）.态度 频数（人数） 频率非常喜欢 5 0.05喜欢 0.35一般 50 n不喜欢 10 合计 m l(1) 在上面的统计
11、表中 m= ，n= 。(2) 请你将条形统计图补充完整；(3) 该校共有学生 1200 人，根据统计信息，估计爱好足球运动（包括喜欢和非常喜欢）的学生有多少人？答案一选择题1下列函数不属于二次函数的是（ ）Ay= （ x2） （x+1） By= （x+1） 2 Cy=2（x+3） 22x2 Dy=1 x2【考点】H1：二次函数的定义【专题】选择题【难度】易【分析】将各函数关系式进行整理，然后再进行判断即可【解答】A、整理得：y=x 2x2，是二次函数，与要求不符；B、整理得：y= x2+x ，是二次函数，与要求不符；C、整理得：y=12x+18，不是二次函数，与要求相符；D、y=1 x2 是二
12、次函数，与要求不符故选：C【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键2矩形 ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点 A 的坐标为（ 2，1） 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点 A 重合，此时抛物线的函数表达式为 y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点 C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）Ay=x 2+8x+14 By=x 28x+14 Cy=x 2+4x+3 Dy=x 24x+3【考点】H6：二次函数图象与几何变换【专题】选择题【难度】易【分析】先由对称计算出 C 点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题【解答】解：矩形
13、 ABCD 的两条对称轴为坐标轴，矩形 ABCD 关于坐标原点对称，A 点 C 点是对角线上的两个点，A 点、C 点关于坐标原点对称，C 点坐标为（2， 1） ；抛物线由 A 点平移至 C 点，向左平移了 4 个单位，向下平移了 2 个单位；抛物线经过 A 点时，函数表达式为 y=x2，抛物线经过 C 点时，函数表达式为 y=（x+4） 22=x2+8x+14，故选 A【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式3已知抛物线 y=x22x+c 的顶点在 x 轴上，你认为 c 的值应为（ ）A 1 B0 C1
14、D2【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式【专题】选择题【难度】易【分析】顶点在 x 轴上，所以顶点的纵坐标是 0【解答】解：根据题意（2） 24c=0，解得 c=1故选 C【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单4若抛物线 y=x24x+2t（t 为实数）在 0x 的范围内与 x 轴有公共点，则 t的取值范围为（ ）A 2 t2 B2t2 C t2 Dt2【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点【专题】选择题【难度】易【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点为（2，t） ，再分类讨论：当抛物线与x 轴的公共点为顶点时，t=0，解得 t=0；当抛物线在 0x3 的范围内与 x 轴有公共点，如图，
15、顶点在 x 轴下方，所以 t0，当抛物线在原点与对称轴之间与 x 轴有交点时，x=0，y 0，所以 4t0，解得 t4；当抛物线在（3，0）与对称轴之间与 x 轴有交点时 x=3，y 0，即 1t0 ，解得 t1，所以此时 t 的范围为 0t4，综上两种情况即可得到 t 的范围为 0t4【解答】解：y=x 24x+2t=（x2） 22t，抛物线的顶点为（2，2t） ，当抛物线与 x 轴的公共点为顶点时， 2t=0，解得 t=2，当抛物线在 0x 的范围内与 x 轴有公共点，如图，t2 0，解得 t2，则 x=0 时，y 0，即 2t0，解得 t2；当 x= 时，y0，即 t0，解得 t ，此时
16、 t 的范围为 t ，综上所述，t 的范围为2t2故选 B【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与 x 轴的交点坐标转化为解关于 x 的一元二次方程运用数形结合的思想是解决本题的关键5某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.设每件商品降价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为（ ）Ay=60（300+20x） By=（60 x） （300+20x）Cy=300（6020x）Dy=（60x） （30020
17、x）【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式【专题】选择题【难度】易【分析】根据降价 x 元，则售价为（ 60x）元，销售量为（ 300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为 y=销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可【解答】解：降价 x 元，则售价为（ 60x）元，销售量为（ 300+20x）件，根据题意得，y=（60x） （ 300+20x） ，故选：B【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式6若 2a=3b，则 a：b 等于（ ）A3 ：2 B2：3 C 2：3 D 3：2【考点】S1：比例的性质【专题】选择题
18、【难度】易【分析】依据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，分别对各选项计算，只有 A 选项符合题意【解答】解：2a=3b，a ：b=3：2故选 A【点评】比例的变化可以依据比例的基本性质，等比性质与合比性质7如图，在ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，下列结论正确的有（ ）AD=BD=BC ；BCDABC ；AD 2=ACDC；点 D 是 AC 的黄金分割点.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】S3：黄金分割； KH：等腰三角形的性质【专题】选择题【难度】易【分析】在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，
19、可推出BCD，ABD 为等腰三角形，可得 AD=BD=BC，正确；由相似三角形的判定方法可得正确；利用三角形相似的判定与性质得出正确，即可得出结果【解答】解：由 AB=AC，A=36，得ABC=C=72，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，ABD=CBD= ABC=36= A ，AD=BD，BDC=ABD+A=72= C，BC=BD，BC=BD=AD ，正确；A=DBC，C=C，BCDABC ，正确；BCDACB ，BC ： AC=CD：BC，BC 2=CDAC，AD=BD=BC ，AD 2=CDAC，正确；设 AD=x，AC=AB=1，CD=AC AD=1x，由 AD2=CDAC，得 x2
20、=（1x） ，解得 x= 1（舍去负值） ，AD= ，正确正确的有 4 个故选 D【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质明确图形中的三个等腰三角形的特点与关系是解决问题的关键8如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，且 DEBC ，若AD：DB=3：2，AE=6，则 EC 等于（ ）A10 B4 C15 D9【考点】S4：平行线分线段成比例【专题】选择题【难度】易【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：DEBC， = = ，即 = ，解得，EC=4，故选：B【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系
21、是解题的关键9如图，已知ABC 与 ADE 中，C=AED=90，点 E 在 AB 上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDAE 的是（ ）AB=D B = CADBC DBAC=D【考点】S8：相似三角形的判定【专题】选择题【难度】易【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案【解答】解：C=AED=90，B=D，ABCADE ，故 A 选项不能证明相似；C=AED=90 ， ， ，即 sinB=sin DAE，B= DAE，ABCDAE ，故选项 B 可以证明相似；ADBC，B= DAE，C=AED=90 ，ABCDAE ，故选项 C 可以证明相似；BA
22、C=D ，C=AED=90，ABCDAE ，故选项 D 可以证明相似；故选 A【点评】本题考查相似三角形的判定识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法10如图，ABC 中，AC=6，AB=4，点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧，且ACD=ABC，CD=2，点 E 是线段 BC 延长线上的动点，当DCE 和ABC 相似时，线段 CE 的长为（ ）A3 B C3 或 D4 或【考点】S7：相似三角形的性质【专题】选择题【难度】
23、易【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得 CE 的长，本题得以解决【解答】解：DCE 和 ABC 相似，ACD=ABC，AC=6 ，AB=4，CD=2，A=DCE， = 或 = ，即 = 或 =解得，CE=3 或 CE=故选 C【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答11如图，已知OAB 与OAB是相似比为 1：2 的位似图形，点 O 为位似中心，若OAB 内一点 P（x ，y）与OAB内一点 P是一对对应点，则点 P的坐标为（ ）A C【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质【专题】选择题【难度】易【分析】由图中易得两
24、对对应点的横纵坐标均为原来的2 倍，那么点 P 的坐标也应符合这个规律【解答】解：P（x ，y） ，相似比为 1：2，点 O 为位似中心，P的坐标是（2x，2y） 故选：B【点评】此题主要考查了位似变换，解决本题的关键是根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律12为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距离为 3m 的小视力表.如图，如果大视力表中“E”的高度是 3.5cm，那么小视力表中相应 “E”的高度是（ ）A3cm B2.5cm C2.3cm D2.1cm【考点】SA：相似三角形的应用【专题】选择题【难度】易
25、【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论【解答】解：由题意得：CDAB， = ，AB=3.5cm， BE=5m，DE=3m， ，CD=2.1cm，故选 D【点评】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果二填空题13如图，在边长为 1 的小正反形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanB 的值为 .【考点】T1：锐角三角函数的定义【专题】填空题【难度】中【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案【解答】解：如图：，tanB= = 故答案是： 【点评
26、】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边14在ABC 中，C=90，ABC 的面积为 6，斜边长为 6，则 tanA+tanB 的值为 .【考点】T1：锐角三角函数的定义【专题】填空题【难度】中【分析】由ABC 的面积为 6 可得 ab=12，再由勾股定理可得 a2+b2=62=36，再由 tanA+tanB= + = 求解【解答】解：ABC 的面积为 6，ab=12在 RtABC 中，C=90，AB=6，a 2+b2=62=36，tanA+tanB= = = =3，故答案为：3【点评】本题考查锐角三角函数的概念和勾股定理，关键
27、是掌握正切定义15在等腰 RtABC 中，AB=AC，则 tanB= .【考点】T5：特殊角的三角函数值【专题】填空题【难度】中【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得B，根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：由等腰 RtABC 中，AB=AC ，得B=45tanB=tan45=1，故答案为：1【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键16用科学计算器计算：7 5sin37= （结果精确到 0.1）.【考点】T6：计算器三角函数；1H：近似数和有效数字；25：计算器数的开方【专题】填空题【难度】中【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法
28、取近似数【解答】解：7 5sin3776.557 50.601842.9 故答案为：42.9【点评】本题考查了计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，需要同学们熟记精确度的概念17等腰ABC 中，当顶角 A 的大小确定时，它的对边 BC 与邻边（腰 AB 或AC）的比值确定，记为 f（A ） ，易得 f（60 ）=1 若 是等腰三角形的顶角，则 f（）的取值范围是 .【考点】T7：解直角三角形；KH ：等腰三角形的性质【专题】填空题【难度】中【分析】根据三角形三边关系得到 BC0，BC 2AB，根据题意计算即可【解答】解：BCABAC，BCAC+AB ，BC 0，BC2AB，0 2 ，0f
29、（）2，故答案为：0f（）2【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、f（A）的定义是解题的关键18在一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出 1 个球，则摸到红球的概率是 .【考点】X4：概率公式【专题】填空题【难度】中【分析】由一个不透明的箱子里共有 1 个白球，2 个红球，共 3 个球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：一个不透明的箱子里有 1 个白球，2 个红球，共有 3 个球，从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是 ；故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概
30、率=所求情况数与总情况数之比三解答题19为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m 2） ，种草所需费用 y1（元）与 x（m 2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用 y2（元）与x（m 2）的函数关系式为 y2=0.01x220x+30000（0x1000）.(1) 请直接写出 k1、k 2 和 b 的值；(2) 设这块 1000m2 空地的绿化总费用为 W（元） ，请利用 W 与 x 的函数关系式，求出绿化总费用 W 的最大值；(1) 若种草部分的面积不少于 700m2，栽花部
31、分的面积不少于 100m2，请求出绿化总费用 W 的最小值.【考点】HE：二次函数的应用【专题】解答题【难度】难【分析】(1) 将 x=600、y=18000 代入 y1=k1x 可得 k1；将 x=600、y=18000 和x=1000、y=26000 代入 y1=k2x+b 可得 k2、b(2) 分 0x 600 和 600x1000 两种情况，根据“绿化总费用= 种草所需总费用+种花所需总费用” 结合二次函数的性质可得答案；(1) 根据种草部分的面积不少于 700m2，栽花部分的面积不少于 100m2 求得 x的范围，依据二次函数的性质可得【解答】解：(1) 将 x=600、y=1800
32、0 代入 y1=k1x，得：18000=600k 1，解得：k1=30；将 x=600、y=18000 和 x=1000、y=26000 代入，得： ，解得： ；(2) 当 0x600 时，W=30x+（0.01x 220x+30000）= 0.01x2+10x+30000，0.01 0，W=0.01 （x 500） 2+32500，当 x=500 时，W 取得最大值为 32500 元；当 600x 1000 时，W=20x+6000+（0.01x 220x+30000）= 0.01x2+36000，0.01 0，当 600x 1000 时，W 随 x 的增大而减小，当 x=600 时，W 取
33、最大值为 32400，3240032500，W 取最大值为 32500 元；(3) 由题意得：1000x 100，解得：x900，由 x700，则 700x 900，当 700x 900 时，W 随 x 的增大而减小，当 x=900 时，W 取得最小值 27900 元【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键20如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（1，0） ， B（4，0） ，交 y 轴于点 C；(1) 求抛物线的解析式（用一般式表示） ；(2) 点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 SABC =
34、 SABD ？若存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；(3) 将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45，与抛物线交于另一点 E，求 BE 的长.【考点】HF ：二次函数综合题【专题】解答题【难度】难【分析】(1) 由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2) 由条件可求得点 D 到 x 轴的距离，即可求得 D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得 D 点坐标；(3) 由条件可证得 BCAC，设直线 AC 和 BE 交于点 F，过 F 作 FMx 轴于点M，则可得 BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得 F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线 BE 解析式，联立直线 B
35、E 和抛物线解析式可求得 E 点坐标，则可求得 BE 的长【解答】解：(1) 抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（ 1，0 ） ，B （4，0） ， ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2+ x+2；(2) 由题意可知 C（0 ，2 ） ，A（ 1，0 ） ，B （4，0） ，AB=5，OC=2，S ABC = ABOC= 52=5，S ABC = S ABD，S ABD = 5= ，设 D（x ，y） ， AB|y|= 5|y|= ，解得 |y|=3，当 y=3 时，由 x2+ x+2=3，解得 x=1 或 x=2，此时 D 点坐标为（1，3）或（2，3） ；当 y=3 时，由 x2+
36、x+2=3，解得 x=2（舍去）或 x=5，此时 D 点坐标为（5，3） ；综上可知存在满足条件的点 D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，3） ；(3) AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，AC= = ，BC= =2 ，AC 2+BC2=AB2，ABC 为直角三角形，即 BCAC，如图，设直线 AC 与直线 BE 交于点 F，过 F 作 FMx 轴于点 M，由题意可知FBC=45 ，CFB=45 ，CF=BC=2 ， = ，即 = ，解得 OM=2， = ，即 = ，解得 FM=6，F（2，6） ，且 B（4，0） ，设直线 BE 解析式为 y=kx+m，则可得 ，解得 ，直线 BE
37、 解析式为 y=3x+12，联立直线 BE 和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，E （5 ， 3） ，BE= = 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在(1) 中注意待定系数法的应用，在 (2) 中求得 D 点的纵坐标是解题的关键，在(1) 中由条件求得直线 BE 的解析式是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度21我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.
38、若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1) 等边三角形“ 內似线”的条数为 ；(2) 如图，ABC 中， AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求证：BD 是ABC 的“內似线” ；(3) 在 RtABC 中，C=90，AC=4 ，BC=3，E 、 F 分别在边 AC、BC 上，且 EF是ABC 的“內似线” ，求 EF 的长.【考点】SO：相似形综合题【专题】解答题【难度】难【分析】(1) 过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；(2) 由等腰三角形的性质得出ABC= C=BDC，证出BCDABC 即可；(3) 分两种情况：当 =
39、 = 时， EFAB，由勾股定理求出AB= =5，作 DNBC 于 N，则 DNAC，DN 是 RtABC 的内切圆半径，求出 DN= （AC+BC AB）=1，由几啊平分线定理得出 = ，求出 CE= ，证明CEF CAB，得出对应边成比例求出 EF= ；当 = = 时，同理得：EF= 即可【解答】(1) 解：等边三角形 “內似线”的条数为 3 条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图 1 所示：则AMN ABC，CEFCBA ，BGHBAC，MN、EF、GH 是等边三角形 ABC 的內似线”；故答案为：3；(2) 证明：AB=AC，BD=BC，ABC=C=BDC，BCDAB
40、C ，BD 是ABC 的“內似线”；(3) 解：设 D 是ABC 的内心，连接 CD，则 CD 平分ACB ，EF 是ABC 的“內似线”，CEF 与 ABC 相似；分两种情况：当 = = 时，EFAB，ACB=90 ，AC=4，BC=3 ，AB= =5，作 DN BC 于 N，如图 2 所示：则 DN AC，DN 是 RtABC 的内切圆半径，DN= （AC+BC AB）=1，CD 平分ACB ， = ，DN AC， = ，即 ，CE= ，EF AB，CEF CAB， ，即 ，解得：EF= ；当 = = 时，同理得：EF= ；综上所述，EF 的长为 【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三
41、角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度22已知点 O 是正方形 ABCD 对角线 BD 的中点.(1) 如图 1，若点 E 是 OD 的中点，点 F 是 AB 上一点，且使得CEF=90，过点E 作 MEAD，交 AB 于点 M，交 CD 于点 N.AEM=FEM； 点 F 是 AB 的中点；(2) 如图 2，若点 E 是 OD 上一点，点 F 是 AB 上一点，且使 = = ，请判断EFC 的形状，并说明理由；(3) 如图 3，若 E 是 OD 上的动点（不与 O，D 重合） ，连接 CE，过 E 点作EF CE，交 AB 于点 F，
42、当 = 时，请猜想 的值（请直接写出结论.【考点】SO：相似形综合题【专题】解答题【难度】难【分析】(1) 由正方形的性质得出ABD=45 ，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AE=CE ，由 HL 证明 RtAMERtENC，得出AEM=ECN，再由角的互余关系即可得出结论；由三角形内角和定理得出EAF=EFA，证出 AE=FE，由等腰三角形的性质得出 AM=FM，AF=2AM ，求出 = ，由平行线分线段成比例定理得出= ，得出 = ，即可得出结论；(2) 过点 E 作 MEAD，交 AB 于点 M，交 CD 于点 N同(1) 得：AE=CE， RtAMERt ENC，得出AEM=ECN， = ，O 是 DB 的中点，证出 = ，得出 AF=2AM，即 M 是 AF 的中点，由线段垂直平分线的性质得出 AE=FE，证出AEM=FEM ，FE=CE，由角的互余关系证出CEF=90，即可得出结论；(2) 同(1) 即可得出答案【解答】(1) 证明： 四边形 ABCD 是正方形，ABD=45 ，BAD= ABC=BCD=ADC=90 ， AE=CE，MEAD，MEAB，AME=BME=BAD=90，ENC=ADC=90，BME 是等腰直角三角形，四边形 BCNM 是矩形，BM=EM，BM=CN，
