1、河北省“五个一名校联盟”2019 届高三第一次诊断考试理科数学 （满分：150 分，测试时间：120 分钟）第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 是虚数单位， 则 i41iz|z2 4 AB2CD422集合 ， ，则 |lgx2|90xAB3,0,1,33,103已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为2ab(2)ab:abAo0Bo6Co90Do54如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形 的三个顶点为圆心，ABC以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取
2、自等边三角形内的概率是 A32B32C3D3425已知圆 与抛物线 交于 两点，与抛物线的准线交于 两点，22 (0)xyr2yx,AB,CD若四边形 是矩形，则 等于 ABCD22C52D56函数 的图象大致为 1ln()yxABCD7若 ， ，则下列不等式正确的是 1p01mnpnpmnloglmnp8已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为 A23B3C92D29函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ；当()fxR()3)fx20x2()1fx时， ，则01()21f(8f671 673 1343 1345ABCD10如图所示，直三
3、棱柱的高为 4，底面边长分别是 5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为 8，则球的体积为 A16053B623C9D5 侧侧侧11函数 与函数 的图像关于点 对称，且()sin3cosfxx(0)()ygx,03，则 的最小值等于 g1 2 3 4ABCD12已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有两个不同()1)xfex|()|()1|fxafx的整数解，则实数 的取值范围是aA23,)eB23,)eC21,eD20,e第 II 卷（共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22 题第 23 题为选考题，考生根据
4、要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13若 x，y 满足 ，则 的最小值为 13y2zxy14在 的展开式中常数项等于 5115已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，点 在双曲线上，点 的坐标为2:13yCx1F2AM，且 到直线 ， 的距离相等，则 2,03M1AF21|16在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点，若 且ABCBC、 、 ,abcDB1CD，则 面积的最大值是 1()sin()sin)2abcbAC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，na1321 2na *()N4lognnba（）求数列
5、 的通项公式；（）求数列 的前 项和 1nb:nT18 （本小题满分 12 分）山东省高考改革试点方案规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A、B+、B、C +、C、D +、 D、E 共 8 个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100 、81,90、71,80、61,70、
6、51,60 、41,50 、31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 N（60,169） （）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；（）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记 X 表示这 3 人中等级成绩在区间61,80的人数，求 X 的分布列和数学期望.（附：若随机变量 ，则 ，2(,)N:()=0682P.， ）(2=0954P.39719 （本小题满分 12 分）如图，在四面体 中， 分别是线段 的中点，ABCD,EF,ADB， ， ，直线
7、 与平面o90ABD22EC所成的角等于 C3（）证明： 平面 平面 ；EFCBD（）求二面角 的余弦值A20 （本小题满分 12 分）椭圆 的离心率是 ，过点 做斜率为 的直线 ，椭圆 与2:1 (0)xyEab53(0,1)PklE直线 交于 两点，当直线 垂直于 轴时 l,ABly|AB（）求椭圆 的方程；（）当 变化时，在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，若存kx(,0)MmAB在求出 的取值范围，若不存在说明理由m21 （本小题满分 12 分）已知函数 （ 为常数）2()=lnfxaxa（）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；（）若 存在两个极值点 ，且 ，求
8、的最大值()fx12,x123|x12|()|fxf请考生在 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点为极点，xOylcos,inxtyt轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线 x 1:2csC2:cos()3C（）求 的直角坐标方程；2C（）若直线 与曲线 , 分别相交于异于原点的点 ,求 的最大值.l1C2 MN|23 （本小题满分 10 分）已知 ,()|1|fxax()|1|2gx（）若 ,求不等式 的解集；2a()2f（）设关于 的不等式 的解集为 ,若集合 ,求
9、的取值范围.xxgA(0,1Aa河北省“五个一名校联盟”2019 届高三第一次诊断考试理科数学评分标准参考一、选择题1. B 2. C 3.B 4. B 5.C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. A 11. D 12.A二、填空题13. 2 14. 9 15. 4 16. 15三、解答题17【解析】 （）当 时，1n2a当 时由2n1321+3na 1212+3na两式相减得 ，即 4 分1n1n且上式对于 时也成立所以数列 的通项公式 6 分1nna21na（）因为 ，8 分241lognnb10 分112()()n n:所以 1231nnTbb 1 ()()352n ()21
10、n12 分4 18【解析】 （）因为物理原始成绩2(60,13)N:则 (4786)(47)8PPP 3 分0.2.950.1所以物理原始成绩在（47，86）的人数为 （人） 5 分2.816（）随机抽取 1 人，其成绩在区间61,80的概率为 5所以随机抽取三人，则 可取 0,1,2,3，且 7 分X2(3,)XB:327(0)51PX21354()PC236()5C 38()2X所以 的分布列为X10 分数学期望 12 分26()35EX19【解析】 （）在 中， 是斜边 的中点，所以 .tRBCDFB12FCBD因为 是 的中点，所以 ，且 ，F， A， 12EAE所以 ， .2 分22
11、E又因为 ，所以 ，,/BBF且 ，故 平面DFCECD因为 平面 ，所以平面 平面 5 分EB（）方法一：取 中点 ，则AM/因为 ，所以 .12CDCA又因为 ，所以 平面 ，故 平面BBEABC因此 是直线 与平面 所成的角E所以 .8 分2cos306,ACM 2CD过点 作 于 ，则 平面 ，BNBNA23A过点 作 于 ，连接 ，HECH则 为二面角 的平面角.10 分BNB因为 ，2X0 1 2 3P27546581所以2366,2BHENBH1cos因此二面角 的余弦值为 12 分ACEB13方法二：如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴BD，以 B 为坐标原点，BD，BA
12、为 y， z 轴建立空间直角坐标系.因为 (同方法一,过程略)2CDB则 ， , 8 分(1,0)A01)E所以 , ,=E(,1)设平面 的法向量C1)mxyz则 即 取 ,得 10 分0AE:10z1,1（ ）设平面 的法向量B2(,)nxy则 即 取 ,得0nC:20yz21,1n（ ）所以cos, =3|mn:因此二面角 的余弦值为 12 分ACEB120【解析】 （）由已知椭圆过点 ，可得3,2x yzABCDEF，.3 分2271453abc解得 所以椭圆的 方程为 . 5 分29,4abE2194xy（）设 ， 的中点12(,)(,)AxyBA0(,)C由 消去 得 ，294k2
13、(49)187kx所以 . 7 分120 02 24, 9xykk当 时，k设过点 且与 垂直的直线方程Cl 2214()49yxkk将 代入得： 9 分(,0)Mm5k若 ，则 ，k492=1若 ，则04(9)2(9)=12kkk所以 或 11 分512m51当 时，0k综上所述，存在点 满足条件,m 取值范围是 .12 分M521m21【解析】 （）2()2,(0)xafxax设 ，定义域为2()gxa(0,)由二次函数图象性质可知，函数 是单调函数等价于 恒成立，2 分()fx()0gx所以 或04a2160解得 .5 分（）由（I）函数 的两个极值点 满足 ，()fx12,x20ax所
14、以 1212,a不妨设 ，则 在 上是减函数，0x()fx12,)2 111122() lnxffa2 11121222()llnxxx8 分21lxx令 设函数2t()ln (1)htt因为 ，221()0htt所以 在 上为增函数.10 分t,)由 ，即 ，1223xx20x解得 ，故214125()()lnfxfh所以 的最大值为 .12 分12()fxf152ln422【解析】 （）极坐标方程 可化为 2 分cos()313cosin2等价于 ，21sin将 代入，22cos,i,xyxy所以曲线 的直角坐标方程为 .5 分2C2130（）不妨设 ，点 的极坐标分别为0,MN12(,),所以 7 分12cos33insi()所以当 时， 取得最大值 .10 分56MN323【解析】 （）若 ，则 ，12a12x等价于 或 或 3 分3xx32x解得 40所以原不等式的解集为 5 分|3x（）由题意可知，对于 ，不等式 恒成立0,1112ax可化为 化简得 7 分xax所以 ，231xax即因为 所以 10 分132, 25xx3a
