1、闽粤赣“三省十校”2019 届高三联考理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.第卷一、单选题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1若复数 ，则 在复平面上对应的点在（ ）iZ12ZA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合 ， ，则 （ ）024|x421|xBBAA B C D21|x,02,103.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年 月至 年 月期间月接待20142016游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
2、根据该折线图，下列结论正确的是( )A月接待游客逐月增加B年接待游客量逐年减少C各年的月接待游客量高峰期大致在 月7,6D各年 月至 月的月接待游客量相对于 月至 月，波动性较小，变化比较稳定16124已知双曲线 的左焦点 在圆 上，则双曲线 的)0(1:2myxF01562yxC离心率为（ ）A B C D234959535已知 是 的重心，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落在 内的概率是（ PCABPBC）A BC D413121326 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：“有 个人分 个橘子，他们分得的橘子
3、个数成公差560为 的等差数列，问 人各得多少橘子 ”根据这个问题，有下列 个说法：得到橘子最多的人所35 3得的橘子个数是 ；得到橘子最少的人所得的橘子个数是 ；得到橘子第三多的人所得的橘子1个数是 其中说法正确的个数是（ ）2A B C D0 237函数 的图象大致是 （ ）12)4ln()xexfA B C D8若 ，则 的值为（ ）32)15cos(2sincoA B C D999109109一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B632638C D1110.已知 中，角 所对的边分别是 ，且 ，点 在边 上，且BCA, cba, acbAC32osMAC， ，则
4、（ ）721cosAM7BA B C D4 2311过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，分别过 作准线的垂线，垂足分xy42FBA、 BA、别为 两点，以线段 为直径的圆 过点 ，则圆 的方程为（ ）BA、 BAC)3,2(CA B5)1()(22yx 1712yxC D6)()(212若函数 的图象上存在两个点 关于原点对称，则称点对 为 的“友情)(xfyA, ,BA)(xfy点对” ，点对 与 可看作同一个“友情点对” ，若函数 恰,BA, 0,960,2)(23axf好有两个“友情点对” ，则实数的值为（ ）A B C D0122第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题
5、为必考题，每个试题考生都必须做答.第 2223题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)13已知向量 , 满足 ， ， ，则 _ab12baba214若 的展开式中只有第 项的系数最大，则该展开式中的常数项为nx231)(*N6_15若平面区域 是一个梯形，则实数 的取值范围是 .20kxy k16在三棱锥 中， ， ，侧面 为正三角形，且顶点 在底面ABCP23BCAPACP上的射影落在 的重心 上，则该三棱锥的外接球的表面积为 .G三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，第22、23
6、题为选考题）17 （本小题满分 12 分）已知数列 中， , , .设na12a1123nna),(*N.nnab1（1）证明：数列 是等比数列；b（2）设 ，求数列 的前 项的和 .nnc2)14(ncnS18.（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 中， 是等边三角形， 是等腰直角ABCDMCMD三角形， ，平面 平面 ， 平面 .90CMDBC(1) 求证： ；A(2) 若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.2B19.（本小题满分 12 分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左右焦点)0(1:2bayxC），（ 321分别为 ， .)0,(1cF),(2（1）求椭圆 的方程；C（2） 是
7、 上异于 的两点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，证明: 两点的横NP,MPN43NM,坐标之和为常数.20 （本小题满分 12 分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施重庆 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、 分钟跳绳三2018 1项测试，三项考试满分为 分，其中立定跳远 分，掷实心球 分， 分钟跳绳 分某学校在50151520初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 名学生进行测试，得到频率0分布直方图(如图） ，且规定计分规则如下
8、表：每分钟跳绳个数 165,175,185,得分 78920（1）现从样本的 名学生中，任意选取 人，求两人得分之和不大于 分的概率；1023（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 服从正态分布 ，用样本数据的平均值和方差X),(2N估计总体的期望和方差，已知样本方差 （各组数据用中点值代替） 根据往年经验，该1692S校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 个，现利用所得正态分布模型：10（）预估全年级恰好有 名学生时，正式测试每分钟跳 个以上的人数；（结果2082四舍五入到整数）（）若在全年级所
9、有学生中任意选取 人，记正式测试时每分钟跳 个以上的人数为 ，求随3195机变量 的分布列和期望附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，X),(2N682.0)(XP，954.0)22(P 974.3321 （本小题满分 12 分）已知函数 .axxf2ln1)( )(R（1）当 时，讨论函数 的单调性；0ax（2）若 且 ，求证： . )1,(x1)(2xefx请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.（22） （本小题满分 10 分）选修 44: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知点 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐xoy)
10、2,(Ax标系，曲线 的极坐标方程为 ，过点 作直线 的平行Ecoscs2a0(A)(4R线 ，分别交曲线 于 两点 .l CB,（1）写出曲线 和直线 的直角坐标方程；l（2）若 成等比数列，求 的值.A, a（23） （本小题满分 10 分）选修 45: 不等式选讲已知 ，且 0,ba2ba（1）若 恒成立，求 的取值范围；1242xx（2）证明： 415ba闽粤赣“三省十校”2019 届高三联考理科数学参考答案1、选择题：（每题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D D B C A D B A A C2、填空题：（每题 5 分，
11、共 20 分）13. 14. 15. 16. 210)2(， 13603、解答题：（共 70 分）17.（1）证明：因为 ， ，*),2(311Nnaann nnab1所以 ，2)(21112 nnnn ab又因为 ，2a所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列. 5 分nb12（2） 由（1）知 ，12n因为 ，nnbc)4(2所以 ，1241)2()1(2 nnnn所以 53421ccSnn 4. 12 分2n18.(1) 证明：取 的中点 ,连接 .CDOMB, 是等边三角形，B . 1 分 是等腰直角三角形， ，M90CD . 2 分CDO 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，B
12、MCDBOMCD 平面 . 3 分 平面 ,AB . OM/ 四点共面. 4 分, , , ,OMBCDB 平面 . 5 分CDA 平面 , . 6 分(2) 作 ,垂足为 ,则 .BNOBN 是等边三角形， ,CD2C .2,3O在 中, .7 分ANMRt 122BAMNA 是等腰直角三角形， ，CD90CD .12O . 8 分2OANBA如图,以点 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, xBOy所在直线为 轴,建立空间直角坐标系 ,Mz yz则 , , , .)10()03(B)1(D)2,30(A , , .,A,M,1B设平面 的法向量为 ,)(zyxn由 , ,得 9
13、 分0BnD03令 ,得 .1y,3zx 是平面 的一个法向量. 10 分),(nBM设直线 与平面 所成角为 ,AD则 . 11 分7213,cosin nA直线 与平面 所成角的正弦值为 . 12 分AMBD72119.(1）因为椭圆经过点 ，所以 ；又因为 ，所以 ；又 ，解得)3,0(3be21ac2ba，所以椭圆 的方程为 4 分,2baC142yx（2）设 三点坐标分别为 , , ，NP, )(P)(M)(Nx设直线 斜率分别为 ，则直线 方程为 ，M, 21,k )(1PPxky由方程组 消去 ，得)(3412PPxkyxy，0124848)3( 12121 Pyxkxk由根与系
14、数关系可得 ，213)(xPPM故 ，2121214843)(8kxykyxPPPM同理可得 ，2)(kxxPN又 ，4321k故 ，34864383)(8 212112 kyxkyxkyxx PPPPN则 ，MPPPPN xyxkyx2121213844386从而 .0M即 两点的横坐标之和为常数. 12 分,20.（1）两人得分之和不大于 分，即两人得分均为 分，或两人中 人 分， 人 分，35171718（3 分）1650292106CP（2） （5 分）180.21.03.1904.8.7. X又 ，所以正式测试时， ， 3,92,5（） ，.26.01)8(P （人） （7 分）83
15、.43.0（）由正态分布模型，全年级所有学生中任取 人，每分钟跳绳个数 以上的概率为 ，11955.0即 ， ,)5.,(B 25.0).()0(33CP 37).(.0)(23CP,751.223CP 1.3 的分布列为0123P125.375.375.0125.0（12 分）.3)(E21.（1）函数 的定义域为 ，xf ),0(，xaxaa )1(2121)(2 若 时，则 ， 在 上单调递减；00)(f)(f),若 时，当 时， ；aax1x当 时， ；x0)(f当 时， .a1故在 上， 单调递减；在 上， 单调递増；5 分,0)(xf ,1a)(xf（2）若 且 ，a)1,(欲证
16、，)2xefx只需证 ，1ln12xex即证 .e)()l(3设函数 ，则 .ln1xxg1,0(xgln)(当 时， .故函数 在 上单调递增.),0()( x1,0所以 . 1gx设函数 ，则 .xeh)()3 xexh)32()2设函数 ，则 .2xp61p当 时， ，)1,0(08)1(故存在 ，使得 ，,xxp从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减.)(p),0)1,(0x当 时， ，当 时，,x2(p，0)1(0px故存在 ，使得 ，)1,0(0)1xh即当 时， ，当 时， ,x(p)(1， 0)(xp从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减.)(h),01，因为 ，e,故当
17、时，)1,0(x1)0(hx所以 ，),ln3ex即 . 12 分)1,0()(2xefx22 （1）由 ,得 .coscsa cos2cos2a得曲线 的直角坐标方程为 .E)0(2axy又直线 的斜率为 ，且过点 ，故直线 的直角坐标方程为 .4 分l1Al 2xy（2）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，xoyltyx2代入 得 axy20416)8(2att ，81t421a ， ，即ACB2 21)(tt21215)(tt,得 ， ,由 ，得 .10 分)164(5)(a230043a1a23.（1）设 ，21,3,12xxy由 ，得 2ba2）（ ba故 29)425(1)45(1)(41(41 2222 baba所以 9x当 时， ，得 ；1x2291当 时， ，解得 ，故 ；23x613x12x当 时， ，解得 ，故 ；x299综上 5 分（2） 252545 )()(1 babababa .10 分4)2) 252（
