1、江苏省无锡市 2019 届高三第一次模拟考试数 学注意事项：1. 本试卷共 160 分，考试时间 120 分钟2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 设集合 Ax| x0，Bx| 20)与函数 y|cos x|的图象恰有四个公共点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x3，y 3)，D( x4，y 4)，其中 x1b0)的离心率为x2a2 y2b2，且过点 ，点 P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于32 ( 3， 12)点 D.(1) 求椭圆 C
2、 的标准方程；(2) 求PCD 面积的最大值(第 18 题)19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)e x x2ax(a0)a2(1) 当 a1 时，求证：对于任意 x0，都有 f(x)0 成立；(2) 若 yf(x)恰好在 xx 1 和 xx 2 两处取得极值，求证： 0，q1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3a 4，数列b n的前 n 项和 Tn 满足 2Tnn(b n1)，nN *，b 2 1.(1) 求数列a n，b n的通项公式；(2) 是否存在常数 t，使得 为等比数列？请说明理由；Sn 12t(3) 设 cn ，对于任意给定的正整数 k(k2)，是否存在正整数 l
3、，m(k0)到点 F(2，0)的距离减去 M 到直线 x1 的距离等于 1.(1) 求曲线 C 的方程；(2) 若直线 yk(x2)与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补24. (本小题满分 10 分)已知数列a n满足 a1 ， (n2)23 1an 1 2 an 1an 1 1(1) 求数列a n的通项公式；(2 )设数列a n的前 n 项和为 Sn，用数学归纳法证明：S n0，所以 cos C ，12又因为 C(0，) ，所以 C .(7 分)23(2) 在ABC 中，由余弦定理，得 c2a 2b 22abcos C，所以 a2b 22abcos 9
4、，即(ab) 2ab9，(9 分)23所以 ab(ab) 29 ，所以 9，(a b2 )23（a b）24即(ab) 212，所以 ab2 ，(12 分)3又因为 abc，所以 61.6，所以 0.2，得 x4.(5 分)x20又 x10 且 xZ，故 x4，5，6，7，8，9.答：至少抽取 20 户从事包装、销售工作(7 分)(2) 假设该村户均纯收入能达到 1.35 万元，由题意得，不等式 5x (1005x)1100 (3 14x) (1 x20)1.35 有正整数解，(8 分)化简整理得 3x230x 700，(10 分)所以 x 5 .(11 分)153 153因为 30 时，g(
5、x)0，则 f(x)在 (0，)上单调递增，故 f(x)f(0) 0，所以 f(x)在(0，) 上单调递增，(5 分)进而 f(x)f(0)10，即对任意 x0，都有 f(x)0.(6 分)(2) f(x)e xaxa ，因为 x1，x 2 为 f(x)的两个极值点，所以 即f（x1） 0，f（x2） 0，) ex1 ax1 a 0，ex2 ax2 a 0.)两式相减，得 a ，(8 分)ex1 ex2x1 x2则所证不等式等价于 x2，两边同时除以 ex2 可得：e 0，所证不等式只需证明：e 0，所以 4k2l1 1 或 2k1 或(2k1) 2.(14 分)若 4k2l1 1，则 l2k
6、 ， m4k 23k，此时 ml4k 2k0，满足( k0，所以 x10 ，所以 x2，（x 2）2 y2两边平方，整理得曲线 C 的方程为 y28x.(4 分)设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，联立 y2 8x，y kx 2，)得 k2x2(4k 28)x4k 20，所以 x1x24.(6 分)由 kFA kFB y1x1 2 y2x2 2 k（x1 2）x1 2 k（x2 2）x2 2k（x1 2）（x2 2） k（x1 2）（x2 2）（x1 2）（x2 2） .(8 分)2k（x1x2 4）（x1 2）（x2 2）将 x1x24 代入，得 kFAk FB0，所以直线 FA
7、和直线 FB 的倾斜角互补(10 分)24. (1) 因为 n2，由 ，1an 1 2 an 1an 1 1得 ，1an 1 1 an 1an 1 1 1an 1 1所以 1，(1 分)1an 1 1an 1 1所以 是首项为 3，公差为 1 的等差数列，1an 1且 n2，所以 an .(3 分)1an 1 n 1n 2(2) 下面用数学归纳法证明：S n163ln e4ln 2ln 2 ，32 32 34 3423所以命题成立；(5 分)假设当 nk(k1，kN *)时成立，即 Sk0)，因为 x0，所以 F(x) 1 0，11 x x1 x所以函数 F(x)在(0，) 上为减函数，所以 F(x)F(0)0，即 ln(1x)x，所以 ln ，也就是说，当 nk 1 时命题也成立(1 1k 3) 1k 3综上所述，S nnln .(10 分)n 32 12
