1、2019 届高三年级第一次模拟考试数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式：柱体的体积 VSh，锥体的体积 V Sh13一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 函数 f(x)sin 2x 的最小正周期为_2. 已知集合 A4，a 2，B 1，16 ，若 AB，则实数 a_3. 复数 z 满足 zi43i(i 是虚数单位) ，则|z| _4. 函数 y 的定义域是_1 x25. 从 1，2，3，4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为 6 的概率为_6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 T 的值是_7. 已知数列a n满
2、足 log2an1 log 2an1，则 _a5 a3a3 a18. 若抛物线 y22px(p0)的准线与双曲线 x2y 21 的一条准线重合，则 p_9. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，M 为棱 AA1 的中点，记三棱锥 A1MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1BB1C1C 的体积为 V2，则 的值是_V1V210. 已知函数 f(x)2x 44x 2，若 f(a3)f(a1)，则实数 a 的取值范围为_11. 在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1：(xk) 2(yk4) 21 上任一点 P 作圆C2：x 2 y21 的一条切线，切点为 Q，则当线段 PQ 的长最小时，k_1
3、2. 已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上任一点，且满足 2 0， PA PB PD PA PB 0，则 _PC 13. 已知函数 f(x) 若存在 x00，使得 f(x0)0，则实数 a 的取值范围x3 3x 2a， x a，x3 3x 4a， xb0)的左顶点为 A，B 是椭圆 C 上异x2a2 y2b2于左、右顶点的任意一点，P 是 AB 的中点，过点 B 且与 AB 垂直的直线与直线 OP 交于点 Q，已知椭圆 C 的离心率为 ，点 A 到右准线的距离为 6.12(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设点 Q 的横坐标为 x0，求 x0 的取值范围19. (本小题满分 16
4、分)设 A，B 为函数 yf(x)图象上相异两点，且点 A，B 的横坐标互为倒数，过点 A，B 分别作函数 yf(x) 的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数 f(x)的“优点” (1) 若函数 f(x) 不存在“优点” ，求实数 a 的值；ln x， 01 )(2) 求函数 f(x)x 2 的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数 f(x)ln x 的“优点”一定落在第一象限20. (本小题满分 16 分)已知首项不为 0 的数列a n的前 n 项和为 Sn，2a 1a 2a 3，且对任意的 nN，n2 都有2nSn1 (2 n5)S nS n1 ra 1.(1) 若 a2
5、3a 1，求 r 的值；(2) 数列a n能否是等比数列？说明理由；(3) 当 r1 时，求证：数列 an是等差数列2019 届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)B. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，曲线 C 的参数方程x 12 t，y 12 t )为 ( 为参数 )
6、若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长x 1 2cos ，y 2sin )C. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)设正数 a，b，c 满足 3a2bc1，求 的最小值1a 1a b 1b c【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 13，AB1.(1) 求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；(2) 求平面 A1BC 与平面 AC1D 所成二面角的正弦值23. (本小题满分 10 分)已知函数 f(
7、x) 1|2x 1|，0x1，设 fn(x)f n1 (f1(x)，其中 f1(x)f(x) ，方程fn(x)0 和方程 fn(x)1 根的个数分别为 gn(0)，g n(1)(1) 求 g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)g n(1)1.2019 届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学参考答案1. 2. 4 3. 5 4. 1，1 5. 6. 8157. 4 8. 9. 10. (1，) 11. 221412. 13. 1，0) 14. 34 51015. (1) 因为 a b，所以 sin xcos x ，即 sin 2x1.12因为 x(0 ，)，所以 x .4(2) 因为 t
8、an x 2，sin xcos x所以 sin x 2cos x.因为 ab ，(sin x 12，1 cos x)所以|a b| .(sin x 12)2 （1 cos x）2 94 sin x 2cos x 3216. (1) O 为 BD 的中点，F 为 PD 的中点，所以 PBFO.因为 PB平面 OEF，FO平面 OEF，所以 PB平面 OEF.(2) 连结 AC，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 AC 与 BD 交于点 O，O 为 AC 的中点因为 E 为 PC 的中点，所以 PAOE.因为 PAAB ， PAAD，ABADA，AB，AD平面 ABCD，所以 PA平面 AB
9、CD，所以 OE平面 ABCD.因为 OE平面 OEF，所以平面 OEF平面 ABCD.17. (1) 因为 Q 为弧 AB 的中点，由对称性，知 PAPB，AOPBOP ，6又APO ，OAP ，6由正弦定理，得 ，又 OA2，PAsin 6 OAsin（ ）OPsin( 6)所以 PA ，OP ，1sin 2sin( 6)sin 所以 yPAPBOP2PAOP ，2 2sin( 6)sin 3sin cos 2sin 因为APQ AOP，所以 ，OAQOQA ( ) ，6 12 6 512所以 .(6，512)(2) 令 f() ， ，3sin cos 2sin (6，512)f() 0，
10、得 ，1 2cos sin2 3f()在区间 上单调递减，在区间( ， )上单调递增，(6，3) 3 512所以当 ，即 OP 千米时，f()有唯一的极小值，即是最小值，则 f()min2 .3 233 3答：当工作坑 P 与 O 的距离为 千米时，地下电缆管线的总长度最小23318. (1) 依题意，得 解得ca 12，a a2c 6，) a 2，c 1，)所以 b ，a2 c2 3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2) 由(1)知，A(2，0) ，设 AB：xmy2，m0，联立 x my 2，3x2 4y2 12，)解得 或x 6m2 83m2 4，y 12m3m2 4) x 2
11、，y 0，)即 B( ， )，则 P( ， )，6m2 83m2 4 12m3m2 4 83m2 4 6m3m2 4所以 kOP ，OP ：y x.3m4 3m4因为 ABBQ ，所以 kBQm ，所以直线 BQ 的方程为 BQ：ymx ，6m3 4m3m2 4联立 得 x0 8 (4，8)y 3m4x，y mx 6m3 4m3m2 4，) 8（3m2 2）3m2 4 163m2 419. (1) 由题意可知，f(x)f 对 x(0，1) (1，)恒成立，(1x)不妨取 x(0，1)，则 f(x) f 恒成立，即 a ，1x 2ax (1x) 12经验证，a 符合题意12(2) 设 A(t，t
12、 2)，B (t0 且 t1)，(1t，1t2)因为 f(x)2x，所以 A，B 两点处的切线方程分别为 y2tx t 2，y x ，2t 1t2令 2txt 2 x ，解得 x (，1) (1，)，2t 1t2 12(t 1t)所以“优点”的横坐标取值范围为(，1) (1，)(3) 设 A(t，ln t)，b ，t(0，1) ，(1t， ln t)因为 f(x) ，1x所以 A，B 两点处的切线方程分别为 y xln t1，y txln t1，1t令 xln t1txln t1，1t解得 x 0，2ln tt 1t所以 y ln t1 (ln t )，1t 2ln tt 1t t2 1t2
13、1 t2 1t2 1设 h(m)ln m ，m(0，1) ，m2 1m2 1则 h(m) 0，（m2 1）2m（m2 1）2所以 h(m)单调递增，所以 h(m)0 ，1t 2ln tt 1t所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限20. (1)令 n2，得 4S39S 2S 1ra 1，即 4(a3 a2a 1)9(a 2a 1)a 1ra 1，化简，得 4a35a 24a 1ra 1.因为 2a1a 2a 3，a 23a 1，所以 45a153a 14a 1ra 1，解得 r1.(2) 假设数列a n是等比数列，公比为 q，则由 2a1a 2a 3 得 2a1a 1qa 1q2，且
14、 a10，解得q2 或 q1，由 2nSn1 (2n5)S nS n1 ra 1，得 4Sn2na n1 a nra 1(n2)，所以 4Sn1 2(n1)a na n1 ra 1(n3)，两式相减，整理得 2nan1 a n1 (2n3)a n，两边同除以 an1 ，可得 2n(q2q) 3q1.因为 q2 或1，所以 q2q0，所以上式不可能对任意 n3 恒成立，故数列a n不可能是等比数列(3) r1 时，令 n2，整理得4a 15a 24a 3a 1，又由 2a1a 2a 3 可知 a23a 1，a 35a 1，令 n3，可得 6S411S 3S 2a 1，解得 a47a 1，由(2)
15、可知 4Sn2na n1 a na 1(n2) ，所以 4Sn1 2(n1)a na n1 a 1(n3)，两式相减，整理得 2nan1 a n1 (2n3)a n(n3) ，所以 2(n1)a na n2 (2n 1)a n1 (n4) ，两式相减，可得 2n(an1 a n)(a na n1 )(a na n1 )(a n1 a n2 )(n4)因为(a 4a 3) (a3a 2)0，所以(a na n1 )(a n1 a n2 )0(n4)，即 ana n1 a n1 a n2 (n4) ，又因为 a3a 2a 2a 12a 1，所以数列a n是以 a1 为首项，2a 1 为公差的等差数
16、列21. A. 将 2 代入 2(x1) ( x5)0，得 x3，| 1 2 52 x|B. 由题意得曲线 C 的直角坐标方程为( x1) 2y 24.将直线 l 的参数方程 代入(x1) 2y 24 得x 12 t，y 12 t) 4，(12 t 1)2(12 t)2即 4t24t30，解得 t1 ，t 2 ，12 32则 AB |t1t 2| 2 .2 2| 12 32| 2C. 因为 3a2bc1，所以 1a 1a b 1b c(2aabbc) (1a 1a b 1b c)( )22a1a a b 1a b b c 1b c( 11) 2264 ，2当且仅当 时，等号成立，1a2a1a
17、ba b1b cb c所以 的最小值为 64 .1a 1a b 1b c 222. (1) 以 AB，AD，AA 1 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则A1(0，0 ，3) ， B(1，0，0) ，C 1(1，1，3)，所以 (1，0，3)， (1，1，3) ，BA1 AC1 所以 cos ， .BA1 AC1 1 91011 411055(2) 由题意得 C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以 (1，0，3)， (1，1，3) ， (1， 1，3) ， (0，1，0) ，A1B A1C AC1 AD 设平面 A1BC 的一个法向量为 n1( x1，y 1，
18、z 1)，则即A1B n1 0，A1C n1 0，) x1 3z1 0，x1 y1 3z1 0，)令 z11，则 n1(3 ，0，1)设平面 AC1D 的一个法向量为 n2( x2，y 2，z 2)，则即AC1 n2 0，AD n2 0，) x2 y2 3z2 0，y2 0， )令 z21，则 n2( 3，0，1)，所以 cosn 1， n2 ，n1n2|n1|n2| 9 11010 45所以平面 A1BC 与平面 AC1D 所成二面角的正弦值为 .3523. (1) 当 n2 时，f 2(x)f 1(1|2x 1|)f(1 |2x 1|)1|2(1|2x1|)1|1，所以 2(1|2x 1|
19、)1，所以 1|2x1| ，12所以 2x1 ，12所以 x 或 x ，14 34所以 g2(1)2.(2) 因为 f(0)f(1)0，所以 fn(0)f n(1)0.因为 f1(x)1 |2x1|0， 1，当 x 时， f1(x)单调递增，且 f1(x)(0，1，(0，12当 x 时， f1(x)单调递减，且 f1(x)0，1)(12，1下面用数学归纳法证明：方程 fn(x)0(x(0，1) 、方程 fn(x)1(x (0，1)、方程 fn(x)0(x 0，1)、方程 fn(x) 1(x0，1) 的根的个数都相等，且为 gn(1)() 当 n1 时，方程 f1(x) 0(x(0，1)、方程
20、f1(x)1(x(0 ，1)、方程 f1(x)0(x0，1) 、方程 f1(x)1(x0，1) 的根的个数都相等，且为 1，上述命题成立() 假设 nk 时，方程 fk(x)0(x (0，1)、方程 fk(x)1(x(0 ，1)、方程 fk(x)0(x0，1) 、方程 fk(x)1(x0，1) 的根的个数都相等，且为 gk(1)，则当 nk1 时，有 fk1 (x) fk(f1(x)当 x 时， f1(x)(0，1，方程 fk1 (x)0 的根的个数为 gk(1)(0，12当 x 时， f1(x)0，1)，方程 fk1 (x)0 的根的个数也为 gk(1)(12，1所以方程 fk1 (x)0(x(0， 1)的根的个数为 gk1 (0)2g k(1)，同理可证：方程 fk1 (x)1(x(0，1) 、方程 fk1 (x)0(x0，1)、方程 fk1 (x)1(x0 ，1)的根的个数都相等，且为 2gk(1)，由()( )可知，命题成立，又因为 fn(0)f n(1)0，所以 gn(0)g n(1)1.欢迎访问“ 高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
