1、2019 年春人教版九年级下册数学第 27 章 相似 单元测试题一选择题（共 10 小题）1已知 x：y：z1：2：3，且 2x+y3z15，则 x 的值为（ ）A2 B2 C3 D32若 a：b3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，则 b：c 等于（ ）A4：3 B3：4 C3：2 D2：33下列命题中，其中正确的命题个数有（ ）（1）在ABC 中，已知 AB6，AC ，B45，则C 的度数为 60；（2）已知O 的半径为 5，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3，则O 上到弦 AB 所在直线的距离为 2 的点有 3 个；（3）圆心角是 180的扇形是一个半圆；（4）已知点 P 是线段 AB
2、 的黄金分割点，若 AB1，则 AP A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4如图，已知直线 l1，l 2，l 3 分别交直线 l4 于点 A，B，C，交直线 l5 于点 D，E，F，且l1l 2l 3，若 AB4，AC6，DF9，则 DE（ ）A5 B6 C7 D85下列说法中正确的是（ ）A两个直角三角形一定相似B两个等腰三角形一定相似C两个等腰直角三角形一定相似D两个矩形一定相似6两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为 3cm，4cm ，且它们面积的差为 28cm2，则较大的六边形的面积为（ ）A44.8 cm 2 B45 cm 2 C64 cm 2 D54 cm 27要制作两个形状
3、相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（ ）A3cm B4cm C4.5cm D5cm8如图，ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四个条件中：ACPB；APC ACB ；AC 2APAB；ABCP AP CB，能满足APC 和ACB 相似的条件是（ ）A B C D9如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 DC 上的点，DE：EC3：2，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 与BAF 的面积之比为（ ）A2：5 B3：5 C9：25 D4：2510在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影
4、长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么这根旗杆的高度为（ ）A10m B12m C15m D40m二填空题（共 8 小题）11若 ，则 12如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1、l 2、l 3 于点 A、B、C；过点 B 的直线 DE 分别交l1、l 3 于点 D、E若 AB2，BC 4，BD1.5，则线段 DE 的长为 13已知 ，且 a+b2c6，则 a 的值 14如图，ABC 与ADB 中，ABC ADB 90，CABD，AC 5cm ，AB4cm，AD的长为 15如图，在ABC 中，DEBC， ，则 16已知ABC 和DEF 中点 A、B、C 分别与点 D
5、、E、F 相对应且A70时，B34 ，D70，则当 F 时，ABCDEF17如图，已知线段 AB 的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是 A（m，m ），B（2n，n），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，则经过位似变换后 A、B 的对应点坐标分别是A ，B ；点 A 到原点 O 的距离是 18如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚 AD 和 BC 交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA3OD，OB3OC ），然后张开两脚，使 A、B 两个尖端分别在线段 l 的两端上，若CD2，则
6、AB 的长是 三解答题（共 8 小题）19已知 ，（1）求 的值；（2）若 x2y+4z 24，求 x+y+z 的值20如图，四边形 ABCD 与四边形 ABFE 都是矩形，AB3，AD6.5，BF 2（1）求下列各线段的比： ， ， ；（2）指出 AB，BC，CF，CD，EF，FB 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21如图，在ABC 与ABC中，AA，BD、CE 是ABC 的高，BD 、CE是ABC的高，点 D、E、D、E分别在 AC、AB 、AC、AB上，且 求证： 22如图所示：在ABC 中，ABAC 5，BC 8，D ，E 分别为 BCAB 边上一点，ADEC，（1）求证：AD
7、2AE AB；（2）ADC 与BED 是否相等？请说明理由；（3）若 CD2，求 AD 的长23如图，ABCBCD90，A45，D30，BC1，AC，BD 交于点 O求的值24如图，以 O 为位似中心，将 ABC 放大为原来的 2 倍（不写作法，保留作图痕迹）25如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，AC 2ABAD，ADC90，点 E 为 AB 的中点（1）求证：ADCACB（2）若 AD2，AB 3，求 的值26如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，联结 DE，过顶点 B 作 BFDE ，垂足为F，BF 交边 DC 于点 G（1）求证：GDABDF BG；（
8、2）联结 CF，求证：CFB452019 年春人教版九年级下册数学第 27 章 相似 单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1已知 x：y：z1：2：3，且 2x+y3z15，则 x 的值为（ ）A2 B2 C3 D3【分析】先利用 x：y ：z1：2：3，y 2x，z3x，然后消去 y 与 z 得到关于 x 的一元一次方程，再解一次方程即可【解答】解：x：y ：z1：2：3，y2x，z3x ，2x+2x9x15，x3故选：C【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题2若 a：b3：2，且 b 是 a、c 的比
9、例中项，则 b：c 等于（ ）A4：3 B3：4 C3：2 D2：3【分析】由 b 是 a、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得 ，又由 a：b3：2，即可求得答案【解答】解：b 是 a、c 的比例中项，b 2ac，即 ，a：b3：2，b：c3：2故选：C【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段3下列命题中，其中正确的命题个数有（ ）（1）在ABC 中，已知 AB6，AC ，B45，则C 的度数为 60；（2）已
10、知O 的半径为 5，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3，则O 上到弦 AB 所在直线的距离为 2 的点有 3 个；（3）圆心角是 180的扇形是一个半圆；（4）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，若 AB1，则 AP A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】（1）作出图形，过点 A 作 ADBC 于点 D，然后求出 AD 的长度，再在 RtACD 中，利用锐角的正弦值求出C 的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为 5，圆心到 AB 的距离为 3 作出到直线 AB 的距离为 2 的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于 180解答；（4）因为 AP 是较长的线段
11、还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解【解答】解：（1）如图，过点 A 作 ADBC 于点 D，AB6，B45，ADABsin456 3 ，又AC ，sinC ，C60，故本小题正确；（2）如图所示，到直线 AB 的距离为 2 的点有 3 个，故本小题正确；（3）半圆的圆心角为 180，圆心角是 180的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4） 若 AP 是较长线段，则 AP2ABBP，即 AP21（1AP ），AP2+AP10，解得 AP ，若 AP 是较短的线段，则AP1 ，故本小题错误综上所述，正确的命题有（1）（2）共 2 个故选：B【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆
12、心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键4如图，已知直线 l1，l 2，l 3 分别交直线 l4 于点 A，B，C，交直线 l5 于点 D，E，F，且l1l 2l 3，若 AB4，AC6，DF9，则 DE（ ）A5 B6 C7 D8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可【解答】解：l 1l 2l 3，AB5，AC8，DF12， ，即 ，可得；DE6，故选：B【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例5下列说法中正确的是（ ）A两个直角三角形一定相似B两个等腰三角形一定相似
13、C两个等腰直角三角形一定相似D两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故 A 不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故 B 不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故 C 正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故 D 不正确；故选：C【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大6两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为 3cm，4cm ，且它们面积的差为 2
14、8cm2，则较大的六边形的面积为（ ）A44.8 cm 2 B45 cm 2 C64 cm 2 D54 cm 2【分析】设大六边形的面积为 xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可【解答】解：设大六边形的面积为 xcm2，则小六边形的面积为（x28）cm 2，两个六边形相似， （ ） 2，解得，x64，故选：C【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键7要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（ ）A3cm B4cm C4.5cm D5c
15、m【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得【解答】解：设另一个三角形的最长边长为 xcm，根据题意，得： ，解得：x4.5，即另一个三角形的最长边长为 4.5cm，故选：C【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等8如图，ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四个条件中：ACPB；APC ACB ；AC 2APAB；ABCP AP CB，能满足APC 和ACB 相似的条件是（ ）A B C D【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断【解答】解：当ACPB，
16、A 公共，所以APCACB；当APCACB，A 公共，所以APCACB；当 AC2APAB，即 AC：ABAP：AC，A 公共，所以APCACB；当 ABCPAPCB，即 ，而PACCAB，所以不能判断APC 和ACB 相似故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似9如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 DC 上的点，DE：EC3：2，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 与BAF 的面积之比为（ ）A2：5 B3：5 C9：25 D4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出 CDAB，进而可得出DEF
17、BAF，根据相似三角形的性质结合 DE：EC3：2，即可得出DEF 与BAF 的面积之比，此题得解【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，CDAB ，DEFBAFDE：EC3：2， ， （ ） 2 故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键10在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么这根旗杆的高度为（ ）A10m B12m C15m D40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解【解答】解：设旗杆高度为 x 米，由题意得， ，解得：x15故选：
18、C【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记二填空题（共 8 小题）11若 ，则 【分析】根据分比性质，可得答案【解答】解：由分比性质，得 2 ， ，故答案为： 【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用 x 表示 y，是解题关键12如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1、l 2、l 3 于点 A、B、C；过点 B 的直线 DE 分别交l1、l 3 于点 D、E若 AB2，BC 4，BD1.5，则线段 DE 的长为 4.5 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，然后把 AB、BC、BD 的值代入后，利用比例的性质可计算出 DE 的长
19、【解答】解：l 1l 2l 3， ，即 ，BE3，DE3+1.5 4.5故答案为：4.5【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例13已知 ，且 a+b2c6，则 a 的值 10 【分析】设 k ，表示出 a，b，c，代入 a+b 3c6 中求出 k 的值，即可确定出 a 的值【解答】解：设 k ，则有 a5k，b6k，c4k，代入 a+b2c6 中得：5k +6k8k 6，解得：k2，则 a10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键14如图，ABC 与ADB 中，ABC ADB 90，CABD，AC 5cm ，
20、AB4cm，AD的长为 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案【解答】解：ABCADB90，CABD，ACBABD， ，AD cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型15如图，在ABC 中，DEBC， ，则 【分析】由 DEBC 可得出ADEB、AED C，进而可得出ADEABC，根据相似三角形的性质可得出 的值【解答】解：DEBC，ADEB，AED C，ADEABC， 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出ADEABC 是解题的关键16已知ABC 和DEF 中点 A
21、、B、C 分别与点 D、E、F 相对应且A70时，B34 ，D70，则当 F 76 时，ABCDEF【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断【解答】解：ABC 和DEF 中点 A、B、C 分别与点 D、E、F 相对应且A70时，B34 ，D70，BE 34，CF76，故答案为：76【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键17如图，已知线段 AB 的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是 A（m，m ），B（2n，n），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，则经过位似变换后 A、B 的对应点坐标分别是A （ m， m） ，B （n， n）
22、 ；点 A 到原点 O 的距离是 m 【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k，则把点 A 和点 B 的坐标都乘以 即可得到点 A和点 B的坐标，再利用两点间的距离公式计算点 A 到原点 O 的距离【解答】解：A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为 ，A（ m， m），B （n， n）；点 A 到原点 O 的距离 m故答案为（ m， m），（ n， n）； m【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点
23、叫做位似中心在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或k 18如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚 AD 和 BC 交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA3OD，OB3OC ），然后张开两脚，使 A、B 两个尖端分别在线段 l 的两端上，若CD2，则 AB 的长是 6 【分析】根据题意可知ABODCO ，根据相似三角形的性质即可求出 AB 的长度，此题得解【解答】解：根据题意，可知：ABODCO ， ，即 3，AB6故答案为：6【点评】本
24、题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出 AB 的长度是解题的关键三解答题（共 8 小题）19已知 ，（1）求 的值；（2）若 x2y+4z 24，求 x+y+z 的值【分析】设 k，于是得到 x2k ，y3k，z4k，代入代数式即可得到结论【解答】解： ，设 k，x2k，y3 k，z4k，（1） ；（2）x2y+4z 24，2k6k+16k24，k2，x+y+ z2k+3k +4k9k 18 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键20如图，四边形 ABCD 与四边形 ABFE 都是矩形，AB3，AD6.5，BF 2（1）求下列各线段的比： ， ， ；（2）指出
25、 AB，BC，CF，CD，EF，FB 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到 CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解【解答】解：（1）四边形 ABCD 与四边形 ABFE 都是矩形，AB3，AD6.5，BF 2，CDEF AB 3，BCAD 6.5，CFBC BF 4.5， ， ， ；（2）成比例线段有 【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到 CD，EF，BC，CF 的值21如图，在ABC 与ABC中，AA，BD、CE 是ABC 的高，BD 、CE是ABC的高，点 D、
26、E、D、E分别在 AC、AB 、AC、AB上，且 求证： 【分析】先证BDCBD C得ACBACB，结合AA可证ABC ABC，再利用相似三角形的性质可得答案【解答】解：BD 是 AC 边上的高、BD 是 AC的高，BDCBDC90，BDC 和BDC均为直角三角形， ，BDCBDC，ACBACB，AA ，ABCABC，BD、CE 是ABC 的高，BD、CE是ABC 的高， 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质22如图所示：在ABC
27、中，ABAC 5，BC 8，D ，E 分别为 BCAB 边上一点，ADEC，（1）求证：AD 2AE AB；（2）ADC 与BED 是否相等？请说明理由；（3）若 CD2，求 AD 的长【分析】（1）证明DAEBAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明ADCDEB，根据相似三角形的性质求出 BE，代入（1）的结论计算即可【解答】（1）证明：ADEC ，DAEBAD，DAEBAD， ，即 AD2AE AB；（2）ADCDAE+B，BEDDAE +ADE ，ABAC，BC，ADCBED；（3）ADCBED，BC ，ADCDEB， ，即 ，解得，
28、BE2.4，由（1）得，AD 2AE AB13，则 AD 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键23如图，ABCBCD90，A45，D30，BC1，AC，BD 交于点 O求的值【分析】由同旁内角互补两直线平行得到 AB 与 CD 平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可【解答】解：ABCBCD90，ABCD，AACD，ABOCDO， ，在 Rt ABC 中，ABC90 ，A45，BC1，AB1，在 Rt BCD 中， BCD90 ，D30，BC 1，CD ， 【点评】此题考查了相似三角形的性质与
29、判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键24如图，以 O 为位似中心，将 ABC 放大为原来的 2 倍（不写作法，保留作图痕迹）【分析】延长 OA 到 A使 OA2OA，同样作出点 B、C，从而得到满足条件的AB C ；反向延长 OA 到 A使 OA2OA，同样作出点 B、C ，从而得到满足条件的AB C 【解答】解：如图所示：ABC 和ABC【点评】本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩
30、小的图形25如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，AC 2ABAD，ADC90，点 E 为 AB 的中点（1）求证：ADCACB（2）若 AD2，AB 3，求 的值【分析】（1）根据角平分线的定义得到DACCAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到ACBADC90，根据直角三角形的性质得到 CEAE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明 ，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】（1）证明：AC 平分 DAB ，DACCAB，AC 2ABAD， ，ADCACB；（2）ADCACB，ACBADC90，点 E 为 AB 的中点，CEAE AB ，EA
31、CECA，DACEAC，DACECA，CEAD； ， 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键26如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，联结 DE，过顶点 B 作 BFDE ，垂足为F，BF 交边 DC 于点 G（1）求证：GDABDF BG；（2）联结 CF，求证：CFB45【分析】（1）由BCDGFD90、BGCFGD 可证得BGCDGF，即可知，根据 ABBC 即可得证；（2）连接 BD，由BGC DGF 知 ，即 ，根据BGD CGF 可证BGDCGF 得BDGCFG，再由 即可得证【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形BCDADC90，ABBC，BFDE ，GFD 90 ，BCDGFD，BGCFGD，BGCDGF， ，DGBCDFBG，ABBC，DGABDFBG；（2）如图，连接 BD、CF，BGCDGF， ， ，又BGD CGF，BGD CGF ，BDG CFG ，四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线， ，CFG45【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质
