1、 合 肥市 2019届高三第一次教学质量检测 数学试题 (理科 ) (考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知 i 为虚数单位， 41iz ，则复数 z 的虚部为 ( ). A. 2i B.2i C.2 D. 2 2.集合 2 20A x x x ， 10B x x ，则 AB= ( ). A. 1xx B. 11xx C. 2xx D. 21xx 3.执行右图 所示 的程序框图，则输出 n 的值为 ( ). A.63 B.47 C.23 D.7 4.已知正项等
2、差数列 na 的前 n 项和为 nS (nN )，25 7 6 0a a a ，则 11S 的值为 ( ). A.11 B.12 C.20 D.22 5.已知偶函数 fx在 0， 上单调递增，则对实数 ab， ，“ ab ”是“ f a f b ”的 ( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、 90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是 ( ). 注： 90 后指 1990 年及以后出生， 80 后指 1980-1989 年之间出生， 80
3、 前指 1979 年及以前出生 . A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 7.平面 外有两条直线 a ， b ，它们在平面 内的射影分别是直线 m ， n ，则 下列命题正确的是 ( ). A.若 ab ， 则 mn B.若 mn ， 则 ab C.若 /mn，则 /ab D.若 m 和 n 相交，则 a 和 b 相交或异面 8.若 61axx展开式的常数项为 60，则 a 的值为 ( ). A.4 B. 4 C
4、.2 D. 2 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线 画出的是 某多面体 的三视图，则该 几何体的体积为 ( ). A. 2 5 4 2 10 B.43C.83D.16310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖， 则 将 这两个 小球放回后进行第二次摸球 .若与第一次取出的 两个小球号码相同 ，则为中奖 .按照这样的规则摸奖，中奖的概率为 ( ). A.45B.1925C.2350 D.411
5、0011.设双曲线 22:1xyCab( 00ab， )的左、右焦点分别为 12FF， ，过 1F 的直线分别交双曲线左右两支于点 MN， ，连结 22MF NF， ，若 220MF NF，22MF NF，则双曲线 C 的离心率为 ( ). A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 12.已知函数 2 2 lnf x ax x x 有两个不同的极值点 12xx， ，若不等式 12f x f x 恒成立，则实数 的取值范围是 ( ). A. 3 ， B. 3， C. e ， D. e， 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13题 第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22题、第
6、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .把答案填在答题卡上的相应位置 . 13.设 xy， 满足约束条件001030xyxyxy ，则 2z x y的取值范围为 . 14.若非零向量 ab， 满足 2a a b ，则 abb . 15.在锐角 ABC 中， 2BC ， sin sin 2 sinB C A，则中线 AD 长的取值范围是 . 16.在平面直角坐标系 xOy 中，点 nA ( 12 2 nn nn ， )( *nN )，记 2 1 2 2 1n n nA A A 的面积为 nS ，则1n ii S . 三、解答题：解答 应写出文字
7、说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分 ) 已知函数 c o s 2 s in 26f x x x . ( )求函数 fx的最小正周期； ( )若 0 2 ， ， 13f ，求 cos2 . 18.(本小题满分 12 分 ) 在四棱锥 P ABCD 中， 23BC BD DC ， 2AD AB PD PB . ( )若点 E 为 PC 的中点， 求证： BE 平面 PAD ； ( )当平面 PBD 平面 ABCD 时，求二面角 C PD B的 余弦值 . BDPCEA19.(本小题满分 12 分 ) 每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础 .
8、为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了 100 人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间 (单位：小时 )，并绘制出如右的频率分布直方图： ( )求这 100 人睡眠时间的平均数 x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位 )； ( )由直方图可以认为，人的睡眠时间 t 近似服从正态分布 2N ， ，其中 近似地等于样本平均数 x ， 2 近似地等于样本方差 2s ， 2 33.6s .假设该辖区内这一年龄层次共有 10000 人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间 (39.2，50.8)的人数 . 附： 33.6 5.8 . 若随机变量
9、Z 服从正 态分布 2N ， ，则 0 . 6 8 2 6PZ ， 2 2 0 .9 5 4 4PZ . 20.(本小题满分 12 分 ) 设椭圆 22:1xyCab( 0ab )的离心率为 22 ，圆 22:2O x y与 x 轴正半轴交于点 A ，圆 O 在点 A处的切线被椭圆 C 截得的弦长为 22 ( )求椭圆 C 的方程； ( )设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 MN， ，试判断 PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值 ； 若不是定值，请说明理由 . 21.(本小题满分 12 分 ) 已知函数 ln 1xf x e x (e 为自然对数的底数 ). ( )求函
10、数 fx的单调区间； ( )若 g x f x ax， aR ，试求函数 gx极小值的最大值 . 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答 .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑 . 22.(本小题满分 10 分 )选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 cossinxy ( 为参数 ).以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 =2cos. ( )求 1C 、 2C 交点的直角坐标； ( )设点 A 的极坐标为 34， ，
11、点 B 是 曲线 2C 上的点，求 AOB 面积的最大值 . 23.(本小题满分 10 分 )选修 4-5：不等式选讲 设函数 1f x x . ( )若 22f x x，求实数 x 的取值范围； ( )设 g x f x f ax( 1a )，若 gx的最小值为 12 ，求 a 的值 . 合 肥市 2019届高三第一次教学质量检测数学试 题 (理科 ) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 . 二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13. 1 6， 14.115. 133 2 ， 16. 222433nn 三、解答题： 17.(本小题满分 12
12、 分 ) ( ) 3 1 3 1c o s 2 s i n 2 c o s 2 s i n 2 c o s 2 s i n 22 2 2 2 6f x x x x x x x ， 函数 fx的 最小正周期为 T . 5 分( )由 13f 可得， 1sin 263. 0,2 ， 72 6 6 6 ，. 又 110 sin 26 3 2x ， 2 62， 22cos 263 ， 1 2 6c os 2 c os 2 c os 2 c os sin 2 sin6 6 6 6 6 6 6 . 12 分 18.(本小题满分 12 分 ) ( )取 CD 的中点为 M ， 连结 EM ， BM . 由已
13、知得， BCD 为等边三角形， BM CD . 2AD AB， 23BD ， 30ADB ABD ， 90ADC， /BM AD . 又 BM 平面 PAD ， AD 平面 PAD ， BM 平面 PAD . E 为 PC 的中点， M 为 CD 的 中点， EM PD . 又 EM 平面 PAD ， PD 平面 PAD ， EM 平面 PAD . EM BM M ， 平面 BEM 平面 PAD . BE 平面 BEM ， BE 平面 PAD . 5 分 ( )连结 AC ，交 BD 于点 O ，连结 PO ，由对称性知 ， O 为 BD 的 中点，且 AC BD ， PO BD . 平面 P
14、BD 平面 ABCD ， PO BD ， PO 平面 ABCD ， 1PO AO， 3CO . 以 O 为坐标原点， OC 的方向为 x 轴正方向， 建立空间直角坐标系Dxyz . 则 D (0， 3 ， 0)， C (3， 0， 0)， P (0， 0， 1). 易 知 平面 PBD 的一个法向量为 1 1 0 0n ， ， . 设平面 PCD 的法向量为 2n x y z ， ， ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A D D D C C B A BDPCEM A则 2n DC ， 2n DP ， 2200n DCn DP ， 3 3 0D
15、C ， ， ， 0 3 1DP ， ， ， 3 3 030xyyz . 令 3y ，得 13xz ， ， 2 1 3 3n ， ， 1212121 13c os 1313nnnn nn ， . 设二面角 C PD B的大小为 ，则 13cos13. 12 分 19.(本小题满分 12 分 ) ( ) 0 . 0 6 3 4 0 . 1 8 3 8 0 . 2 0 4 2 0 . 2 8 4 6 0 . 1 6 5 0 0 . 1 0 5 4 0 . 0 2 5 8 4 4 . 7 2 4 5x ； 5 分 ( )由题意得， 3 9 .2 5 0 .8 ， ， 3 9 2 5 0 .8 0 .6
16、 8 2 6Pt ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间 39.2 50.8， 的人数约为 10000 0.6826 6826(人 )； 12 分 20.(本小题满分 12 分 ) ( )设椭圆的半焦距为 c ，由椭圆的离心率为 22 知， 2b c a b， ， 椭圆 C 的方程可设为 2212xybb.易求得 2 0A ， ，点 2 2， 在椭圆上，2212bb， 解得 22 63ab ， 椭圆 C 的方程为 22163xy. 5 分 ( )当过点 P 且与 圆 O 相切 的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 2x ，由 ( )知， 2 2 2 2MN ， ， ， 2 2 2 2 0O M
17、 O N O M O N ， ， ， ， OM ON . 当过点 P 且与 圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y kx m， 1 1 2 2M x y N x y， ， ， 2 21mk ，即 2221mk. 联立直线和椭圆的方程得 22 26x kx m ， 2 2 21 2 4 2 6 0k x km x m ，得 2 2212 2212 24 4 1 2 2 6 04212621k m k mkmxxkmxxk . 1 1 2 2 O M x y O N x y， ， ， 1 2 1 2 1 2 1 2O M O N x x y y x x k x m k x m ， 22
18、 2 2 21 2 1 2 222 6 411 2 1 2 1m k mk x x k m x x m k k m mkk 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 21 2 6 4 2 1 3 2 2 6 63 6 6 02 1 2 1 2 1k m k m m k k kmkk k k ， OM ON . 综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 MN， ，都有 OM ON . 在 Rt OMN 中， 由 OMP 与 NOP 相 似得， 2 2OP PM PN 为定值 . 12 分 21.(本小题满分 12 分 ) ( )易知 1x ，且 11xf x e x . 令 1
19、1xh x e x，则 21 01xh x e x ， 函数 11xh x e x在 1x ， 上单调递增，且 0 0 0hf. 可知，当 1 0x， 时， 0h x f x， ln 1xf x e x 单调递减； 当 0x ， 时， 0h x f x， ln 1xf x e x 单调递增 . 函数 fx的单调递减区间是 1 0， ，单调递增区间是 0， . 5 分 ( ) ln 1xg x f x a x e x a x ， g x f x a. 由 ( )知， gx 在 1x ， 上单调递增， 当 1x 时， gx ；当 x 时， gx ，则 0gx 有唯一解 0x . 可知，当 01xx
20、， 时， 0gx ， ln 1xg x e x ax 单调递减； 当 0xx ， 时， 0gx ， ln 1xg x e x ax 单调 递增， 函数 gx在 0xx 处取得极小值 00 0 0ln 1xg x e x ax ，且 0x 满足001 1xeax . 00 0 0011 l n 1 1 1xg x x e x x . 令 11 l n 1 11xx x e x x ， 则 21 1xx x e x . 可知，当 1 0x， 时， 0x ， x 单调递增； 当 0x ， 时， 0x ， x 单调递减， max 01x. 函数 gx极小值的最大值为 1. 12 分 22.(本小题满分
21、 10 分 ) ( ) 221 :1C x y， 2 : =2cosC ， 2=2 cos ， 222x y x . 联立方程组得 222212xyx y x ，解得 111 232xy ， 221 232xy ， 所求交点的坐标为 13 22， 13 22，. 5 分 ( )设 B， ，则 =2cos. AOB 的面积 11s i n 4 s i n 4 c o s s i n2 2 3 3S O A O B A O B 2 cos 2 36 当 2312 时， max 23S . 10 分 23.(本小题满分 10 分 ) ( ) 22f x x，即 12 2xx 1 0 12 2xxx 或 1 0 1 2 2xxx 13x， 实数 x 的取值范围是 1 3，. 5 分 ( ) 1a ， 11a， 1 2 1111112a x xg x a x xaa x xa ， ， ， ， 易知函数 gx在 1xa ，时单调递减，在 1xa ，时单调递增， m in 111g x g aa . 1112a，解得 2a . 10 分
