1、南京市、盐城市 2019 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式锥体的体积公式： ，其中 为底面积, 为高.13VShh一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的指 定 位 置 上 .1.若集合 ， ，则 = (,A,2BAB2.设复数 （其中 为虚数单位） ，若 ，则实数的值为 zaii 2z3.某工厂生产 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样的方法抽取,C2:35一个容量为 的样本，其中样本中
2、 型号产品有 件，n16那么此样本的容量 = 4.从 中选 个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是1,23偶数的概率为 5.如图所示流程图中，若输入 的值为 ，则输出 的值为 x4c6.若双曲线 的离心率为 ，则实数 的值为 21xym2m7.已 知 为定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 当 时，fR0x，则 的 值 为 +xfelnf8.已知等比数列 为单调递增数列，设其前 项和为 ，若 ， ，则 的值为annS2a3=7S5a 9.如图， 平面 ， ， ， ， ，PABCA4P3AC1B分别为 的中点，则三棱锥 的体积为 ,EF, BEF10.设 ，点 ，过点 引圆347xy22+=
3、0xyr的两条切线 ，若 的最大值为 ，则 的值为 ,PAB3r开始输入 x是否结束02cx输出第 5题2xC第 9 题ABPEF11.设函数 ，其中 .若函数 在 上恰有 个零点，则 的取值范围()sin)3fx0fx0,2是 12.若正实数 满足 ， ，则 的最大值为 ,abc2ab2cabc13.设函数 ， 为坐标原点， ， ，对函数图象上的任意320,fxxO3,1A,0Ca一点 ，都满足 成立，则 的值为 BOABC14.若数列 满足 ， ，其中 ，且对任意na1412430,nnaa412nanN都有 成立,则 的最小值为 Nnm二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应
4、写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分 14 分)在 中，设 分别为角 的对边，记 的面积为 ，若 .ABC,abc,ABCABCS2ABC（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的值.7c4os5a16. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 上的点(其中点 不同于点 )，且1ABC,DE1,BCDC， 为棱 上的点， 于点 .ADEF11F求证：(1)平面 平面 ；(2) 平面 .1/AE17. (本小题满分 14 分) 盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐
5、城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅第 16 题游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中 为每天的时刻，若凌晨 点时，测得260ln42,1xfxmmRx6空气质量指数为 .9（1）求实数 的值；（2）求近期每天在4,22时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值： ）ln61.818. (本小题满分 16 分)已知椭圆 的两焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 ，直线2:10xyCab 8与椭圆交于 两点.:lykmRPQ、（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆的左顶点为 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， .AA1k
6、2若 ，求 的值；012k若 ，求实数 的值.124m19. (本小题满分 16 分) 若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点.(yfx0 0x()yfx设函数 .32)1tR（1）若函数 在 上无极值点，求 的取值范围；(f,)t（2）求证：对任意实数 ，函数 的图象总存在两条切线相互平行； t()fx（3）当 时，函数 的图象存在的两条平行切线之间的距离为 ，求满足此条=t()fx 4件的平行切线共有几组.20. (本小题满分 16 分) 已知数列 , 其中 .naN（1）若 满足 . na1+10nnaqN， 当 求 的值；2, q且 时 ， 4 若存在互不相等的正整数
7、 ，满足 ，且 成等差数列，求,rst2srt,rsta的值；（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ， ，nanbnnc+2=3,nbN若 恒成立，求 的最小值.2121+2, , ak且 k南京市、盐城市 2019 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 （在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题, 每小题 10 分, 计 20 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修 42：矩阵与变换）直线 经矩阵 变换后还是直线 ，求矩阵 的特征值.:30lxy 01aMdlMB.（选修 44：坐标系与参数方程）在极坐标系中,圆
8、 的极坐标方程为 ，以极点 为原点，极轴 所在的直线为 轴C2cosOxx建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，求直线 被圆 截得的弦l312xtylC长.C(选修 45：不等式选讲）已知正实数 满足 ，求 的最小值.,xyz3yzxyzx必做题 （第 22、23 题, 每小题 10 分, 计 20 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分 10 分）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 , ,PABCDABPABCD1A,点 是棱 的中点.2AE(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；(2)求二面角 的余弦值.B23 （本小题满分 10 分）已知数列 满足
9、， ，且对任意 ，都有na123a*nN成立.012 112312()nnCC（1）求 的值；（2）证明：数列 是等差数列.na南京市、盐城市 2019 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1,180134638. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 636,68728二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.第 22 题BACED15解：（1）由 ，得 ,所以 ,因为 ，所以 62SABCsinc
10、osbAtan1A0,4A分（2） 中， ,所以 ，所以 .C4cos53si572siisicosin10CBB.10 分由正弦定理 ，得 ，解得 14 分siniaA7210a=5a（评分细则：第一问解答中不交代“ ”而直接得到“ ”的，扣 1 分；第二问解答中不交,A4A代“由正弦定理得的” ，扣 1 分.）16证明：（1）在直三棱柱 中， 平面 . . 2 分1CB1BC因为 平面 ，所以 ,又因为 ，在平面 中， 与 相交，ADBC1DE11BDE所以平面 ，又因为 平面 ,所以平面 平面 6 分1AAD(2) 在直三棱柱 中， 平面 . . 8 分111因为 平面 ,所以 ,又因为
11、 ，在平面 中 ，1F1F1BC11C所以平面 , . 10 分ABC在（1）中已证得 平面 ，所以 ，又因为 平面 ， 平面AD1BC/1A1AFDEA,所以 平面 . . . . 14 分E/1E（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱 与底面垂直”，从而得到1B“ 和 ”，如果直接由“ 直三棱柱得到线线垂直 ”的，各扣 2 分；第二问中证明1F线面平行时若不交代“ 平面 ”，扣 2 分.）17 （1）由题 ，代入 ，解629.f60ln4,1xfxmmR得 5 分2m（2）由已知函数求导得： )14(260)2()(12)(2 xxf令 得 ，9 分0)(xf1),4(x1x
12、),(f+=0fxA极大值 A所以函数在 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12 时. 12 分12答：（1）实数 的值为 12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为 12 时14 分m（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣 3 分；最后未给出“答”再扣 2 分.）18解：（1）椭圆 的离心率为 ，两准线间的距离为 得 ，所以 ，C12cea28ac42a，所以 ，所以椭圆的方程为 .3 分c23b43xy（2）设 ，由于 ，则 ，由 得 ，5 分0(,)Pxy0m0(,)Q2013xy220034x所以 8 分2200012 04=xykxx （3）由（1）得 .,
13、A方法一：设 ，设直线 的方程为 ： ，联立 ，消去 ，1(,)PyPA12ykx2143xyky得 ，所以 ，10 分222111(34)60kxk12634A所以 ， 代入 得 ，所以 12 分218yx11ky21128(,)34Pk由 得 ，整体代换得 13 分124k1k22(,)Q设 ，由 三点共线得 ，即,0MmP、 、 /PM，化简得 ，所2 21111268()()334kmk2164=0k以 16 分=方法二：设 ， ，联立 ，消去 ，得1(,)Pxy2(,)Q21:xylky，所以 ， 10 分22(34)840kmk228+34mx21413kx而 ， 13121211
14、22 21+xyx分化简得 ，即 ，显然 ，所以2234614kmk22+0mk20k，解得 或 （舍去）此时 2+0=1 ，16 分19. 解：（1）由函数 ，得 ，由 ，得 ，或 ，32()fxt2()3fxtx ()0fx23t因函数 在 上无极值点，所以 或 ，解得 或 . 4 分()fx0,1） 203t1t0t32t（2）方法一:令 ，即 ， ，当 时， ，23=fxtpxp2=41p24t0此时 存在不同的两个解 .8 分30xtp12,（方法二：由（1）知 ，令 ，则 ，所以 ，2()3fxtx ()f2310xt2()10t即对任意实数 ， 总有两个不同的实数根 ，所以不论
15、为何值，函数 在两点t112, fx， 处的切线平行.8 分）1x2x设这两条切线方程为分别为 和 ，232113+yxtxt2323+1yxtxt若两切线重合，则 ,即 ，即321+=xt1212，而 = ，化简得 ，此时21112xt12x3t12=9tx，与 矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，22111409tx12对任意实数 ，函数 的图象总存在两条切线相互平行10 分t()f（3）当 时 ， ，由（2）知 时，两切线平行.设=32+()36fx12+=x, ,不妨设 ，3211,Ax1Bx1x过点 的切线方程为 11 分216+y所以，两条平行线间的距离，化简得2322111221
16、1 2399xxxxxd ，13 分2611=+令 ，则 ，即 ，即20x231922191，显然 为一解， 有两个异于 的正根，所以这样的8=80=有 3 解，而 ，所以211212, , xx有 3 解，所以满足此条件的平行切线共有 3 组 16 分1x20解：（1）由 ， ， ，累加得 .3 分43a32a21a48a（2）因 ，所以 ， ， ，当 时， ，满足题意； 11nnaq21nnaq1a1qna当 时，累加得 ，所以 5 分q11n 1nn若存在 满足条件，化简得 ，即 ，,rst2srtq22rstsrtsqq此时 （舍去）7 分1q综上所述，符合条件 的值为 1. 8 分（
17、2）由 可知 ,两式作差可得： ，又由*2,3Nnbcn 31nbc 123nnb，可知 故 ，所以 对一切的 恒成4,21 74123nb12 *N立11 分对 ， 两式进行作差可得 ,123nn n12 123nna又由 可知 ，故 13 分7,4b3,43a)(,12a又由 )()(12112 nnnna )2(1121nnn,所以 ，15 分2 22312所以当 时 ,当 时 ,故 的最小值为 .16 分5|1nn 3|nnak5附加题答案21（ ）解：设直线 上一点 ，经矩阵 变换后得到点 ，Al(,)xyM(,)xy所以 ，即 ，因变换后的直线还是直线 ，将点 代入直线 的 01d
18、axyad l(,)xyl方程，于是 ，即 ，所以 ，解得 ，6 分2()30axdy(21)30axdy21ad321ad所以矩阵 的特征多项式 ，M()()0f解得 或 ，所以矩阵的 的特征值为 与 .10 分adM32121（ ）解：由 ，得 ，所以 ，所以圆 的普通方程为B2cos2cos20xyC，圆心 ，半径 ，3 分2(1)xy(1,0)C1r又 ，消去参数 ，得直线 方程为 ，6 分32tytl320xy所以圆心到直线 的距离 ，所以直线 被圆 截得的弦长为 . l221(3)dlC21()310 分21.（ ）因 ，所以 ，C1xyz2224xyzxyz同理 ， ，5 分22
19、三式相加，得 ，22()6xyzxyz）所以 ，当且仅当 取等，即 ，223z22=x1xyz所以 的最小值为 3. 10 分xyx22.解：（1）因 底面 ，且底面 为矩形，所以 两两垂直，PABCDAB,ABDP以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，,xyz又因 ， ，所以 ，2B1(0,)， ， ， ，2 分(2,0)(,0)C(,)D,2P因 棱 的中点，所以 .所以 ， ，EP,2E2(,1)EC(0,12)PD所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值16cos, 32 EC为 6 分63（2）由（1）得 ， ， ，2(,1)EC(0,1)BC(2,0)D设平面 的法向量为 ，
20、所以 ，B11(,)nxyz1120xyz令 ，则 ，所以面 的一个法向量为 ，1x1zBEC1(,)n设平面 的法向量为 ，所以 ，DEC22(,)nxyz2200xyz令 ，则 ，所以面 的一个法向量为 ，2z21yDEC2(,1)n所以 ，由图可知二面角 为钝角，123cos,2n BECD所以二面角 的余弦值为 . 10 分BEC323.（1）解：在 中，012 11212()nnnnaaa令 ，则 ，由 ， ，解得 . 3 分n335（2）假设 ， ， ， ， 是公差为 2 的等差数列，则 12k 1k当 时， , 此时假设成立4 分n3=,5a当 时，若 ， ， ， ， 是公差为 2 等差数列5 分k12ka由 ， ，0 12123()kkkkkCC 对该式倒序相加，得 ，所以 ，11()k 112ka1kak根据、可知数列 是等差数列.10 分na欢迎访问“ 高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
