2019年中考数学复习讲义:专题(四)有理数乘除法.doc

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1、专题四  有理数乘除法要点归纳1. 有理数乘法:(1)两个数相乘,同号得正,异号得_ ,并把绝对值_;(2) 任何数与 0 相乘,都是_.2. 倒数:乘积是 1 的两个数互为_,_没有倒数,可表示为:若 ab1,则 a 与 b 互为倒数.3. 有理数乘法运算律:(1)乘法交换律 :即_;(2)乘法结合律:即_; (3)分配律:即 a(bc) _.4. 有理数除法:(1)除以一个不等于 0 的数,等于乘以这个数的 _;(2) 两数相除,同号得_,异号得_,并把绝对值_;(3)0 除以任何一个不等于 0 的数,都得_.典例再现一、有理数乘法法则有理数乘法的步骤:先看是否有 0 因数,只要

2、有一个因数为 0,积就为 0,在没有 0 因数的情况下,先确定积的符号,再把绝对值之积的绝对值.任何与 1 相乘都等于这个数本身,任何数与1 相乘都等于它的相反数.例 1  计算(1) (6)(5);  (2)  ;  (3)    (4)  13()2423()1741(5)0【思路点拨】(1)异号两数相乘,积为负;(2)同号两数相乘,积为正;(3 )异号得负;(4)有 0 因数的式子结果为 0.解:(1)  ;(2)  ;(6)53013()248(3) ;(4) 2371174250【方法规律】有理

3、数乘法法规中“同号得正,异号得负”是针对“两数相乘”而言的,不能与加法法则相混淆;当因数中有负号时,必须用括号将负因数括起来,第一个因数有负号可省略括号,如可写成 ,但不能写成 .13()2413()241324例 2  计算:(1)  ; (2)  5.()(0)(25)0(216)【思路点拨】非零因数相乘,首先根据负数的个数决定积的符号,把各因式相乘,0 作因数连乘,积为 0.解:(1) 5415435().()21224(2) .006【方法规律】一般情况下,算乘法时带分数化成假分数.二、倒数若 a 是非零有理数,则 a 的倒数是  ,即 &nbs

4、p;A.  b 互为倒数.1abA.  b 互为倒数.1b例 3.求下列各数的倒数:5; ;2 ;1.547 37【思路 点拨】根据定义,要求 a(a 为非零数)的倒数,只要求 即可.1a解:因为 ,所以5 的倒数是 ;1 5 15 15因为 ,所以 的倒数是 ;74 47 74因为 ,所以2 的倒数是 ;717 37 717因为 1.5 ,且 ,所以 1.5 的倒数是 .32 23 23【方法规律】求一个整数的倒数,直接写成 a 分之一即可;求一个真分数的倒数,把这个数的分子、分母交换位置即可;求一个带分数的倒数,先将带分数化成假分数,然后再交换分子、分母的位置;求一个小

5、数的倒数,先把小数化成分数后再求其倒数.三、有理数乘法的运算律运用乘法分配律时,若括号前面为“”号,去括号后,各项都要变号.例 4.计算:(172)(0.25)( )40186(8)1 (5)( )(0.125);23 3524(1 1 2 1 ).16 12 14 112【思路点拨】、利用乘法的交换律的乘法的结合律计算;利用乘法的分配律可使计算简便.解:原式(1720.25 40)(172 )(0.2540)21020;186 186原式(0.125 8 5)(0.1258) ( )55;35 53 35 53原式(24)1 ( 24) (1 )( 24)2 ( 24)(1 )2836542

6、620.16 12 14 112【方法规律】运用乘法交换律时,要连同因数的符号一起交换位置;多个有理数相乘时,通常运用交换律、结合律把能约分或互为倒数的 有理数先结合,使计算简便.四、有理数的除法法则有理数的除法法则:除以一个不等于 0 的数,等于乘这个数的倒数,即 aba (b0) ;两1b数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0 除以任何一个不等于 0 的数,都得 0.即:() 当ab0 时,则 ab ;() 当 ab0 时,ab ;()0 a0(a0).|a|b| |a|b|例 5.计算:(48)(6) ;( 6)( );(1 )(2 );0( 3.14);1(2.5) ;14 2

7、3 12(3.14)1.【思路点拨】运用法则,同号得正,先定符号,再算绝对值;运用法则,除号变乘号,除数变为它的倒数;带分数化为假分数再相除;0 除以任何一个不为 0 的数都等于 0;小数化为分数再相除;任何数除以 1 都等于它本身.解:(48) (6)8; (6) ( )6(4)24;14(1 )(2 ) ( ) ; 0(3.14) 0;23 12 53 25 231(2.5) 1( )1( ) ; (3.14)13.14.52 25 25【方法规律】有理数除法的法则有两个,应注意灵活运用,一般在不能整除的情况下用法则,在能整除的情况下用法则;0 不能作除数,0 作除数无意义.五、有理数乘除

8、法的混合运算有理数的除法可以化为乘法,因此有理数乘除混合运算可以统一成乘法运算,可以按如下步骤:将所有除法转化为其倒数,所有的除法转化为乘法;确定积的符号;运用乘法运算律简化运算,并求出最后结果.例 6.计算:(15)( 3)( );( 2 )(1 ) ;8( ) ( );25 12 14 12 57 27 45(1 )( );1 ( )(2 )( )0.1116 34 98 14 12 37300 19【思路点拨】可以按从左向右的顺序计算;可将除法转化为乘法再计算;除法转化为乘法后,约分比较简便;可先算括号里的;在乘除的同级运算中,若算式中有 0,则结果为 0.解:(15) (3)( )5(

9、 )2;25 25(2 )(1 ) ( )24;12 14 12 52 458( ) ( )8( ) ( )457 27 45 75 27 54(1 )( ) 2;1116 34 98 2716 2732 2716 32271 ( )(2 )( )0014 12 37300 19【方法规律】同级运算,从左向右,除法变乘法,方便运算.拓展探究一、带分数乘整数的技巧有时 带分数乘整数,可把被乘数拆成“整数分数”或“整数分数” ,再用它们分别乘后面的整数,再把积相加或相减.例 1 计算:9 (15).1819【思路点拨】如果把带分数化成假分数直接相乘很麻烦,根据题目的特点,可以把“9 ”拆成两项,1

10、819然后用乘法分配律计算.解:方法一:9 (15)(9 )15(915 15)135 149 ;1819 1819 1819 27019 419方法二:9 (15)(10 )(15)10( 15) (15)150 149 .1819 119 119 1519 419【方法规律】相比较,方法二比方法一更简便,做这种乘法时,要注意:巧妙拆项,运用乘法分配律;不能漏乘;要注意各数的符号.二、乘法分配律的正用、逆用乘法分配律正用:a(bc)ab ac ;逆用:abaca(bc).例 2.计算:3.1435.26.28(23.3)1.5736.4;12( )13 17 .13 14 12 12(11

11、) (5 ) (137 )( )(113 ) .17 15 17 15 13 15 13 15【思路点拨】可找每部分中的相同乘数 3.14 提取,二、三部分的 6.28、1.57 可构造出 3.14;前面部分可正用分配律,后两部分可逆用分配律;可提取公因数 ,其余的因数相加减时,可用加法的交15换律、结合律,使计算简便.解:原式3.1435.23.1446.63.1418.23.14(35.246.618.2)3.14100314;原式12 12 (1317) 43158;13 14 12原式 (11 5 (113 )(137 ) 6(4) (10)2.15 17 17 13 13 15 15

12、【方法规律】在去括号时,要注意:括号外面的因数是正数,去括号后式子的各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反,添括号时与去括号的方法相同.三、倒数的整体应用例 3.已知 a、b 互为相反数,c、d 互为倒数,求 a5cdb 的值.【思路点拨】相反数之和等于 0,即 ab0;倒数之积为 1,即 cd1.解:由题意可知 ab0,cd1,所以 a5cdb(a b)5cd055.【方法规律】本题用整体代入法可以使计算简便.四、有理数除法与绝对值形如求式子 值时,可按下面两种方法分类:a|a| b|b|a0,b0;a0,b0;

13、a0,b0;a0,b0;a、b 中两个正,一个正、0 个正(即两个负). 其中,方法更简单 .例 4若三个有理数 x,y ,z,满足 xyz0,求式子 的值.|x|x y|y| |z|z已知 ab0,试求 的值.|a|a b|b| ab|ab|【思路点拨】由 xyz0,根据所求式子的特点,不妨设 x、y、z 中有“一正两负”和“全正”两种情形;由 ab0 和所求式子的特点,不妨设 a0,b0 即可求解.解:因为 xyz0,所以 x、y、z 中负数有 0 个或 2 个.当 x、y、z 三个数全正时,原式 3;xx yy zz当 x、y、z 三个数中“一正两负”时,不妨设 x0,y0,z0,原式

14、1;所以, 3 或1.xx y y zz |x|x y|y| |z|z因为 ab0,不妨设 a0,b0,原式 1.aa b b ab ab【方法规律】本题的分数讨论中若对 x、y、z 的性质分别考虑,分的情形特别多而很多的答案又是重复的,因此,全面考虑负数或正数的个数比较简便,当一个式子的值与 a0、b0 与 a0、b0 无区别时,通常不妨设出其中一种情形而忽略另一种情形.例 5 若 0,则下列结论成立的是(   )|x|x |y|yA.x0 或 y0 B.x、y 同号 C.x、y 异号 D.x、y 为任意有理数【思路点拨】因为两数之和为 0,所以 与 互为相反数.当 x0 时, 1

15、,此时 1,则|x|x |y|y |x|x |y|yy0;当 x0 时, 1,此时 1,则 y0,因为 x 与 y 作分母,所以 x、y 均不能为 0,所以|x|x |y|yx、y 异号.解:C【方法规律】若 a0,则 1;若 a0,则 1,反过来也是成立的.|a|a |a|a五、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算中,若没有括号,则先算乘除,再算加减,若有括号,按照先算括号里的,再算乘除,然后算加减的顺序计算.例 6.计算:3.5( 0.5) ( ); ( )(10.2 )(6).16 37 14 12 14 35【思路点拨】先算括号里的,再把除法转化成乘法,作连乘计算;先算括号

16、里的,再算乘、除法,然后算加法.解:原式 ( ) ( ) ( ) (4) ( ) (4)72 16 12 37 14 72 16 12 37 72 13 37 42.72 13 37原式 (4)(1 )(6)2 (6)6.12 15 53 23【方法规律】同级运算要按从左至右的顺序进行运算.六、正确使用运算律,简化计算在加减乘除混合运算中,合理运用运算律可简化运算.例 7.计算:( )( ); ( ) ;130 12 43 16 35 1108 124 112 172( )( ) ( ).15 13 17 1105【思路点拨】、不能用乘法分配律,但是,我们可以先算( )( )、 ( )12 4

17、3 16 35 130 124 112( ),再把结果倒过来;也可直接计算;把除法转化为乘法,再用乘法分配律可使计算简化.172 1108解:原式 ( ) (此种解法不够简便);130 1530 4030 530 1830 130 3230 130 3032 132先算 ( ) ( ) (108) ( 108) (108) 9 12.124 112 172 1108 124 112 172 92 32所以,原式 .112原式 105 105 (105)21351529.15 13 17【方法规律】利用倒数法,先交换除数和被除数的位置,再用分配律计算,然后求其倒数,这种方法可以解决不能直接用分配

18、律计算的问题.七、新定义运算题例 8.a、b 均为有理数,如果规定一种新的运算“” ;aba 2aba1,求(13) (3)的值.【思路点拨】先算出 13,再用它的结果与(3) 作新运算 .解:(13) (3)(1 21311)( 3)( 2)( 3)(2) 2( 2)(3)( 2)14635.【方法规律】理解新定义是解题的关键.实战演练A 链接中考1.若 ab0,则 的值是(   )abA.大于 0 B.小于 0 C.大于或等于 0 D.小于或等于 02.下列说法正确的是(   )A.两个有理数的和为正数,则这两个数中必有一个为正数B.两个有理数的差为负数,则被减数为负数

19、C.两个有理数的积一定大于其中一个因数D.两个有理数相除的商大于 1,则被除数大于除数3.下列各式,表示 a,b 互为倒数的是(   )A.ab1 B.ab0 C.ab1 D.ab04.如果 a 1,那么 a 与 b(   )1bA.互为相反数 B.ab C.互为倒数 D.互为负倒数5.(0.125)15( 8)( )( 0.125)(8) 15( ),运算中没有运用的运算律是(   )45 45A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.分配律 D.乘法交换律和结合律6.下列运算过程有错误的个数是(   )(34 )234 2;4(7) (125)(4 1257);9 15(10 )1515012 12 1819 119;3( 25)(2)3(25)( 2)350.1519A.1 B.2 C.3 D.47.下列运算中,正确的是(   )A.2( )( )2( )( )  B.(1)( 5)( )(1) 123 34 32 43 15C.(5)( 1)(5) 5(1) D.625( 4)625(4)15 158在算式 31 中的里,填入一个运算符号,使得算式的值最小,则这个符号是(   )

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