1、专题四 有理数乘除法要点归纳1. 有理数乘法：(1)两个数相乘，同号得正，异号得_ ，并把绝对值_；(2) 任何数与 0 相乘，都是_.2. 倒数：乘积是 1 的两个数互为_，_没有倒数，可表示为：若 ab1，则 a 与 b 互为倒数.3. 有理数乘法运算律：(1)乘法交换律 ：即_；(2)乘法结合律：即_； (3)分配律：即 a(bc) _.4. 有理数除法：(1)除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的 _；(2) 两数相除，同号得_，异号得_，并把绝对值_；(3)0 除以任何一个不等于 0 的数，都得_.典例再现一、有理数乘法法则有理数乘法的步骤：先看是否有 0 因数，只要
2、有一个因数为 0，积就为 0，在没有 0 因数的情况下，先确定积的符号，再把绝对值之积的绝对值.任何与 1 相乘都等于这个数本身，任何数与1 相乘都等于它的相反数.例 1 计算(1) (6)(5)； (2) ； (3) (4) 13()2423()1741(5)0【思路点拨】(1)异号两数相乘，积为负；(2)同号两数相乘，积为正；(3 )异号得负；(4)有 0 因数的式子结果为 0.解：(1) ；(2) ；(6)53013()248(3) ；(4) 2371174250【方法规律】有理
3、数乘法法规中“同号得正，异号得负”是针对“两数相乘”而言的，不能与加法法则相混淆；当因数中有负号时，必须用括号将负因数括起来，第一个因数有负号可省略括号，如可写成 ，但不能写成 .13()2413()241324例 2 计算：(1) ； (2) 5.()(0)(25)0(216)【思路点拨】非零因数相乘，首先根据负数的个数决定积的符号，把各因式相乘，0 作因数连乘，积为 0.解：(1) 5415435().()21224(2) .006【方法规律】一般情况下，算乘法时带分数化成假分数.二、倒数若 a 是非零有理数，则 a 的倒数是 ，即 &nbs
4、p;A. b 互为倒数.1abA. b 互为倒数.1b例 3.求下列各数的倒数：5； ；2 ；1.547 37【思路 点拨】根据定义，要求 a(a 为非零数)的倒数，只要求 即可.1a解：因为 ，所以5 的倒数是 ；1 5 15 15因为 ，所以 的倒数是 ；74 47 74因为 ，所以2 的倒数是 ；717 37 717因为 1.5 ，且 ，所以 1.5 的倒数是 .32 23 23【方法规律】求一个整数的倒数，直接写成 a 分之一即可；求一个真分数的倒数，把这个数的分子、分母交换位置即可；求一个带分数的倒数，先将带分数化成假分数，然后再交换分子、分母的位置；求一个小
5、数的倒数，先把小数化成分数后再求其倒数.三、有理数乘法的运算律运用乘法分配律时，若括号前面为“”号，去括号后，各项都要变号.例 4.计算：(172)(0.25)( )40186(8)1 (5)( )(0.125)；23 3524(1 1 2 1 ).16 12 14 112【思路点拨】、利用乘法的交换律的乘法的结合律计算；利用乘法的分配律可使计算简便.解：原式(1720.25 40)(172 )(0.2540)21020；186 186原式(0.125 8 5)(0.1258) ( )55；35 53 35 53原式(24)1 ( 24) (1 )( 24)2 ( 24)(1 )2836542
6、620.16 12 14 112【方法规律】运用乘法交换律时，要连同因数的符号一起交换位置；多个有理数相乘时，通常运用交换律、结合律把能约分或互为倒数的 有理数先结合，使计算简便.四、有理数的除法法则有理数的除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 aba (b0) ；两1b数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.即：() 当ab0 时，则 ab ；() 当 ab0 时，ab ；()0 a0(a0).|a|b| |a|b|例 5.计算：(48)(6) ；( 6)( )；(1 )(2 )；0( 3.14)；1(2.5) ；14 2
7、3 12(3.14)1.【思路点拨】运用法则，同号得正，先定符号，再算绝对值；运用法则，除号变乘号，除数变为它的倒数；带分数化为假分数再相除；0 除以任何一个不为 0 的数都等于 0；小数化为分数再相除；任何数除以 1 都等于它本身.解：(48) (6)8； (6) ( )6(4)24；14(1 )(2 ) ( ) ； 0(3.14) 0；23 12 53 25 231(2.5) 1( )1( ) ； (3.14)13.14.52 25 25【方法规律】有理数除法的法则有两个，应注意灵活运用，一般在不能整除的情况下用法则，在能整除的情况下用法则；0 不能作除数，0 作除数无意义.五、有理数乘除
8、法的混合运算有理数的除法可以化为乘法，因此有理数乘除混合运算可以统一成乘法运算，可以按如下步骤：将所有除法转化为其倒数，所有的除法转化为乘法；确定积的符号；运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果.例 6.计算：(15)( 3)( )；( 2 )(1 ) ；8( ) ( )；25 12 14 12 57 27 45(1 )( )；1 ( )(2 )( )0.1116 34 98 14 12 37300 19【思路点拨】可以按从左向右的顺序计算；可将除法转化为乘法再计算；除法转化为乘法后，约分比较简便；可先算括号里的；在乘除的同级运算中，若算式中有 0，则结果为 0.解：(15) (3)( )5(
9、 )2；25 25(2 )(1 ) ( )24；12 14 12 52 458( ) ( )8( ) ( )457 27 45 75 27 54(1 )( ) 2；1116 34 98 2716 2732 2716 32271 ( )(2 )( )0014 12 37300 19【方法规律】同级运算，从左向右，除法变乘法，方便运算.拓展探究一、带分数乘整数的技巧有时 带分数乘整数，可把被乘数拆成“整数分数”或“整数分数” ，再用它们分别乘后面的整数，再把积相加或相减.例 1 计算：9 (15).1819【思路点拨】如果把带分数化成假分数直接相乘很麻烦，根据题目的特点，可以把“9 ”拆成两项，1
10、819然后用乘法分配律计算.解：方法一：9 (15)(9 )15(915 15)135 149 ；1819 1819 1819 27019 419方法二：9 (15)(10 )(15)10( 15) (15)150 149 .1819 119 119 1519 419【方法规律】相比较，方法二比方法一更简便，做这种乘法时，要注意：巧妙拆项，运用乘法分配律；不能漏乘；要注意各数的符号.二、乘法分配律的正用、逆用乘法分配律正用：a(bc)ab ac ；逆用：abaca(bc).例 2.计算：3.1435.26.28(23.3)1.5736.4；12( )13 17 .13 14 12 12(11
11、) (5 ) (137 )( )(113 ) .17 15 17 15 13 15 13 15【思路点拨】可找每部分中的相同乘数 3.14 提取，二、三部分的 6.28、1.57 可构造出 3.14；前面部分可正用分配律，后两部分可逆用分配律；可提取公因数 ，其余的因数相加减时，可用加法的交15换律、结合律，使计算简便.解：原式3.1435.23.1446.63.1418.23.14(35.246.618.2)3.14100314；原式12 12 (1317) 43158；13 14 12原式 (11 5 (113 )(137 ) 6(4) (10)2.15 17 17 13 13 15 15
12、【方法规律】在去括号时，要注意：括号外面的因数是正数，去括号后式子的各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反，添括号时与去括号的方法相同.三、倒数的整体应用例 3.已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，求 a5cdb 的值.【思路点拨】相反数之和等于 0，即 ab0；倒数之积为 1，即 cd1.解：由题意可知 ab0，cd1，所以 a5cdb(a b)5cd055.【方法规律】本题用整体代入法可以使计算简便.四、有理数除法与绝对值形如求式子 值时，可按下面两种方法分类：a|a| b|b|a0，b0；a0，b0；
13、a0，b0；a0，b0；a、b 中两个正，一个正、0 个正(即两个负). 其中，方法更简单 .例 4若三个有理数 x，y ，z，满足 xyz0，求式子 的值.|x|x y|y| |z|z已知 ab0，试求 的值.|a|a b|b| ab|ab|【思路点拨】由 xyz0，根据所求式子的特点，不妨设 x、y、z 中有“一正两负”和“全正”两种情形；由 ab0 和所求式子的特点，不妨设 a0，b0 即可求解.解：因为 xyz0，所以 x、y、z 中负数有 0 个或 2 个.当 x、y、z 三个数全正时，原式 3；xx yy zz当 x、y、z 三个数中“一正两负”时，不妨设 x0，y0，z0，原式
14、1；所以， 3 或1.xx y y zz |x|x y|y| |z|z因为 ab0，不妨设 a0，b0，原式 1.aa b b ab ab【方法规律】本题的分数讨论中若对 x、y、z 的性质分别考虑，分的情形特别多而很多的答案又是重复的，因此，全面考虑负数或正数的个数比较简便，当一个式子的值与 a0、b0 与 a0、b0 无区别时，通常不妨设出其中一种情形而忽略另一种情形.例 5 若 0，则下列结论成立的是( )|x|x |y|yA.x0 或 y0 B.x、y 同号 C.x、y 异号 D.x、y 为任意有理数【思路点拨】因为两数之和为 0，所以 与 互为相反数.当 x0 时， 1
15、，此时 1，则|x|x |y|y |x|x |y|yy0；当 x0 时， 1，此时 1，则 y0，因为 x 与 y 作分母，所以 x、y 均不能为 0，所以|x|x |y|yx、y 异号.解：C【方法规律】若 a0，则 1；若 a0，则 1，反过来也是成立的.|a|a |a|a五、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算中，若没有括号，则先算乘除，再算加减，若有括号，按照先算括号里的，再算乘除，然后算加减的顺序计算.例 6.计算：3.5( 0.5) ( )； ( )(10.2 )(6).16 37 14 12 14 35【思路点拨】先算括号里的，再把除法转化成乘法，作连乘计算；先算括号
16、里的，再算乘、除法，然后算加法.解：原式 ( ) ( ) ( ) (4) ( ) (4)72 16 12 37 14 72 16 12 37 72 13 37 42.72 13 37原式 (4)(1 )(6)2 (6)6.12 15 53 23【方法规律】同级运算要按从左至右的顺序进行运算.六、正确使用运算律，简化计算在加减乘除混合运算中，合理运用运算律可简化运算.例 7.计算：( )( )； ( ) ；130 12 43 16 35 1108 124 112 172( )( ) ( ).15 13 17 1105【思路点拨】、不能用乘法分配律，但是，我们可以先算( )( )、 ( )12 4
17、3 16 35 130 124 112( )，再把结果倒过来；也可直接计算；把除法转化为乘法，再用乘法分配律可使计算简化.172 1108解：原式 ( ) (此种解法不够简便)；130 1530 4030 530 1830 130 3230 130 3032 132先算 ( ) ( ) (108) ( 108) (108) 9 12.124 112 172 1108 124 112 172 92 32所以，原式 .112原式 105 105 (105)21351529.15 13 17【方法规律】利用倒数法，先交换除数和被除数的位置，再用分配律计算，然后求其倒数，这种方法可以解决不能直接用分配
18、律计算的问题.七、新定义运算题例 8.a、b 均为有理数，如果规定一种新的运算“” ；aba 2aba1，求(13) (3)的值.【思路点拨】先算出 13，再用它的结果与(3) 作新运算 .解：(13) (3)(1 21311)( 3)( 2)( 3)(2) 2( 2)(3)( 2)14635.【方法规律】理解新定义是解题的关键.实战演练A 链接中考1.若 ab0，则 的值是( )abA.大于 0 B.小于 0 C.大于或等于 0 D.小于或等于 02.下列说法正确的是( )A.两个有理数的和为正数，则这两个数中必有一个为正数B.两个有理数的差为负数，则被减数为负数
19、C.两个有理数的积一定大于其中一个因数D.两个有理数相除的商大于 1，则被除数大于除数3.下列各式，表示 a，b 互为倒数的是( )A.ab1 B.ab0 C.ab1 D.ab04.如果 a 1，那么 a 与 b( )1bA.互为相反数 B.ab C.互为倒数 D.互为负倒数5.(0.125)15( 8)( )( 0.125)(8) 15( )，运算中没有运用的运算律是( )45 45A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.分配律 D.乘法交换律和结合律6.下列运算过程有错误的个数是( )(34 )234 2；4(7) (125)(4 1257)；9 15(10 )1515012 12 1819 119；3( 25)(2)3(25)( 2)350.1519A.1 B.2 C.3 D.47.下列运算中，正确的是( )A.2( )( )2( )( ) B.(1)( 5)( )(1) 123 34 32 43 15C.(5)( 1)(5) 5(1) D.625( 4)625(4)15 158在算式 31 中的里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是（ ）
