1、2016 年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）12016 的倒数是（ ）A B2016 C 2016 D2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D3我国倡导的“一带一路” 建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 8 C4.410 9 D4.410 104某展厅要用相同的正方体木块搭成一个三视图如下的展台，则搭成此展台共需这样的正方体（ ）A5 个 B4 个 C6 个 D3 个5现代互联网技
2、术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年 3 月份与 5 月份完成投递的快递总件数分别为 6.3 万件和 8 万件设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）A6.3（1+2x）=8 B6.3 （1+x）=8C6.3（1+x） 2=8 D6.3+6.3 （1+x）+6.3（1+x） 2=86如图，点 A 和点 B 都在反比例函数 y= 的图象上，且线段 AB 过原点，过点 A 作 x 轴的垂线段，垂足为 C，P 是线段 OB 上的动点，连接 CP设ACP 的面积为 S，则下列说法正确的是（ ）AS2 BS4 C2S4 D2S 47如图，
3、将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 MN，若 AB=2，BC=4，那么线段 MN 的长为（ ）A B C D28如图，AB 是O 的直径，CDAB，ABD=60，CD=2 ，则阴影部分的面积为（ ）A B C2 D49若关于 x 的一元二次方程 x22xk+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y=kxk 的大致图象是（ ）A B C D10如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=8，BC=6 ，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90至图位置，再绕右下角的顶点继续旋转 90至图位置，依此类推，这样连续旋转 99 次后顶点 A 在整个旋转过程中所经过
4、的路程之和是（ ）A288 B294 C300 D396二、填空题（本题包括 7 个小题，每小题 3 分，共 21 分）11 分解因式：3x 26xy+3y2= 12有一组数据：2，x，4，6，7，已知这组数据的众数是 6，那么这组数据的方差是 13已知 a、b 满足方程组 ，则 = 14等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48，则该等腰三角形的底角的度数为 15有背面完全相同的 9 张卡片，正面分别写有 19 这九个数字，将它们洗匀后背面朝上放置，任意抽出一张，记卡片上的数字为 a，则数字 a 使不等式组 有解的概率为 16如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，A=120，点 E 是 B
5、C 边上的动点，点 P 是对角线BD 上的动点，若使 PC+PE 的值最小，则这个最小值为 17如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（3，0） ，对称轴为直线x=1，给出以下结论：abc0 b24ac0 4b+c0 若 B（ ，y 1） 、C（ ，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2当 3x1 时，y0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） 三、解答题（本题包括 9 个小题，共 69 分）18计算：（ ） 202sin45+| 1|19先化简，再求值（1 ） ，其中 x 是方程 x25x+6=0 的根20在我市十个全覆盖工作的推动下，某乡镇准备在相距 3
6、 千米的 A、B 两个工厂间修一条笔直的公路，在工厂 A 北偏东 60方向、工厂北偏西 45方向有一点 P，以 P 点为圆心，1.2 千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这个村庄是否有居民需要搬迁？（参考数据： ， ）21如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点， AEF=90 ，EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F求证：AE=EF22一个不透明的口袋中装有 4 个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于 （1）求口袋中有几个红球？（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或树状图法求两
7、次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率23我市某中学为了深入学习社会主义核心价值观，特对本校部分学生（随机抽样）进行了一次相关知识的测试（成绩分为 A、B、C、D、E、五个组，x 表示测试成绩） ，通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题A 组：90x100 B 组：80x90 C 组：70x80 D 组：60x70 E 组：x60（1）参加调查测试的学生共有 人；请将两幅统计图补充完整（2）本次调查测试成绩的中位数落在 组内（3）本次调查测试成绩在 80 分以上（含 80 分）为优秀，该中学共有 3000 人，请估计全校测试成绩为优秀的学生
8、有多少人？24在我市双城同创的工作中，某社区计划对 1200m2 的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 300m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 3 天（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？（2）设先由甲队施工 x 天，再由乙队施工 y 天，刚好完成绿化任务，求 y 与 x 的函数关系式（3）若甲队每天绿化费用为 0.4 万元，乙队每天绿化费用为 0.15 万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过 14 天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用25如图，PA 为
9、O 的切线，A 为切点，直线 PO 交O 于点 M、N，过点 A 作 PO 的垂线 AB，垂足为 C，变O 于点 B，延长 BO 与O 交于点 D，连接 AD、BM （1）等式 OD2=OCOP 成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（2）若 AD=6，tanM= ，求 sinD 的值26已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B （4，0） ，C （0，2）三点（1）请直接写出抛物线的解析式（2）连接 BC，将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线交于点 D，求点 D 的坐标（3）在（2）中的线段 AD 上有一动点 E（不与点 A、点 D 重合） ，过点 E
10、作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，AFD 的面积最大？求出此时点 E 的坐标和AFD 的最大面积2016 年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）12016 的倒数是（ ）A B2016 C 2016 D【考点】倒数【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案【解答】解：2016 的倒数是 ，故选：D2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是
11、轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形故选：B3我国倡导的“一带一路” 建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 8 C4.410 9 D4.410 10【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，
12、n 是负数【解答】解：将 4400000000 用科学记数法表示为：4.410 9故选：C4某展厅要用相同的正方体木块搭成一个三视图如下的展台，则搭成此展台共需这样的正方体（ ）A5 个 B4 个 C6 个 D3 个【考点】由三视图判断几何体【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，结合图形直接进行判断即可【解答】解：根据俯视图而得出，第一行第一列有 2 个正方形，第二列有 1 个正方体，第二行第二列有 1 个正方体，共需正方体 2+1+1=4故选 B5现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年 3 月份与 5 月份完成
13、投递的快递总件数分别为 6.3 万件和 8 万件设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，则下列方程正 确的是（ ）A6.3（1+2x）=8 B6.3 （1+x）=8C6.3（1+x） 2=8 D6.3+6.3 （1+x）+6.3（1+x） 2=8【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】利用五月份完成投递的快递总件数=三月份完成投递的快递总件数（1+x） 2，进而得出等式求出答案【解答】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意，得：6.3（1+x） 2=8，故选：C6如图，点 A 和点 B 都在反比例函数 y= 的图象上，且线段 AB 过原点，过点 A 作
14、 x 轴的垂线段，垂足为 C，P 是线段 OB 上的动点，连接 CP设ACP 的面积为 S，则下列说法正确的是（ ）AS2 BS4 C2S4 D2S 4【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据反比例函数 y= 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= |k|，即可得出答案【解答】解：根据题意可得：k=4，故可知 SACO =2，S OPC S ACO=2，ACP 的面积 2S 4故选 D7如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 MN，若 AB=2，BC=
15、4，那么线段 MN 的长为（ ）A B C D2【考点】翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质【分析】首先利用勾股定理计算出 BD 的长，进而得到 BO 的长，在直角三角形 CDN 中，根据勾股定理求出 DN，即得出 BN，在直角三角形 BON 中，用勾股定理求出 ON 即可【解答】解：如图，连接 BM，DN在矩形纸片 ABCD 中，CD=AB=2 ，C=90，在 Rt BCD 中，BC=4，根据勾股定理得，BD= =2 ，OB= BD= ，由折叠得，BON=90，MN= MN，BN=DN，BC=BN+CN=4 ，CN=4BN，在 Rt CDN 中，CD=2 ，根据勾股定理得，CN 2+CD2=D
16、N2，（4BN） 2+22=BN2，BN= ，在 Rt BON 中，ON= = ，MN=2ON= ，故选 B8如图，AB 是O 的直径，CDAB，ABD=60，CD=2 ，则阴影部分的面积为（ ）A B C2 D4【考点】垂径定理；扇形面积的计算【分析】连接 OD，则根据垂径定理可得出 CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可【解答】解：连接 ODCDAB ，CE=DE= CD= ，故 SOCE =SODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，又ABD=60，CDB=30，COB=60，OC=2，S 扇形 OBD= = ，即阴影部分的面积
17、为 故选 A9若关于 x 的一元二次方程 x22xk+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y=kxk 的大致图象是（ ）A B C D【考点】根的判别式；一次函数的图象【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定 k 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22xk+1=0 有两个不相等的实数根，（2） 24（k+1）0，即 k0，k 0 ，一次函数 y=kxk 的图象位于一、三、四象限，故选 B10如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=8，BC=6 ，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90至图位置，再绕右下角的
18、顶点继续旋转 90至图位置，依此类推，这样连续旋转 99 次后顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A288 B294 C300 D396【考点】轨迹；矩形的性质；旋转的性质【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每 4 次循环，找到规律然后计算即可【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6 ，AC=BD=10，转动一次 A 的路线长是： =4，转动第二次的路线长是： =5，转动第三次的路线长是： =3，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点 A 转动四次经过的路线长为： 4+5+3=12，994=24 余 3，顶点 A 转动四次经过的路线长为： 122
19、5=300故选 C二、填空题（本题包括 7 个小题，每小题 3 分，共 21 分）11分解因式：3x 26xy+3y2= 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：3x 26xy+3y2，=3（x 22xy+y2） ，=3（ xy） 2故答案为：3（xy） 212有一组数据：2，x，4，6，7，已知这组数据的众数是 6，那么这组数据的方差是 【考点】方差；众数【分析】根据题意可以得到 x 的值，从而可以求得这组数据的 平均数和方差，本题得以解决【解答】解：一组数据：2，x，4，6，7 的众数是 6，x=6， ， =3.2，
20、故答案为：3.213已知 a、b 满足方程组 ，则 = 【考点】二元一次方程组的解【分析】方程组利用加减消元法求出解得到 a 与 b 的值，代入原式计算即可得到结果【解答】解： ，3+得：7a=28，即 a=4，把 a=4 代入得：b=5 ，则原式=3故答案为：314等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48，则该等腰三角形的底角的度数为 【考点】等腰三角形的性质【分析】分两种情况讨论：若A 90；若A 90 ；先求出顶角BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数【解答】解：分两种情况讨论：若A90，如图 1 所示：BDAC ，A+ABD=90 ，ABD=48，A=90 48=42，AB
21、=AC，ABC=C= =69；若A90，如图 2 所示：同可得：DAB=90 48=42，BAC=18042=138，AB=AC，ABC=C= =21；综上所述：等腰三角形底角的度数为 69或 21故答案为：69或 2115有背面完全相同的 9 张卡片，正面分别写有 19 这九个数字，将它们洗匀后背面朝上放置，任意抽出一张，记卡片上的数字为 a，则数字 a 使不等式组 有解的概率为 【考点】概率公式；不等式的解集【分析】首先解不等式，进而利用不等式组有解得出 a 的取值范围，即可利用概率公式得出答案【解答】解： 3，解得：x5，要使不等式组 有解，a6，符合题意的只有 6，7，8，9 共 4
22、个，故数字 a 使不等式组 有解的概率为： 故答案为： 16如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，A=120，点 E 是 BC 边上的动点，点 P 是对角线BD 上的动点，若使 PC+PE 的值最小，则这个最小值为 【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质；特殊角的三角函数值【分析】根据菱形的性质，得知 A、C 关于 BD 对称，根据轴对称的性质，将 PE+PC 转化为 AP+PE，再根据垂线最短知当 AEBC 时，AE 取得最小值【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，A、C 关于 BD 对称，连接 AE 交 BD 于 P，则 PE+PC=PE+AP=AE，当 AEBC 时，AE 取得最小值
23、BAD=120，ABC=60，AE=ABsin60=2 = cm故答案为： 17如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（3，0） ，对称轴为直线x=1，给出以下结论：abc0 b24ac0 4b+c0 若 B（ ，y 1） 、C（ ，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2当 3x1 时，y0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） 【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】根据二次函数的性质，结合图中信息，一一判断即可解决问题【解答】解：由图象可知，a0，b0，c0，abc0，故错误抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，故 正确抛物线对称轴为 x=1，与
24、x 轴交于 A（3，0） ，抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ，a+b+c=0， =1，b=2a，c= 3a，4b+c=8a3a=5a0，故正确B（ ，y 1） 、C（ ，y 2）为函数图象上的两点，又点 C 离对称轴近，y 1，y 2，故错误，由图象可知，3x1 时，y 0，故正确正确，故答案为三、解答题（本题包括 9 个小题，共 69 分）18计算：（ ） 202sin45+| 1|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值计算即可【解答】解：原式=4 12 + 1=41 + 1=219先化简，再
25、求值（1 ） ，其中 x 是方程 x25x+6=0 的根【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到 x 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式= = ，方程 x25x+6=0，变形得：（x2） （x 3）=0，解得：x=2（舍去）或 x=3，当 x=3 时，原式= 20在我市十个全覆盖工作的推动下，某乡镇准备在相距 3 千米的 A、B 两个工厂间修一条笔直的公路，在工厂 A 北偏东 60方向、工厂北偏西 45方向有一点 P，以 P 点为圆心，1.2 千米为半径的区域是一个
26、村庄，问修筑公路时，这个村庄是否有居民需要搬迁？（参考数据： ， ）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】作垂线段 PC，计算 PC 的长与 1.2千米作比较，若 PC1.2 时，居民不需要搬迁；若 PC 1.2 时，居民需要搬迁；先设 BC=x，则 AC=3x，根据 30 度的余弦列式求出 PC 的长，则可以得出结论【解答】解：过 P 作 PCAB 于 C，设 BC=x，则 AC=3x，PC BF，CPB= PBF=45，PCB 是等腰直角三角形，PC=BC=x，EAB=90， EAP=60 ，PAC=9060=30，tanPAC= ，tan30 = = ，x= =1.051.2，答
27、：修筑公路时，这个 村庄有一些居民需要搬迁21如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点， AEF=90 ，EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F求证：AE=EF【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】先取 AB 的中点 H，连接 EH，根据AEF=90和 ABCD 是正方形，得出1=2，再根据 E 是 BC 的中点，H 是 AB 的中点，得出 BH=BE，AH=CE，最后根据CF 是 DCG 的角平分线，得出AHE=ECF=135 ，从而证出AHEECF，即可得出 AE=EF【解答】证明：取 AB 的中点 H，连接 EH；AEF=90 ，2+AEB=90 ，四边
28、形 ABCD 是正方形，1+AEB=90 ，1=2，E 是 BC 的中点， H 是 AB 的中点，BH=BE，AH=CE，BHE=45，CF 是 DCG 的角平分线，FCG=45，AHE=ECF=135，在AHE 和 ECF 中，AHE ECF（ASA ） ，AE=EF22一个不透明的口袋中装有 4 个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于 （1）求口袋中有几个红球？（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率【考点】列表法与树状图法【分析】 （1）设红球有 x
29、 个，根据任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于 ，求出 x的值即可（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）4 个小球中恰好摸到红球的概率等于 则 = ，解得 x=2 个，即口袋里有 2 个红球；（2）列表如下：红 红 白 白红 （红，红） （白，红） （白，红）红 （红，红） （白，红） （白，红）白 （红，白） （红，白） （白，白）白 （红，白） （红，白） （白，白） 所有等可能的情况有 12 种，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球有 8 种可能，则 P（两次摸到红球）= = 23我市某中学为了深入学
30、习社会主义核心价值观，特对本校部分学生（随机抽样）进行了一次相关知识的测试（成绩分为 A、B、C、D、E、五个组，x 表 示测试成绩） ，通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题A 组：90x100 B 组：80x90 C 组：70x80 D 组：60x70 E 组：x60（1）参加调查测试的学生共有 人；请将两幅统计图补充完整（2）本次调查测试成绩的中位数落在 组内（3）本次调查测试成绩在 80 分以上（含 80 分）为优秀，该中学共有 3000 人，请估计全校测试成绩为优秀的学生有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位
31、数【分析】 （1）根据 A 类人数是 40，所占的百分比是 10%，据此即可求得总人数；（2）利用中位数的定义，就是大小处于中间位置的数即可作判断（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解【解答】解：（1）设参加调查测试的学生共有 x 人由题意 =15%，x=400，故答案为 400统计图补充如下，（2）A 组有 100 人，B 组有 120 人，C 组有 80 人，D 组有 60 人，E 组有 40 人，400 的最中间的在 B 组，中位数在 B 组故答案为 B（3）全校测试成绩为优秀的学生有 3000（25%+30% ） =1650 人24在我市双城同创的工作中，某社区计划对 1200m2
32、的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 300m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 3 天（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？（2）设先由甲队施工 x 天，再由乙队施工 y 天，刚好完成绿化任务，求 y 与 x 的函数关系式（3）若甲队每天绿化费用为 0.4 万元，乙队每天绿化费用为 0.15 万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过 14 天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用【考点】一次函数的应用；分式方程的应用【分析】 （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积
33、是 xm2，根据在独立完成面积为 300m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 3 天，列方程求解；（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率即可求解；（3）设应安排甲队工作 a 天，乙队的工作天，列不等式组求解【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2，根据题意得： =3，解得：x=50，经检验，x=50 是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是 502=100（m 2） ，答：甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是 100m2、50m 2；（2）由题意得：100x+50y=1200，整理得：y= =242x；（3）设应甲队的工作 a 天，则乙队工作 b 天，
34、（0a14，0b14）根据题意得，100a+50b=1200，b=24 2aa+b14，a+242a14，a10w=04a+0.15b=0.4a+0.15（242a）=0.1a+3.6，当 a=10 时，W 最少=0.110+3.6=4.6 万元25如图，P A 为O 的切线， A 为切点，直线 PO 交O 于点 M、N，过点 A 作 P O 的垂线 AB，垂足为 C，变O 于点 B，延长 BO 与O 交于点 D，连接 AD、BM （1）等式 OD2=OCOP 成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（2）若 AD=6，tanM= ，求 sinD 的值【考点】相似三角形的判定与性质；切
35、线的性质【分析】 （1）连接 OA，由切线的性质得出OAP=ACO=90，证出OACOPA ，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）连接 BN，由三角函数得出 = ，设 BN=x，BM=2x，由勾股定理得出 MN= x，由三角形面积得出 BC= x，得出 AB=2BC= x，在 RtABD中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BD、AB 的长，即可得出结果【解答】解：（1）等式 OD2=OCOP 成立；理由如下连接 OA，如图 1 所示：PA 为O 的切线， A 为切点，过点 A 作 PO 的垂线 AB，垂足为 C，OAP= ACO=90，AOC=POA，OACOPA ， = ，即 OA2=OC
36、OPOD=OA，OD 2=OCOP；（2）连接 BN，如图 2 所示：则MBN=90tanM= ， = ，设 BN=x，BM=2x，则由勾股定理，得MN= = x， BMBN= MNBC，BC= x，又ABMN ，AB=2BC= x，RtABD 中，BD=MN= x，AD2+AB2=BD2，6 2+（ x） 2=（ x） 2，解得：x=2 ，BD= 2 =10，AB=8，sinD= = = 26已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B （4，0） ，C （0，2）三点（1）请直接写出抛物线的解析式（2）连接 BC，将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线交于点 D，求点
37、 D 的坐标（3）在（2）中的线段 AD 上有一动点 E（不与点 A、点 D 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，AFD 的面积最大？求出此时点 E 的坐标和AFD 的最大面积【考点】二次函数综合题【分析】 （1）用待定系数法直 接求出抛物线解析式；（2）先确定出直线 BC 解析式，再确定出 AD 解析式，和抛物线解析式联立求出点 D 坐标；（3）先判断出平行于直线 AD 并且和抛物线只有一个交点时的点 F 是三角形 ADF 面积最大，设出直线解析式，代入抛物线解析式中用判别式求出 n 即得出直线 l 解析式，从而求出点 E，F 坐标，用面积和
38、求出即可【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（4，0） ，设抛物线解析式为 y=a（x+1） （x4） ，C（0，2）在抛物线上，2=a1（ 4） ，a= ，抛物线的解析式为 y= （x+1） （x4）= x2 x2，（2）设直线 BC 解析式为 y=kx2，B（4，0）4k2=0 ，k= ，直线 BC 解析式为 y= x2，直线 BC 平移，使其经过点 A（1，0） ，且与抛物线交于点 D，直线 AD 解析式为 y= x+ ，联立解得 （舍）或 ，D（5，2） ，（3）A（1，0） ，D（5，2） ，以 AD 为底，点 F 到 AD 的距离越大，三角形 ADF 面积越大，作 lAD，当 l 与抛物线只有一个交点时，点 F 到 AD 的距离最大，设 l 的解析式为 y= x+n，联立转化为关于 x 的方程为： x24x2n4=0，=16 4（2n4）=0 ，n=4，直线 l 的解析式为 y= x4，x 24x+4=0，x=2，将 x=2 代入 y= x4 得，y= 3，F（2，3） ，E（2， ） ，EF= ，S AFD 的最大面积 EF|xExA|+ EF|xDxE|= 3+ 3= 2016 年 10 月 12 日
