1、期末复习：苏科版九年级数学下册 第六章 图形的相似一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.下列四组图形中，一定相似的是（ ） A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形2.若ABC DEF，且面积比为 1 ：9，则ABC 与 DEF 的周长比为（ ） A. 1 ：3 B. 1 ：9 C. 3 ：1 D. 1 ：813.如图，ABC 中，AD BC 于 D ， 下列条件： B+DAC=90；B= DAC； = ；AB 2=BDBC 其中一定能够判定ABC 是直角三角形的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.将一个矩形纸片 ABCD 沿 A
2、D 和 BC 的中点的连线对折，要使矩形 AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ） A. B. C. D. 2:1 3:1 2:1 1:15.如图，在ABCD 中，EF AB，DE：EA=2：3，EF=4 ，则 CD 的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 161636.已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ ACBC），则下列结论正确的是（ ） A. AB2=ACBC B. BC2=ACBC C. AC= BC D. BC= AB5-12 3-527.已知，直角坐标系中，点 E（-4，2），F（-1，-1），以 O 为位似中心，按比例尺 2
3、：1 把EFO 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标为（ ）A. （2，-1）或（-2，1） B. （8，-4）或（-8 ，4 ） C. （2，-1） D. （8，-4）8.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=12，AD=4，BC=9，点 P 是 AB 上一动点若 PAD与PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个9.给形状相同且对应边的比是 1：2 的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（ ） A. 1 听 B. 2 听 C. 3 听 D. 4 听10.在 平面直角坐标系 xo
4、y 中，已知 A（ 4， 2）， B（ 2， 2），以原点 O 为位似中心，按位似比 1:2 把 OAB 缩小，则点 A 的对应点 A的 坐标为（ ） A. （3，1） B. （2，1 ） C. （3 ，1）或（3， 1） D. （2，1 ）或（2，1）二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.ABC 和ABC中，A=60， B=40，A=60 ，当C=_ 时，ABCABC 12.晚上，身高 1.6 米的小华站在 D 处（如图），测得他的影长 DE=1.5 米，BD=4.5 米，那么灯到地面的距离 AB=_ 米13.若 ，则 _aa-b=12 ab14.如图，在ABC 中，AB=AC，BE
5、、AD 分别是边 AC、BC 上的高，CD=2 ，AC=6，那么 CE=_15.已知ABC 中的三边 a=2，b=4，c=3 ，h a ， hb ， hc 分别为 a，b，c 上的高，则ha： hb： hc=_ 16.如图，在平面直角坐标系中， ABC 的各顶点坐标为 A(1，1)，B(2 ，3)，C(0，3) 现以坐标原点为位似中心，作ABC，使ABC与ABC 的位似比为 .则点 A 的对应点 A的坐标为_.2317.在 ABC 中，C=90，c=25cm ，a ：b=3：4，则 SABC=_ 18.如图，甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲
6、、乙两同学相距 1m，甲身高 1.8m，乙身高 1.5m，则甲的影子是_m 19.如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上如果BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是_20.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DEF 的面积与BAF 的面积之比为 9：16，则DE：EC=_三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）（1 ）将ABC 向上平移 3 个单位得到A 1B1C1 ， 请画出A 1B1C1；（
7、2 ）请画一个A 2B2C2 ， 使 A2B2C2ABC，且相似比为 2：122.如图所示，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，OE BC 于 E，连接 DE 交 OC 于点 F，作 FGBC 于G（1 ）说明点 G 是线段 BC 的一个三等分点； （2 ）请你依照上面的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明） 23.如图所示，D，E 是ABC 的边 AB，AC 上的两点，AE： AC=2：3，且 AD=10，AB=15，DE=8，求 BC 的长24.已知：如图，RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高.求证:AC 2=ADAB25.如图，有一块三角形的
8、土地，它的一条边 BC=100 米，BC 边上的高 AH=80 米某单位要沿着边 BC 修一座底面是矩形 DEFG 的大楼，D 、G 分别在边 AB、AC 上若大楼的宽是 40 米（即 DE=40 米），求这个矩形的面积26.如图，在ABCD 中，EFAB，FGED，DE ：DA=2：5 ，EF=4 ，求线段 CG 的长27.已知：如图，有一块面积等于 1200cm2 的三角形纸片 ABC，已知底边与底边 BC 上的高的和为100cm（底边 BC 大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边 EF 在边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，求加工成的正方形铁片 D
9、EFG 的边长28.如图，ABC 中，AB=8 厘米， AC=16 厘米，点 P 从 A 出发，以每秒 2 厘米的速度向 B 运动，点 Q 从 C同时出发，以每秒 3 厘米的速度向 A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间是多少？答案解析部分一、单选题1.【答案】D 【考点】相似多边形的性质 【解析】【解答】A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故 A 不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故 B 不符合题意；C、菱形与菱形，对应边成比例，但是对应角不一定相等
10、，故 C 不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故 D 符合题意.故答案为：D.【分析】正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例所以一定相似.2.【答案】A 【考点】相似三角形的性质 【解析】【分析】易知三角形面积比等于周长比的平方。故当 SABC：SDEF=1:9则 CABC：CDEF=1:3，选 A。【点评】本题难度较低，主要考查学生对相似三角形性质知识点的掌握。分析其面积比与周长比的关系为解题关键。不清楚的可以列面积公式与周长公式建立比例化简求得。3.【答案】B 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】解答：（1）B+ DAC=90，该
11、条件无法判定ABC 是直角三角形；（2） B=DAC ， BAD+B=90，BAD+DAC=90，即BAC=90，故该条件可以判定ABC 是直角三角形；（3） = ，该条件无法判定ABC 是直角三角形；（4 ）AB 2=BDBC ， = ，B=B ， ABDCBA ， BAC=90，故该条件可以判定 ABC 是直角三角形；故选 B分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明BAC=90即可解题4.【答案】C 【考点】相似多边形的性质 【解析】【分析】设矩形 ABCD 的长 AD=x，宽 AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得【解答】设矩形 ABCD 的长 AD=x，宽 AB=y，则 DM=
12、12AD=12x又矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似 ，即DMAB=DCAD 12xy=yx即 y2=12x2 x:y= 2:1故选 C【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键5.【答案】C 【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：DE ：EA=2：3， DE：DA=2：5，又 EFAB，DEFDAB， ，即 = ，解得 AB=10，DEDA=EFAB 25 4AB由平行四边形的性质，得 CD=AB=10故选 C【分析】由 DE：EA=2 ：3 得 DE：DA=2：5 ，根据 EFAB，可证DEFDAB ，已知 EF=4
13、，利用相似比可求AB，由平行四边形的性质 CD=AB 求解6.【答案】D 【考点】黄金分割 【解析】【解答】点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 AC BC， ，即 AC2=BCAB，故 A、B 不符合题意；BCAC=ACAB= 5-12AC= AB，故 C 不符合题意；5-12BC= = AB，故 D 符合题意；5-12 AC3-52故答案为：D【分析】点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 ACBC，从而得出 BCAC=ACAB= ,根据等比性质即可一一作5-12出判断。7.【答案】A 【考点】位似变换 【解析】 【 分析 】 利用位似比为 1：2 ，可求得点 E 的对应点 E的坐标为（2，
14、-1)或（-2，1)注意分两种情况计算【解答】E（-4，2) ，位似比为 1：2，点 E 的对应点 E的坐标为（2，-1)或（-2，1)故选 A【 点评 】 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比注意位似的两种位置关系8.【答案】B 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】解：ABBC ， B=90ADBC ， A=180B=90， PAD=PBC=90设 AP的长为 x ， 则 BP 长为 12x 若 AB 边上存在 P 点，使PAD 与PBC 相似，那么分两种情况：若APD BPC ， 则 AP：BP= AD：BC ， 即 x：（12x）=4：9，解得：x= ；
15、4813若APD BCP ， 则 AP：BC =AD：BP ， 即 x：9=4 ：（12 x），解得：x=6综上所述：满足条件的点 P 的个数是 2 个故答案为：B【分析】根据图像的特点，p 点有两个位置，一个靠近 A 侧，另一个靠近 B 侧9.【答案】B 【考点】相似三角形的性质 【解析】解答：设小标牌的面积为 S1 ， 大标牌的面积为 S2 ， 则 ，故 S2=4S1 ， 小标牌用漆半听，大标牌应用漆量为：40.5=2（听）故选：B分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答此题考查的是相似多边形的性质：相似多边形面积的比等于相似比的平方10.【 答案】D 【考点】坐标与图形性质，
16、位似变换 【解析】 【 分析 】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k，结合题意即可得出答案【解答】A（4，2)，B （2，-2)两点，以坐标原点 O 为位似中心，相似比为 ，12对应点 A的坐标分别是：A （2，1)或（-2 ，-1)故选 D【 点评 】 此题主要考查了位似变换的性质，根据各点到位似中心的距离比也等于相似比是解决问题的关键二、填空题11.【 答案】80 【考点】相似三角形的判定 【解析】【解答】A=60， B=40，C=180-60-40=80，ABCABCC=C=80，当 C=80时，ABCABC故答
17、案为：80 【分析】利用两对对应角相等的三角形相似判定即可12.【 答案】6.4 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】根据题意画出图形，列方程设灯到地面的高度为 h ， 根据相似三角形的性质可得到 = ，即 = ，解得 h=6.4 米【分析】根据题意，可以得出ABE CDE ， 根据相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程求出灯到地面的高度即可13.【 答案】-1 【考点】比例的性质 【解析】【解答】 ,aa-b=122a=a-ba=-b. =-1ab故答案为:-1【分析】根据两内项之积等于两外项之积，可得出 a=-b，再代入代数式计算可求解。14.【 答案】 43【考点】等腰三角
18、形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】AB=AC，AD BC，BD=CD=2，BE、AD 分别是边 AC、BC 上的高，ADC=BEC=90，C=C，ACDBCE， ，ACBC=CDCE ，64=2CECE= ，43故答案为 .43【分析】根据等腰三角形的性质，可得出 BD=CD=2，再根据三角形高的定义及已知证明 ACDBCE，得出对应边成比例，就可求得 CE 的长。15.【 答案】6 ：3 ：4 【考点】三角形的面积，比例线段 【解析】【解答】解：设ABC 的面积为 S，则 S= aha= bhb= chc ， 则 S=ha=2hb= hc ， 12 12 12 32ha=S，
19、h b= S，h c= S12 23故 ha： hb：h c=6：3：4故答案是：6：3：4 【分析】设ABC 的面积为 S，根据面积相等可以列出 aha= bhb= chc ， 由此易求 ha：h b：h c 的12 12 12值16.【 答案】（- ， ）或（ ，- ） 23 23 23 23【考点】位似变换 【解析】【解答】在ABC中，它的对应点的坐标是（ kx，ky）或（-kx，-ky）A的坐标为：（- ， ）或（ ，- ）23 23 23 23【分析】根据位似图形的性质和已知条件可得 A的坐标为：（ ）或（ ）。-23,23 23,-2317.【 答案】150cm 2 【考点】勾股定
20、理 【解析】【解答】解：设 a=3xcm，则 b=4xcm， C=90，a2+b2=c2 ， 即（3x） 2+（4x） 2=252 ， 解得：x=5（负值舍去），x=5，a=35=15（cm），b=45=20（cm），SABC= ab= 1520=150（ cm2）；12 12故答案为：150cm 2 【分析】设 a=3xcm，则 b=4xcm，由勾股定理得出方程，解方程求出 a、b ，S ABC= ab，即可得出结果1218.【 答案】6 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】解：设甲的影长是 x 米， BCAC，EDAC ，ADEACB， = ，DEBCADACCD=1m，BC=1.8
21、m，DE=1.5m， = ，1.51.8x-1x解得：x=6所以甲的影长是 6 米故答案为：6【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答19.【 答案】 127【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是 6， BCAH=6，12AH= =3，264设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x ，AM=3x ，GFBC，AGFABC， ，即 ，解得 x= ，GFBC=AMAH x4=3-xx 127即正方形 DEFG 的边长为 ，127故答案为： 127【分析】作 AH
22、BC 于 H，交 GF 于 M，根据 ABC 的面积是 6，求得 AH。设正方形 DEFG 的边长为 x，则GF=x，MH=x，AM=3 x，先判定 AGFABC，再根据相似三角形的性质得 = ， 代入求得 GF。GFBCAMAC20.【 答案】3 ：1 【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】四边形 ABCD 为平行四边形，DEAB，DC AB，DEFBAFDEF 的面积与BAF 的面积之比为 9：16， ，DEBA=34 DEEC= DECD-DE= 34-3=3故答案为：3：1【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出 DEAB，DCAB ，根据平行于三角形一边
23、的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出DEF BAF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出,再根据比例的性质即可得出答案。DEBA=34三、解答题21.【 答案】解：（1）如图 1：（2 ）如图 2：【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】（1）根据平移的性质，将三个顶点分别向上平移三个单位即可；（2 ）找到一个点，如点 O 为位似中心，使得对应点到位似中心的距离之比为 2：1 即可22.【 答案】（1）解： OEBC，CDBC，OECDOEFCDF， EFFD=OECD=OBBD=12四边形 ABCD 是矩形，ADBC CGBG=CEAF=EFFD=12G 是 BC 的三等
24、分点（2 ）解：依题意画图所示， 【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质 【解析】【分析】（1）根据相似三角形与矩形的性质，以及平行线分线段成比例定理求解。（2 ）连接DG，交 AC 于 P 点，做 PRBC 交 BC 于 R，R 点为四等分点。23.【 答案】解： AD=10，AB=15，AD：AB=10：15=2 ： 3，而 AE：AC=2 ：3，AE：AC=AD：AB ，DEBC，ADEABC， ，即 ，DEBC=AEAC 8BC=23BC=12 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】由已知条件计算可得比例式 AE：AC=AD：AB ，逆用平行线分线段成比例定理可得DEB
25、C，根据平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似可得ADE ABC，由相似三角形的性质得比例式即可求解。24.【 答案】证明： ABC 是直角三角形， CDAB，A+B=90， A+ACD=90，B=ACD，ACDABC， ，ADAC=ACABAC2=ADAB. 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理得出ACDABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论.25.【 答案】解答：由已知得，DG BCADGABC ， AHBCAHDG 于点 M,且 AM=AH-MH=80-40=40（m） ，即 DG 50 （
26、m），S 矩形 DEFG=DEDG=2000（m 2） 【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】由于四边形 DEFG 是矩形，即 DGEF ， 此时有 ADG=B ， AGD=C ， 所以ADGABC ， 利用相似三角形的性质求得线段 DG 的长，最后求得矩形的面积26.【 答案】解： EFAB， = = = ，又 EF=4，EFABDFDBDEDA25AB=10，四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB=10，FGED， = = ，DGDCDFDB25DG=4，CG=6 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求出 = = ， 得到 AB 的长，根据平行四边
27、形的性质求EFABDEDA25出 CD，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可27.【 答案】解：作 AMBC 于 M，交 DG 于 N，如图所示：设 BC=acm，BC 边上的高为 hcm，DG=DE=xcm，根据题意得： ，a+h=10012ah=1200解得： ，或 （不合题意，舍去），a=60h=40 a=40h=60BC=60cm，AM=h=40cm，DGBC，ADGABC， ，即 ，ANAM=DGBC 40-x40=x60解得：x=24 ，即加工成的正方形铁片 DEFG 的边长为 24cm 【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】作 AMBC 于 M，交 DG 于 N，设
28、 BC=acm，BC 边上的高为 hcm，DG=DE=xcm，根据题意得出方程组求出 BC 和 AM，再由平行线得出 ADGABC，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果28.【 答案】解：设运动了 ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则 AQ=ACCQ=163t（cm），当APQ ABC 时， ，即 ，解得：t= ；APAB=AQAC 2t8=16-3t16 167当APQ ACB 时， ，即 ，解得：t=4；APAC=AQAB 2t16=16-3t8故当以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间是： s 或 4s167【考点】相似多边形的性质 【解析】【分析】由题意根据路程=速度 时间，可将 AP、CQ、AQ 用含 t 的代数式表示。因为A 时公共角，所以以 A、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似时分两种情况讨论求解：当APQABC 时，可得比例式 ，代入可得关于 t 的方程，解方程即可求解；APAB=AQAC当APQACB 时，可得比例式 ，代入可得关于 t 的方程，解方程即可求解。APAC=AQAB
