1、2016 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）第 1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1. 如图所示，用量角器度量AOB，可以读出AOB 的度数为（A） 45（B） 55（C） 125（D） 135答案：B考点：用量角器度量角。解析：由生活知识可知这个角小于 90度，排除C、D，又 OB边在 50与 60之间，所以，度数应为 55。2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约 28 000公里。将 28 000用科学计数法表示应为（A） （B） 28 （C） （D） 2.8103 103 2.8104 0.28105答案：
2、C考点：本题考查科学记数法。解析：科学记数的表示形式为 形式，其中 ，n 为整数，28000 。故选10na1|0a2.8104C。3. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A） a （B） （C） （D） 2 538+7 =1 =10解得 。54（2） ，原方程为 ，即 。（m 取其他值也=1 2+3=0 (+3)=0 1=0, 2=3可以）21. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，过点 A（ 6，0）的直线 与直线 ；y=2x 相交于点1 2B（m，4）。（1）求直线 的表达式；1（2）过动点 P(n,0)且垂于 x轴的直线与 的交点分别1,2为 C,D,当点 C
3、位于点 D上方时，写出 n的取值范围。考点：函数图象，一次函数，不等式。解析：（1） 点 B 在直线 l2上 ， 4=2=2设 l1的表达式为 ，由 A、B 两点均在直=+线 l1上得到， ，4=2+0=6+解得 ，则 l1的表达式为 。=12=3 =12+3（2）由图可知： ，点 C 在点 D 的上方，所以， ，解得： 。32n0x 1 2 3 5 7 9 y 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的 y与 x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系 xOy
4、中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：x4 对应的函数值 y约为 ；该函数的一条性质： 。考点：函数图象，开放式数学问题。解析：（1）如下图：（2）2（2.1 到 1.8 之间都正确）该函数有最大值（其他正确性质都可以）。27. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 与 x轴的交点为 A,B.=22+1(0)(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。当 m1 时，求线段 AB上整点的个数；若抛物线在点 A,B之间的部分与线段 AB所围成的区域内（包括边界）恰有 6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。考点：
5、二次函数的图象及其性质。解析：（1）解：将抛物线表达式变为顶点式 ，则抛物线顶点坐标为(1,-1)。=(1)21（2）解： 时，抛物线表达式为 ，因此 A、B 的坐标分别为(0,0)和(2,0) ，则=1 =22线段 AB 上的整点有(0,0) ，(1,0)，(2,0)共 3 个；抛物线顶点为(1,-1)，则由线段 AB 之间的部分及线段 AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1 或者 0，所以即要求 AB 线段上（含 AB 两点）必须有 5 个整点；又有抛物线表达式，令，得到 A、B 两点坐标分别为 ，=0 22+1=0 (11, 0),(1+1, 0)即 5 个整点是以(1,0)为中心向
6、两侧分散，进而得到 ， 。2 13 19 1428. 在等边 中，（1）如图 1， P,Q 是 BC边上两点，AP=AQ, ,求 的度数；=20（2）点 P,Q是 BC边上的两个动点（不与点 B,C重合），点 P在点 Q的左侧，且 AP=AQ，点 Q关于直线 AC的的对称点为 M，连接 AM,PM.依题意将图 2补全；小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P、Q 运动的过程中，始终有 PA=PM。小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1:要证明 PA=PM，只需证 是等边三角形。想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN=BP,要证 PA=PM，只需证 想法
7、 3: 将线段 BP绕点 B 顺时针旋转 60 ，得到线段 BK，要证 PA=PM，只需证 PA=CK,PM=CK.请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM（一种方法即可）考点：三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理。解析：（1）解： 又 =60=20=602020=20=+=40又 。=60=180=80（2）下图；利用想法 1 证明：连接 AQ，首先应该证明 ，得到 ，然后由 得到 ，进而得到 ;= = =60接着利用 AB=AC ，得到 ，=60 = 从而得到 AP=AM，进而得到 PA=PM。（利用其他想法的线索证明也可以）29. 在平面直角坐标系 xOy中，点 P的坐标为（ 点
8、 Q的坐标为（ ），且 ，1,1)， 2， 2 12某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P,Q12，若 ,为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与的“相关矩形”。下图为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图。（1）已知点 A的坐标为（1，0），若点 B的坐标为（3，1）求点 A，B 的“相关矩形”的面积；点 C在直线 x=3上，若点 A,C的“相关矩形”为正方形，求直线 AC的表达式；（2） 的半径为 ，点 M 的坐标为（m,3）。若在 上存在一点 N，使得点 M,N的“相关矩形” 2 为正方形，求 m的取值范围。考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力。解析：（1）解： ；C 的坐标可以为 (3,2)或者 (3,-2)，设 AC 的表达式为 ,=21=2 =+将 A、C 分别代入 AC 的表达式得到或 ，解得 或 ，0=+2=3+ 0=+2=3+ =1=1 =1=1则直线 AC 的表达式为 或 。=1 =+1（2）解：易得随着 m 的变化，所有可能的点 M 都在直线 y=3 上；对于圆上任何一点 N，符合条件的 M 和 N 必须在 k=1 或者-1 的直线上，因此可以得到 m 的范围为 或者 。1 5 5 1
