1、第 1 页，共 17 页2018-2019 学年广西防城港市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1. 下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2+=0 2(2)1=0 22=023=2+22. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 一元二次方程 x2-2x=3 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 1、2、 B. 1、2、3 C. 1、 、3 D. 1、 、3 2 2 34. 在平面直角坐标系中，有 A（2，-1）、B（-1 ，-2）、C（2，1）、D（-2，1
2、）四点其中，关于原点对称的两点为（ ）A. 点 A 和点 B B. 点 B 和点 C C. 点 C 和点 D D. 点 D 和点 A5. 将抛物线 y=2x2 平移后得到抛物线 y=2x2+1，则平移方式为（ ）A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位C. 向上平移 1 个单位 D. 向下平移 1 个单位6. 设 x1，x 2 是一元二次方程 x2-2x-3=0 的两根，则 x1+x2=（ ）A. B. 2 C. 3 D. 2 37. 将二次函数 y=x2-4x+2 化为顶点式，正确的是（ ）A. B. C. D. =(2)22 =(2)2+3 =(+2)22 =(2)2+28.
3、 设 A（-2 ， y1），B（1，y 2），C （2，y 3）是抛物线 y=（x -1） 2-3 上的三点，则y1，y 2，y 3 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 123 132 321 3129. ABC 是等边三角形，点 P 在 ABC 内，PA=2，将PAB绕点 A 逆时针旋转得到 P1AC，则 P1P 的长等于（ ）A. 2B. 3C. 32D. 110. 二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：ac0；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；2a+b=0；b 2-4ac0；4a-2b+c0，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第
4、 2 页，共 17 页11. 已知一元二次方程 x2-8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为（ ）A. 13 B. 11 或 13 C. 11 D. 1212. 在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和函数 y=-mx2+2x+2（m 是常数，且 m0）的图象可能是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）13. 方程 x2-1=0 的解为_14. 已知关于 x 的方程 x2+mx-6=0 的一个根为 2，则 m=_15. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则方程 ax2+bx+c=0的两根为_16
5、. 函数 y= （x-1） 2+3，当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而增大1217. 一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y=- ，当水面1162离桥拱顶的高度 OC 是 4m 时，水面的宽度 AB 为_m18. 如图，在AOB 中，AOB =90，OA =3，OB=4将AOB 沿 x 轴依次以点A、B 、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图、图、，则旋转得到的图的直角顶点的坐标为_三、计算题（本大题共 2 小题，共 20.0 分）19. 某商品的进价为每件 40 元当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，且经市场调查
6、：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写山 y 与 x 的函数关第 3 页，共 17 页系式，并求出自变量 x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？20. 如图，抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A（0，3），B （-1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长（3）点 F 在抛物线的对称轴上运动，是否存在点 F，使BFC 的面积为 4，如果存在，求出点 F 的坐标；如果不
7、存在，请说明理由四、解答题（本大题共 6 小题，共 46.0 分）21. 解方程：3x（x -1）=2x-222. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将ABC 沿 x 轴向右平移 4 个单位，在图中画出平移后的 A1B1C1（2）作ABC 关于坐标原点成中心对称的 A2B2C2（3）求 B1 的坐标_，C 2 的坐标_第 4 页，共 17 页23. 已知二次函数 y=-x2-2x+3（1）将其配方成 y=a（x-k） 2+h 的形式，并写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标（2）在平面直角坐标系
8、中画出函数的图象，并观察图象，当 y0 时，x 的取值范围24. 如图所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与CB 的延长线上的点 E 重合，连接 CD（1）试判断CBD 的形状，并说明理由；（2）求 BDC 的度数第 5 页，共 17 页25. 某市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于购房者持币观望，销售不畅房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售求平均每次下调的百分率26. 已知：关于 x 的方程 x2+4x+（2-k）=0 有两个不相等的实数根（1）求实数 k 的取值范围（2
9、）取一个 k 的负整数值，且求出这个一元二次方程的根第 6 页，共 17 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、不是一元二次方程，故此选项错误； D、不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程进行解答即可此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方面：“ 化简后 ”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是 2”；“二次项的系数不等于 0”；“整式方程 ”2.【答案】C【解析】解：A、不是 轴对 称图形，不符
10、合题意，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合 题意，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合 题意，故本选项正确； D、是轴对 称 图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误 故选：C 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图形重合3.【答案】D【解析】解：方程可化为：x 2-2x-3=0， 二次项系数为 1、一次项系数为-2、常数 项为-3 第 7 页，共 17 页故选：D将方程化为一元二次方程的
11、一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a0），其中 ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项4.【答案】D【解析】解：A（2， -1）与 D（-2，1）关于原点对称， 故选：D根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案本题考查了关于原点对称点的坐标，掌握 P（a，b）关于原点对称点的坐标 P（-a，-b）是解题的关键5.【答案】C【解析】解：抛物线 y=2x2 平移得到抛物线 y=2x2+1 的步骤 是：向上平移 1 个单位 故选：C 直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进
12、而得出答案此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键6.【答案】B【解析】解：根据根与系数的关系，x1+x2=- =2故选：B 根据两根和与系数的关系，直接可得结论本题考查了根与系数的关系记住根与系数的关系是关键一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x 1+x2=- ，x1x2= 7.【答案】A【解析】第 8 页，共 17 页解：y=x 2-4x+2 =x2-4x+4-2 =（x-2）2-2 故选：A直接利用配方法将原式变形进而得出答案此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用完全平方公式是解题关键8.【答案】B【解析】解：y=（x-1 ）2-3，
13、抛物线 的对称轴为直线 x=1， 抛物线 开口向上，而点 A（-2，y1）到对称轴的距离最远，B（1，y 2）在对称轴上， y2y 3y 1 故选：B 由 y=（x-1）2-3 可知抛物线 的对称轴为直线 x=1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小本题考查了二次函数图象与系数的关系此题需要掌握二次函数图象的增减性9.【答案】A【解析】解：ABC 是等边三角形，AC=AB，CAB=60，将PAB 绕点 A 逆时针旋转得到P 1AC，CP1ABPA，AP1=AP，CAP1=BAP，CAB=CAP+BAP=CAP+CAP1=60，即 PAP1=60，第 9 页，共 17
14、 页APP1 是等 边三角形，P1P=PA=2，故选：A根据等边三角形的性质推出 AC=AB，CAB=60，根据旋转的性质得出CP1ABPA，推出 AP1=AP，CAP1=BAP，求出 PAP1=60，得出APP 1是等边三角形，即可求出答案本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出APP 1 是等边三角形，注意 “有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于 6010.【答案】B【解析】解： 抛物线开口向上，且与 y 轴交于负半轴，a0，c0，ac0，结论错误；抛物 线开口向上，且抛物线对称轴为直线 x=1，当
15、 x1 时，y 随 x 的增大而增大，结论错误；抛物 线对称轴为直线 x=1，- =1，b=-2a，2a+b=0，结论正确；a0，c 0，b=-2a，b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）0，结论错误；当 x=-2 时 ，y0，4a-2b+c0，结论正确故选：B 由抛物线的开口方向及与 y 轴交点的位置，即可得出 a0、c0， 进而可第 10 页，共 17 页得出 ac0， 结论错误； 由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，结论错误；由抛物线对称轴为直线 x=1，即可得出b=-2a，进而可得出 2a+b=0，结论 正确；由 a0、c0、 b=-2a，
16、可得出 b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）0，结论错误；由当 x=-2 时，y0 可得出 4a-2b+c0， 结论正确综上即可得出结论本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键11.【答案】B【解析】解：x 2-8x+15=0， （x-3）（x-5）=0， x-3=0 或 x-5=0， 即 x1=3，x2=5， 一元二次方程 x2-8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，当底边长 和腰长分别为 3 和 5 时， 3+35， ABC 的周长为：3+3+5=11； 当底边长 和腰长分别为 5 和 3 时， 3+55，
17、ABC 的周长为：3+5+5=13； ABC 的周长为：11 或 13 故选：B 由一元二次方程 x2-8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰ABC 的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为 3 和 5 时与当底边长和腰长分别为 5 和 3 时去分析，即可求得答案此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系此题难度不大，注意分类讨论思想的应用第 11 页，共 17 页12.【答案】D【解析】解：A、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，即函数 y=-mx2+2x+2 开口方向朝上，与图象不符，故 A 选项错
18、误；B、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0， 对称轴为 x=- =- = 0，则对称轴应在 y 轴左侧，与图象不符，故 B 选项错误 ；C、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，即函数 y=-mx2+2x+2 开口方向朝下，与图象不符，故 C 选项错误 ；D、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，即函数 y=-mx2+2x+2 开口方向朝上，对称轴为 x=- =- = 0，则对称轴应在 y 轴左侧，与图象相符，故 D选项正确；故选：D本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是 m 的正负的确定，对于二次函数 y=ax2+bx+c，当 a0 时，开口向上；当 a0 时
19、，开口向下对称轴为 x=- ，与 y 轴的交点坐标为（0，c ）本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题13.【答案】x 1=1，x 2=-1【解析】解：x 2-1=0， （x+1）（x-1）=0， x-1=0，x+1=0， x1=1，x2=-1， 故答案为：x 1=1，x2=-1分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可本题考查了学生对解一元二次方程的应用，本题难度比较低，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程第 12 页，共 17 页14.【答案】1【解析】解：把 x=2 代入方程 x2+mx-6=0， 得：4+2m-6=0
20、 ， 解方程得：m=1 故答案为：1把 x=2 代入方程 x2+mx-6=0 得到一个关于 m 的一元一次方程，求出方程的解即可本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元二次方程的解等知识点的理解和掌握，能得到方程 4+2m-6=0 是解此题的关 键15.【答案】x 1=-1，x 2=3【解析】解：抛物 线与 x 轴的一交点坐标为（-1，0）， 对称轴方程为 x=1，抛物线 与 x 轴的另一交点坐标与（-1，0）关于直线 x=1对称，抛物线 与 x 轴的另一交点坐标（3， 0）方程 ax2+bx+c=0 的两根为：x 1=-1，x2=3故答案是：x 1=-1，x2=3结合图象得到抛物线与
21、x 轴的一交点坐标为（-1，0），对称轴方程为 x=1，则抛物线与 x 轴的另一交点坐标与（-1，0）关于直线 x=1 对称考查了抛物线与 x 轴的交点解题时，需要掌握抛物线 y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 间的转化关系16.【答案】1【解析】解：可直接得到对称轴是 x=1，a= 0，函数图 象开口向上，第 13 页，共 17 页当 x 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大先求对称轴，再利用函数值在对称轴左右的增减性可得 x 的范围主要考查了函数的单调性和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法17.【答案】16【解析】解：根据题意 B 的纵坐标为-4，把 y=-4 代
22、入 y=- x2，得 x=8，A（-8，-4），B（8，-4），AB=16m即水面宽度 AB 为 16m故答案为：16根据题意，把 y=-4 直接代入解析式即可解答此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键18.【答案】（36，0）【解析】解：在 AOB 中， AOB=90，OA=3，OB=4， AB=5， 图、 的直角顶点坐标为（12，0）， 每旋转 3 次为一循环， 图、 的直角顶点坐标为（24，0）， 图、 的直角顶点为（36，0） 故答案为：（36，0）如图，在AOB 中，AOB=90， OA=3，OB=4，则 AB=5，每旋转 3 次为一循环，则图 、的直角顶
23、点坐标为（12， 0），图、的直角顶点坐标为（24，0），所以，图 、10 的直角顶点为（36，0）第 14 页，共 17 页本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转 3 次为一循环 ”，是解答本题的关键19.【答案】解：（1）y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x），即 y=-20x2+100x+6000因为降价要确保盈利，所以 4060-x60（或 4060- x60 也可）解得 0x20（或 0x 20）；（2）当 时，=1002(20)=2.5y 有最大值 ，4(20)600010024(20) =6125即当降价 2.5 元时，
24、利润最大且为 6125 元【解析】（1）根据题意，卖出了（60-x）（300+20x）元，原进价共 40（300+20x）元，则y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x）（2）根据 x=- 时，y 有最大值即可求得最大利润本题考查的是二次函数的应用以及画图能力，难度中等20.【答案】解：（1）把 A（0，3），B（-1，0）代入 y=ax2+2x+c 得 ，=32+=0即得 ，=1=3抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3；（2）y=-x 2+2x+3=-（x -1） 2+4，D（ 1， 4），BD= =2 ；(1+1)2+42 5（3）存在抛物线的对称性为直线 x=1，B（-
25、1，0），C（3，0），设 F（1，m），BFC 的面积为 4，（3+1）| m|=4，12|m|=2，解得 m=2 或 m=-2，点 F 的坐标为（1，2）或（1，-2）【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）把（1）的解析式配成顶点式得到 D 点坐标，然后两点间的距离公式计算第 15 页，共 17 页BD 的长；（3）先利用对称性确定 C 点坐标， 设 F（1，m），根据三角形面积公式得到（3+1）|m|=4，然后解绝对值方程求出 m 即可得到点 F 的坐标本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化
26、为解关于 x 的一元二次方程也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质21.【答案】解：3x（x -1）-2（x-1）=0（x-1）（ 3x-2） =0x1=1， x2= 23【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根22.【答案】（2，-2） （4 ，1）【解析】解：（1）A 1B1C1 如图所示；（2）A2B2C2 如图所示；（3）求 B1 的坐标（2，-2），C 2 的坐标（4，1）（1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1 即可；（2）分别作出 A，B，C 的对
27、应点A 2，B2，C2 即可；（3）根据 B1，C2，的位置写出坐标即可；第 16 页，共 17 页本题考查作图-旋转变换，平移变换，解 题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型23.【答案】解：（1）二次函数 y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，故该函数的开口向下，对称轴是直线 x=-1，顶点坐标为（-1，4）；（2）当 y=0 时，0=-x 2-2x+3，得 x=-3 或 x=1，故该函数的图象如右图所示，当 y0 时，x 的取值范围是-3x1【解析】（1）根据题目中的函数解析式，利用配方法可以将题目中的函数解析式化为y=a（x-k）2+h 的形式，并写出它的开口方向、对称轴
28、及顶点坐标； （2）根据题目中的函数解析式可以画出函数的图象，并直接写出当 y0 时，x的取值范围本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，二次函数的三种形式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答24.【答案】解：（1）EBD 由ABC 旋转而成，ABCEBD，BC=BD，CBD 是等腰三角形（3）ABC EBD，EBD=ABC=30，DBC=180-30=150，CBD 是等腰三角形，BDC= = =151802 1801502【解析】（1）根据图形旋转不变性的性质得出ABCEBD ，故可得出 BC=BD，由此即可得出结论； （2）根据图形选旋转不变性的性质
29、求出EBD 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出BDC 的度数本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键第 17 页，共 17 页25.【答案】解：设平均每次降价的百分率是 x，根据题意列方程得，6000（1-x） 2=4860，解得：x 1=10%，x 2=1.9（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为 10%【解析】设平均每次下调的百分率为 x，利用预订每平方米销售价格（1-每次下调的百分率） 2=开 盘每平方米销售价格列方程解答即可此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解26.【答案】解：（1）方程 x2+4x+（2-k）=0 有两个不相等的实数根，42-4（2-k） 0，即 4k+80，解得 k-2；（2）若 k 是负整数，k 只能为-1；如果 k=-1，原方程为 x2+4x+3=0，解得：x 1=-1，x 2=-3【解析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，0，由此可求 k 的取值范围； （2）在 k 的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（ 1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3） 0方程没有实数根
