1、 第 1 页 共 23 页【易错题解析】北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似一、单选题（共 10 题；共 30 分）1. ( 3 分 ) 如图所示，在ABC 中 D 为 AC 边上一点，若DBC=A ， BC=3，AC=6，则 CD 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】解答：DBC=A ， C=C ， BCDACB ， = ， = CD= ，故选：C 分析：由DBC= A ， C=C ， 可证得BCD ACB ， 所以有 = ，代入数据可求得2. ( 3 分 ) 如果两个相似三角形的面积的比是 4:9,那么它们的周长的比是（
2、） A. 4:9 B. 1:9 C. 1:3 D. 2:3【答案】D 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】两个相似三角形的面积的比是 4:9,两个相似三角形的相似比为：2:3.两个相似三角形的周长比为：2:3.故答案为：D.【分析】根据两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解。3. ( 3 分 ) 两个相似多边形一组对应边分别为 3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为( ) A. B. C. D. 23 32 49 94【答案】A 【考点】相似多边形的性质 第 2 页 共 23 页【解析】【解答】由题意得,两个相似多边形的一组对应边的比为 3:4.5= ，23它们的相似比为 .2
3、3故答案为：A.【分析】两个相似多边形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.4. ( 3 分 ) 下列各组图形中不是位似图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【考点】位似变换 【解析】【解答】解：根据位似图形的定义，可得 A，B，C 是位似图形，B 与 C 的位似中心是交点，A 的为中心是圆心；D 不是位似图形故选：D【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用5. ( 3 分 ) 在同一时刻太阳光线是平行的，如果高 1.5 米的测杆影长 3
4、米，那么此时影长 36 米的旗杆的高度为（ ） 第 3 页 共 23 页A. 18 米 B. 12 米 C. 15 米 D. 20 米【答案】A 【考点】相似三角形的应用，平行投影 【解析】【解答】解： = ， = ，测竿的高度测竿的影长 旗竿的高度旗竿的影长 1.53 旗竿的高度 36解得旗杆的高度= 36=18（m）1.53故选：A【分析】根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可6. ( 3 分 ) 下列各组长度的线段中，成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm, 3cm, 4cm B. 1cm, cm, cm， cm2 3 6C. 2cm, 4cm, 6cm, 8cm
5、 D. cm, cm, cm, cm3 4 5 6【答案】B 【考点】比例线段 【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案【解答】A、1423，故选项错误；B、1 = ，故选项正确；6 2 3C、 2846，故选项错误；D、 ，故选项错误3 6 4 5故选 B【点评】考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等7. ( 3 分 ) 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是边 AD，AB 的中点，EF 交 AC 于点
6、H，则 的值为 （ ）AHHCA. B. 1 C. D. 13 12 14【答案】A 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【分析】平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O,AO=CO.点 E，F 分别是边 AD，AB 的中点， EFBD. . .AHAO=12 AHHC=13故选 A.8. ( 3 分 ) 下列说法中正确的是（ ） 第 4 页 共 23 页A. 两个直角三角形相似 B. 两个等腰三角形相似C. 两个等边三角形相似 D. 两个锐角三角形相似【答案】C 【考点】相似三角形的判定 【解析】 【 分析 】 根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案【解答
7、】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误故选：C【 点评 】 考查相似三角形的判定定理：（1)两角对应相等的两个三角形相似；（2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3)三边对应成比例的两个三角形相似；（4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似9. ( 3 分 ) 如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=6 ，BC=8，AD 平分C
8、AB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为（ ）A.403B.154C.245D.6【答案】C 【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图所示：在 AB 上取点 C，使 AC=AC，过点 C作 CFAC，垂足为 F，交 AD 与点E第 5 页 共 23 页在 RtABC 中，依据勾股定理可知 BA=10AC=AC，CAD= CAD，AE=CE，AECAECCE=ECCE+EF=CE+EF当 CFAC 时， CE+EF 有最小值CFAC，BCAC，CFBCAFCACB = ，即 = ，解得 FC= FCBCAC
9、AB FC8 610 245故答案为：C【分析】在 AB 上取点 C，使 AC=AC，过点 C作 CFAC，垂足为 F，交 AD 与点 E，利用全等三角形的判定定理证明AECAEC得出对应边相等，即 CE=EC就可得出 CE+EF=CE+EF=FC，当 CFAC 时，CE+EF 有最小值，再证明AFC ACB，得出对应边成比例，就可求出 FC的长。10. ( 3 分 ) 如图，在 ABC 中，点 P 为 AB 上一点，给出下列四个条件：ACP=B； APC=ACB；AC 2=APAB；ABCP=APCB其中能满足APC 和 ACB 相似的条件是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考
10、点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：当ACP=B，A 公共，所以APCACB；当APC= ACB，A 公共，所以APCACB；当 AC2=APAB，即 AC：AB=AP ：AC，A 公共，所以APCACB；当 ABCP=APCB，即 ，PCBC=APAB而PAC= CAB，第 6 页 共 23 页所以不能判断APC 和ACB 相似故答案为：D【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断二、填空题（共 10 题；共 30 分）11. ( 3 分 ) 两个相似三角形的相似比为 1 ：2 ，它们的面积比为_ 【答案】
11、1:4 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】两相似三角形的相似比为 1：2 ，它们的面积比是 1：4，故答案为：1：4.【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。12. ( 3 分 ) 如图，在 ABC 中，DEBC， = ，则 =_ADAB13 DEBC【答案】 13【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：DE BC，ADE=B，AED= C，ADEABC， = = DEBCADAB13故答案为： 13【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解。13. ( 3 分 ) 如图，直线 l1l2l3 ， 直线 AC 交 l1 ， l2 ， l3 ， 于点 A，B，
12、C；直线 DF 交 l1 ， l2 ， l3 于点 D，E，F ，已知 ，则 =_。ABAC=13 EFDE【答案】2 【考点】平行线分线段成比例 第 7 页 共 23 页【解析】【解答】解：由 和 BC=AC-AB，ABAC=13 ABBC= 13-1=12则 ,BCAB=2因为直线 l1l2l3 ， 所以 =2EFDE=BCAB故答案为 2【分析】由 和 BC=AC-AB，可得 的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得ABAC=13 ABBC EFDE=BCAB14. ( 3 分 ) 如图，在 ABC 中，DEBC，AD1 ，AB3，DE2，则 BC_【答案】6 【考点】相似三角形的判定与性
13、质 【解析】【解答】在ABC 中，DEBC， ADEABC. .ADAB=DEBCAD1，AB 3，DE2， ,BC=6.13=2BC【分析】相似三角形的判定和性质15. ( 3 分 ) 把一个矩形剪去一个正方形，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为_ 【答案】 1+52【考点】相似多边形的性质 【解析】【解答】根据相似多边形对应边的成比例， = ， 设原矩形 ABCD 的长 AD=x，宽 AB=y，则 AE=x-y =解得：x= ， 或 x= （舍去）第 8 页 共 23 页 = 即原矩形的长与宽的比是 【分析】根据相似多边形对应边的比等于相似比，设出原来矩形的长和宽，就可得到关于长
14、宽的方程，从而可以解得16. ( 3 分 ) （2017兰州）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是 O， = ，则 OEOA35 FGBC=_ 【答案】 35【考点】位似变换 【解析】【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，OEFOAB，OFGOBC ， = = ，OEOAOFOB35 = = FGBCOFOB35故答案为： 35【分析】直接利用位似图形的性质得出OEF OAB， OFGOBC，进而得出答案17. ( 3 分 ) 墙壁 CD 上 D 处有一盏灯（如图），小明站在 A 站测得他的影长与身长相等都为 1.5m，他向墙壁走 1m
15、到 B 处时发现影子刚好落在 A 点，则灯泡与地面的距离 CD=_m.【答案】 92【考点】相似三角形的应用 第 9 页 共 23 页【解析】【解答】如图：根据题意得：BG=AF=AE=1.5m，AB=1m，BGAFCDEAFECD，ABG ACD，AE：EC=AF： CD，AB ：AC=BG：CD，设 BC=xm，CD=ym，则 CE=（x+2.5）m，AC= （x+1 ）m ，则 ， ，1.5x+2.5=1.5y 1x+1=1.5y解得：x=2，y=4.5，即 CD=4.5 米，故答案为：4.5.【分析】首先抽象出数学图形，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形系数
16、得出EAFECD ，ABGACD，根据相似三角形对应边成比例得出AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设 BC=xm，CD=ym ，则 CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，根据比例式建立出方程组，求解即可得出答案。18. ( 3 分 ) 如图，在 中， ， ， 为 边上的高，动点 Rt ABC BAC=90 AB=AC=16cm AD BC从点 出发，沿 方向以 的速度向点 运动设 的面积为 ，矩形 P A A D 2cm/s D ABP S1 PDFE的面积为 ，运动时间为 秒 ，则 =_秒时， S2 t (0t8) t S1=2S2【答案】6 【考点】相似三角形的判定与性
17、质，等腰直角三角形，一元二次方程的实际应用-几何问题 第 10 页 共 23 页【解析】【解答】如图， 中，Rt ABC， BAC=90， 为 边上的高，AB=AC=16cm AD BC AD=BD=CD=82cm又 ，AP= 2t则 ， S1=12APBD=12822t=8tPD=82- 2t ，PE BC ， APE ADC DEDC=APAD ，PE=AP= 2t S2=PDPE=(82- 2t) 2t又 ，S1=2S2 ，8t=2(82- 2t) 2t解得 t=6故答案为 6【分析】根据等腰三角形的三线合一，及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=BD=CD=8 cm 根据题意
18、 AP= t ，PD=8 t 根据三角形的面积计算公式算出 S1 的值，根2 2 2 2据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出APEADC ，根据相似三角形对应边成比例得出 ,根据矩形的面积计算出 S2，根据 S1=2S2， 列出方程，求解即可。DEDC=APAD19. ( 3 分 ) 如图，矩形 ABCD 中，BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，F 为 BE 上一点，连接 DF，过 F 作 FGDF交 BC 于点 G，连接 BD 交 FG 于点 H，若 FD=FG，BF=3 ，BG=4，则 GH 的长为_2第 11 页 共 23 页【答案】 81011【考点
19、】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：解法一：如右图，过点 F 作 BC 的垂线，分别交 BC、AD 于点 M、N，则 MNAD，延长 GF 交 AD 于点 Q，如图所示四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，ADBC，BE 平分 ABC，ABE=EBC=45，MBF 是等腰直角三角形，BF=3 ，2BM=FM=3，BG=4，MG=1，FDFG，DFG=90，DFN+MFG=90，DNF=90，NDF+DFN=90，NDF=MFG，在 DNF 和FMG 中， NDF= MFG DNF= FMG=90FD=FMDNFF
20、MG（AAS ），DN=FM=3，NF=MG=1，由勾股定理得：FG=FD= ，10QNBC， = ，FNFM=FQGFQNMG = ，13= FQ10QN1第 12 页 共 23 页FQ= ，QN= ，103 13设 GH=x，则 FH= x，10QDBG， ，QDBG=QHGH ，13+34 = 103+10-xxx= ，81011即 GH= 81011解法二：如右图，过 F 作 FNBC 于 N，过 B 作 BMFG 于 M，四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，ADBC，BE 平分 ABC，ABE=EBC=45，NBF 是等腰直角三角形，BF=3 ，2BN=FN=3，BG=4，NG=
21、1，在 RtFNG 中，由勾股定理得： DF=FG= = ，32+12 10SBFG= BGFN= FGBM，12 1243= BM，10BM= ，6105GM= = = ，BG2-BM2 42-(6105)2 2105FM=GFGM= = ，102105 3105DFBM，DFHBMH，第 13 页 共 23 页 ，DFBM=FHHM = ，106105 3105-HMHMHM= ，181055GH=HM+GM= + = ；181055 2105 81011故答案为： 81011【分析】解法一：添加辅助线，构造相似三角形和全等三角形，先证MBF 是等腰直角三角形，再明DNFFMG 得出 DN
22、=FM、NF=MG ，根据勾股定理求 FG=FD 长，由 QNBC 得线段成比例，求得 FQ、QN的长，由 QDBG 得线段成比例求出 GH 长。解法二：过 F 作 FNBC 于 N，过 B 作 BMFG 于 M，易证得NBF 是等腰直角三角形，求出 BN，NG 的长，在 RtFNG 中，根据勾股定理求得 DF=FG 的长，再由面积法求出 BM 的长，然后证明DFH BMH，得对应边成比例，求出 HM 的长，即可求得 GH 的长。20. ( 3 分 ) （2015湖州）已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1 ， 以 A1C1 为边向右作正方形A1C1C2D2 ， 延长
23、 C2D2 到 A2 ， 以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3（如图所示），以此类推若A1C1=2，且点 A，D 2 ， D3 ， ，D 10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是_ 【答案】 3827【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：延长 D4A 和 C1B 交于 O， ABA2C1 ， AOBD2OC2 ， = ，OBOC2 ABD2C2AB=BC1=1，D C2=C1C2=2，2 = = OBOC2 ABD2C2 12OC2=2OB，第 14 页 共 23 页OB=BC2=3，OC2=6，设正方形 A2C2C3D3 的边长为
24、 x1 ， 同理证得：D 2OC2D3OC3 ， = ，解得，x 1=3，2x1 66+x1正方形 A2C2C3D3 的边长为 3，设正方形 A3C3C4D4 的边长为 x2 ， 同理证得：D 3OC3D4OC4 ， = ，解得 x2= ，3x2 99+x2 92正方形 A3C3C4D4 的边长为 ；92设正方形 A4C4C5D5 的边长为 x3 ， 同理证得：D 4OC4D5OC5 ， = ，解得 x= ，92x3272272+x3 274正方形 A4C4C5D5 的边长为 ；274以此类推正方形 An1Cn1CnDn 的边长为 ；3n-22n-3正方形 A9C9C10D10 的边长为 38
25、27故答案为 3827【分析】延长 D4A 和 C1B 交于 O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形 A9C9C10D10 的边长三、解答题（共 8 题；共 60 分）21. ( 6 分 ) 如图所示的网格中，每个小方格都是边长为 1 的小正方形，B （1，1 ），C（5，1 ）（1 ）把ABC 绕点 C 按顺时针旋转 90后得到 A1B1C1 ， 请画出这个三角形并写出点 B1 的坐标； 第 15 页 共 23 页（2 ）以点 A 为位似中心放大 ABC，得到 A2B2C2 ， 使放大前后的面积之比为 1：4，请在下面网格内出A 2B2C
26、2 【答案】（1）解：如图所示： A1B1C1 ， 即为所求，点 B1 的坐标为：（5，5）（2 ）解：如图所示：A 2B2C2【考点】作图位似变换，作图 旋转变换 【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2 ）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案22. ( 6 分 ) 如图，有一块三角形的土地，它的一条边 BC=100 米，BC 边上的高 AH=80 米某单位要沿着边 BC 修一座底面是矩形 DEFG 的大楼，D 、G 分别在边 AB、AC 上若大楼的宽是 40 米（即 DE=40 米），求这个矩形的面积【答案】解答：由已知得，DGBCADGABC
27、， AHBCAHDG 于点 M,且 AM=AH-MH=80-40=40（m） ，即 DG 50 （m），S 矩形 DEFG=DEDG=2000（m 2） 【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】由于四边形 DEFG 是矩形，即 DGEF ， 此时有 ADG=B ， AGD=C ， 所以ADGABC ， 利用相似三角形的性质求得线段 DG 的长，最后求得矩形的面积第 16 页 共 23 页23. ( 6 分 ) 如图，在 ABC 中，EFCD ， DEBC 求证：AF：FD=AD ：DB 【答案】证明：EFCD， DEBC， ， ， ，即 AF：FD=AD： DB 【考点】平行线分线段成比例
28、【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，推出 即可24. ( 8 分 ) 如图，四边形 ABCD 中，AC BD 交 BD 于点 E，点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，BN 平分ABE交 AM 于点 N，AB AC BD，连接 MF，NF（1 ）判断BMN 的形状，并证明你的结论； （2 ）判断MFN 与BDC 之间的关系，并说明理由 【答案】（1）解：BMN 是等腰直角三角形证明：ABAC ，点 M 是 BC 的中点，AMBC，AM 平分 BACBN 平分ABE，ACBD，AEB90，EABEBA90， MNB= NAB+ ABN=12( BAE+ ABE)=45BMN
29、是等腰直角三角形（2 ）解：MFNBDC 证明：点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，第 17 页 共 23 页FMAC， FM=12ACACBD， ，即 FM=12BD FMBD=12由(1)知BMN 是等腰直角三角形， ，即 ，NM=BM=12BC NMBC=12 FMBD=NMBCAMBC，NMF FMB90FMACACB FMBCEB90，ACB CBD90CBDFMB90 ，NMF CBDMFNBDC 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由题 AB=AC，因为 M 为 BC 的中点，所以根据等腰三角形三线合一， NMB=90，根据三角形外角的性质，即可得到MNB=
30、45 ，所以得出三角形 NMB 为等腰直角三角形。（2 ）由题可得，FM 为三角形 ABC 的中位线，根据（1 ）中所求的等腰直角三角形，继而可以求得成比例的线段，继而求NMF CBD，根据三角形相似的判定定理，即可求出MFN BDC。25. ( 8 分 ) 如图，矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C（1 ）设 RtCBD 的面积为 S1 ， RtBFC 的面积为 S2 ， RtDCE 的面积为 S3 ， 则 S1 S2+S3（用“”、“=”、“ ”填空）；（2 ）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明 【答案】（1
31、）解： S1= BDED，S 矩形 BDEF=BDED，12S1= S 矩形 BDEF ， 12第 18 页 共 23 页S2+S3= S 矩形 BDEF ， 12S1=S2+S3 （2 ）答：BCDCFBDEC证明BCDDEC ；证明：EDC+ BDC=90，CBD+ BDC=90，EDC=CBD，又BCD=DEC=90，BCDDEC 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）根据 S1= S 矩形 BDEF ， S2+S3= S 矩形 BDEF ， 即可得出答案12 12（2 ）根据矩形的性质，结合图形可得： BCDCFBDEC，选择一对进行证明即可26. ( 8 分 )
32、 四边形 ABCD 中, 点 E 是 AB 的中点,F 是 AD 边上的动点连结 DE、CF（1 ）若四边形 ABCD 是矩形 ,AD=12,CD=10,如图（1 ）所示请直接写出 AE 的长度;当 DECF 时,试求出 CF 长度（2 ）如图（2 ）,若四边形 ABCD 是平行四边形,DE 与 CF 相交于点 P探究：当B 与 EPC 满足什么关系时, 成立？并证明你的结论DECF=ADCD【答案】解：(1)四边形 ABCD 是矩形, CD=10,点 E 是 AB 的中点,AE= CD=5;12四边形 ABCD 是矩形,A=FDC=90,CFDE,ADE+CFD=90,ADE+AED=90,
33、CFD=AED,A=CDF,第 19 页 共 23 页AEDDFCCFDE=CDAD在AED 中, A =90,AD=12,AE =5,DE= =13122+52CF13=1012CF= ;656（2 ）当 B+EPC=180时, 成立DECF=ADCD四边形 ABCD 是平行四边形,B=ADC,ADBC,B+A=180,B+EPC=180,A=EPC=FPD,FDP=EDA,DFPDEA, ,DEAD=DFDPB=ADC,B+EPC=180,EPC+DPC=180,CPD=CDF,PCD=DCF,CPDCDF, ,DFDP=CFCD ,DEAD=CFCD ,DECF=ADCD即当B+ EPC
34、=180时, 成立 DECF=ADCD【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【分析】(1) 四边形 ABCD 是矩形, CD=10,点 E 是 AB 的中点,可得：AE= CD=5;12根据已知证得AEDDFC,;利用相似三角形对应边成比例即可;（2 ）当 B+EPC=180时, 成立根据已知证得：DFPDEA,CPDCDF,再根据对应边成比例即DECF=ADCD可27. ( 8 分 ) 把两个直角三角形如图(1) 放置,使ACB 与DCE 重合,AB 与 DE 相交于点 O,其中DCE=90,BAC=45,AB=6 cm,CE=5cm,
35、 CD=10cm2（1 ）图 1 中线段 AO 的长= cm；DO= cm第 20 页 共 23 页图 1（2 ）如图 2,把DCE 绕着点 C 逆时针旋转 度（090）得 D1CE1,D1C 与 AB 相交于点 F,若BCE 1 恰好是以 BC 为底边的等腰三角形,求线段 AF 的长图 2 【答案】解：(1)如图, 过点 A 作 AFDE,ACB 与 DCE 重合, DCE=90,BAC=45,AB= ,62AC=BC=6,DCE=“90,CE=5,“ CD=10ED= , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,55AFDEAFCDEC ,即 AF= ,ACCD=AE
36、DE 35 ,即 EF=2,EFCE=ADCDBF=EF+BE=2+1=3,第 21 页 共 23 页AFDEBOEBAF ,即 AO= AOAB=EFBF 42,即 OE= OEAF=BEBF 5DO=DE-OE= 45(2) 连接 BE1 ,过点 E1 作 E1GBC 于 G, 过点 F 作 FHBC 于 H,DCE 绕着点 C 逆时针旋转 度E1CG=,BCE1 恰好是以 BC 为底边的等腰三角形,E1G 是线段 BC 的中垂线E1C=5,BC=6CG=BH=3,E1G= ,CE12-CG2= 25-9=4FHBC,DCE=90,BAC=45,BH=FH,令 BH=FH=x,则：CH=6
37、-x在FHC 与CG E1 中E1CG +FCH=FCH +CFH=90,E1CG =CFH,FHC=CG E1=90,FHCCG E1, ,即： ,解得 x= ,FHCH=CGGE1 x5-x=34 187FH= ,187FHB=90,BAC=45,BF= 2FH=1872AF=AB-BF= . 62-1872=2472【考点】相似三角形的判定与性质，图形的旋转 第 22 页 共 23 页【解析】【分析】（1 ）作 ,利用三角形相似来求出线段 AO ,DO 的长； （2 ）连接 BE1 ,过点 E1 作 E1GBC 于 G, 过点 F 作 FHBC 于 H,根据三角形相似求出 BF,即可得到
38、答案.28. ( 10 分 ) 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 ADE 摆放在一起，A 为公共顶点，BAC=ADE=90，它们的斜边长为 2，若ABC 固定不动，ADE 绕点 A 旋转，AE、AD 与边 BC 的交点分别为 F、 G （点 F 不与点 C 重合，点 G 不与点 B 重合），设 BF=a，CG=b（1 ）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明（2 ）求 b 与 a 的函数关系式，直接写出自变量 a 的取值范围（3 ）以ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系（如图 2
39、）若 BG=CF，求出点 G 的坐标，猜想线段 BG、FG 和 CF 之间的关系，并通过计算加以验证【答案】解：（1）ACGFAG ，FAG FBAGAF=C=45，AGF=AGC，ACGFAG类似证明FAGFBA；（2 ） CAG=CAF+45， BFA=CAF+45，CAG=BFAB=C=45，ACGFBA， = CGBACAFB由题意可得 CA=BA= 2 = b= b2 2a 2a自变量 a 的取值范围为 1a2 （3 ）由 BG=CF 可得 BF=CG，即 a=b第 23 页 共 23 页b= ，2aa=b= 2OB=OC= BC=1，12OF=OG= 12G（1- ，0 ）2线段
40、BG、FG 和 CF 之间的关系为 BG2+CF2=FG2；BG=OBOG=1-( -1)=2- =CF，2 2FG=BC2BG= 2-2(2- )=2 -22 2BG2+CF2=2(2- )2=12-8 ，FG 2=(2 -2)2=12-8 2 2 2 2BG2+CF2=FG2 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）找到有公共角的和 45角的两个三角形即可；（2 ）易得ACGFBA，利用相似三角形的对应边成比例可得 b 与 a 的函数关系式，根据点 F 与点 C 重合时 a 为 1，点 G 与点 B 重合时，a 为 2 可得 a 的取值；（3 ）结合（3 ）的条件和（2）的结论可得 a，b 的值，进而计算可得 G、F 的坐标，分别表示出 BG、FG和 CF 的长度，看有什么等量关系即可
