1、 第 1 页 共 17 页【易错题解析】青岛版九年级数学上册 第三章 对圆的进一步认识 单元检测试题一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.已知等腰ABC 的三个顶点都在半径为 5 的O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为( ) A. 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3【答案】C 【考点】勾股定理，垂径定理 【解析】【解答】当顶点 A 在优弧上时，根据垂径定理和勾股定理可以求出高为 8.当顶点 A 在劣弧上时可以得出高为 2.【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，注意存在两种情况.2.已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 7，那么点 P 与O
2、的位置关系是（ ） A. 点 P 在O 上 B. 点 P 在O 内 C. 点 P 在O 外 D. 无法确定【答案】C 【考点】点与圆的位置关系 【解析】【分析】根据点在圆上，则 d=r；点在圆外，dr ；点在圆内，dr（d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）即可求解OP=75 ， 点 P 与 O 的位置关系是点在圆外故选 C3.（2017广安）如图，AB 是O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，已知 cosCDB= ，BD=5 ，则 OH 的长45度为（ ） A. B. C. 1 D. 23 56 76【答案】D 【考点】圆周角定理，解直角三角形 【解析】【解答】解：连接 OD，如图所示：
3、AB 是O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，ABCD，OHD=BHD=90，cosCDB= = ，BD=5，DHBD45DH=4，BH= =3，BD2-DH2设 OH=x，则 OD=OB=x+3，在 RtODH 中，由勾股定理得：x 2+42=（x+3） 2 ， 解得：x= ，76第 2 页 共 17 页OH= ；76故选：D【分析】连接 OD，由垂径定理得出 ABCD，由三角函数求出 DH=4，由勾股定理得出 BH= BD2-DH2=3，设 OH=x，则 OD=OB=x+3，在 RtODH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可4.如图，O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为
4、正方形，其中 E 点在ABC 的外部，判断下列叙述何者正确（ ）A. O 是AEB 的外心， O 是AED 的外心 B. O 是 AEB 的外心，O 不是AED 的外心C. O 不是AEB 的外心，O 是 AED 的外心 D. O 不是 AEB 的外心，O 不是AED 的外心【答案】B 【考点】三角形的外接圆与外心 【解析】【解答】如图，连接 OA、OB、ODO 是ABC 的外心，OA=OB=OC，四边形 OCDE 是正方形，OA=OB=OE，O 是ABE 的外心，OA=OEOD，O 不是AED 的外心.综上分析可知：选项 A、C 、 D 中的距离都是错的，只有选项 B 的结论是正确的.故答案
5、为：B【分析】连接 OA、OB、OD 根据三角形的外接圆的圆心的意义可得 OA=OB=OC，由正方形的性质可得OA=OB=OE，所以 O 是ABE 的外心，而 OA=OEOD，所以根据三角形的外接圆的圆心的意义可得 O 不是AED 的外心 .。第 3 页 共 17 页5.如图，在ABC 中， A=90，AB=AC=2，点 O 是边 BC 的中点，半圆 O 与ABC 相切于点 D、E ，则阴影部分的面积等于（ ）A. B. C. D. 1- 4 4 1- 8 8【答案】B 【考点】切线的性质 【解析】【解答】解：连接 OD，OE，半圆 O 与ABC 相切于点 D、E，ODAB，OE AC，在 A
6、BC 中，A=90，AB=AC=2，四边形 ADOE 是正方形，OBD 和 OCE 是等腰直角三角形，OD=OE=AD=BD=AE=EC=1，ABC=EOC=45，ABOE，DBF=OEF，在BDF 和EOF 中， BDFEOF（AAS），S 阴影 =S 扇形 DOE= 12= 90360 4故选 B【分析】首先连接 OD，OE ，易得BDF EOF，继而可得 S 阴影 =S 扇形 DOE ， 即可求得答案6.如图，AB 是O 的直径，CD 为弦，连结 AD、AC、BC ，若 CAB=65则D 的度数为（ ） 第 4 页 共 17 页A. 65 B. 40 C. 25 D. 35【答案】C 【
7、考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理 【解析】【解答】因为直径所对圆周角是直角， CAB=65，所以B=9065=25，根据同弧所对圆周角相等，可得D= B=25，故答案为：C.【分析】由直径所对圆周角是直角可得ACB=90，在ABC 中先求得B，再根据同弧所对圆周角相等求得D 即可。7.如图，ABC 内接于圆 O，A=50，ABC=60，BD 是圆 O 的直径，BD 交 AC 于点 E，连接 DC，则AEB等于( )A. 50 B. 60 C. 70 D. 110【答案】D 【考点】圆周角定理 【解析】【分析】因为A=50，ABC=60，所以利用三角形的内角和可得ACB=70 ，利用同弧所
8、对的圆周角相等可得A= D=50，又因为 BCD 是直径所对的圆周角，所以等于 90，因此可得ECD=20 ，利用内角和与对顶角相等可得AEB 等于 110【解答】A=50，ABC=60ACB=70BD 是圆 O 的直径BCD=90ACD=20ABD=ACD=20AEB=180-（ BAE+ABE)=180-（50+20)=110 故选 D【点评】本题重点考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和等知识点本题是一道难度中等的题目8.圆内接四边形 ABCD ， A ， B ， C 的度数之比为 3：4 ：6，则D 的度数为（ ） 第 5 页 共 17 页A. 60 B.
9、80 C. 100 D. 120【答案】C 【考点】圆内接四边形的性质 【解析】【解答】内接四边形的对角互补，A：B：C： D3：4：6 ：5设A 的度数为 3x ， 则 B ， C ， D 的度数分别为 4x ， 6x ， 5x3x4x6x5x360 x 20 D100故选：C【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为 360 度进行求解9.如图，O 是四边形 ABCD 的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：AF=BG；CG=CH；AB+CD=AD+BC；BGCG A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【考点】切线的性质 【解析】【解答】解：O 是四边形 ABCD 的
10、内切圆，AF=AE，BF=BG，CG=CH ，DH=DE，AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BCAF=BG；BGCG 无法判断正确的有故选 B【分析】根据切线长定理得到 AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE，则AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC10.下列命题中，正确命题的序号是 （ ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组邻边相等的平行四边形是正方形对角线互相垂直且相等的四边形是菱形任何三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆 A. B. C. D. 【答案】D 【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，正方形
11、的判定，三角形的外接圆与外心 第 6 页 共 17 页【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以错误；对角线互相垂直且相等的四边形可以是一般的四边形，所以错误。正确。【点评】本题考查平行四边形的判定定理，熟悉其定理内容是解答本题的关键。二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.如图，已知BPC=50，则BAC=_【答案】50 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】在同圆中，同弧所对的圆周角度数相等，本题中圆周角BPC 和圆周角BAC 所对弧都是弧 BC，则说明两个角的度数相等.【分析】根据圆周角定理在同圆中，同弧所对的圆周角相等可求解。12.如果一个正多边
12、形每一个内角都等于 144，那么这个正多边形的边数是 _ 【答案】10 【考点】正多边形和圆，正多边形的性质 【解析】【解答】设这个多边形的边数为 n，则有180（n-2）=144n ，解得：n=10，故答案为：10.【分析】根据正多边形的性质可直接进行求解。13.圆心角是 60的扇形的半径为 6，则这个扇形的面积是_ 【答案】6 【考点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：该扇形的面积 S= =660 62360故答案为：6【分析】直接利用扇形的面积公式代入计算.扇形的面积= .n r236014.已知在O 中, ,且 ,则 _.【答案】144 【考点】圆心角、弧、弦的关系 第 7 页 共
13、17 页【解析】【解答】因为弧 AB=弧 BC，设弧 AB=弧 BC=3，那么弧 AMC=4，则 3+3+4=10，360 度分成 10 份，每份 36 度，那么 4 份为 144 度.【分析】此题考查了圆心角、弧、弦，要灵活运用所给的比例条件.15.如图，点 A、B、C 都在O 上，OCOB，点 A 在劣弧 上，且 OA=AB，则 ABC=_BC【答案】15 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：OA=OB，OA=AB ，OA=OB=AB，即OAB 是等边三角形，AOB=60，OCOB，COB=90，COA=90-60=30，ABC=15，故答案为：15【分析】首先判断出OAB 是等边三角
14、形，根据等边三角形的性质及垂直的定义，角的和差得出 COA 的度数，根据圆周角定理即可得出ABC 的度数。16.如图，在 RtABC 中， C=90以点 A 为圆心、AC 长为半径作圆弧，交边 AB 于点 D若 B=65，AC=6，则 的长为_ CD【答案】 56【考点】弧长的计算 【解析】【解答】解：在 RtABC 中， C=90， B=65， A=25，AC=6， 的长为 = ，CD25 6180 56故答案为： 56【分析】根据直角三角形两锐角互余求得A 度数，由弧长公式可得答案17.已知，如图，RtABC 中， BAC=90，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，OD 交 AC 的延
15、长线于E，OA=1，AE=3则下列结论正确的有 _ B=CAD；点 C 是 AE 的中点； = ADBDEDAE第 8 页 共 17 页；tan B= 10-13【答案】 【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：AB 为直径， ADB=90，B+DAB=90，CAD+DAB=90，B=CAD，故正确；CAD=B=ODB=CDE， E=E，ECDEDA， = ，CEEDEDAEOA=1，AE=3 ，OE= ，ED= 1，10 10 = ，CE10-1 10-13CE= AE，11-2103 12即点 C 不是 AE 的中点，故不正确；由ECDEDA ，得 =
16、 ，CDADEDAE在 RtABC 中， ADBC，ACDBAD， = ，CDADADBD = ，故正确；ADBDEDAEtanB= = = = ，故 正确ADBDCDADEDAE10-13故答案为：【分析】依据同角的余角相等即可得出结论； 依据ECD EDA，求得 CE= AE，即可得11-2103 12第 9 页 共 17 页出点 C 不是 AE 的中点；由 ECDEDA，得 = ，根据ACDBAD，可得 = ，进而得出 = CDADEDAE CDADADBD ADBD；根据 tanB= = = ，即可得出结论EDAE ADBDCDADEDAE18.如图，PA、PB 切O 于 A、B， ，
17、点 C 是O 上异于 A、B 的任意一点，则 P=50 ACB_ 【答案】65或 115 【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质 【解析】【解答】分两种情况：（1）当 C 在优弧 AB 上；（2）当 C 在劣弧 AB 上；连接 OA、OB，在四边形 PAOB 中， OAP=OBP=90，由内角和求得AOB 的大小，然后根据圆周角定理即可求得答案（ 1）如图（1），连接 OA、OB在四边形 PAOB 中，由于 PA、PB 分别切O 于点 A、B，则OAP=OBP=90；由四边形的内角和定理，知APB+AOB=180；又P=50，AOB=130；又ACB= AOB（同弧所对的圆周角是所
18、对的圆心角的一半），12ACB=65（2）如图（2），连接 OA、OB，作圆周角 ADB在四边形 PAOB 中，由于 PA、PB 分别切O 于点 A、B，则OAP=OBP=90；由四边形的内角和定理，知第 10 页 共 17 页APB+AOB=180；又P=50，AOB=130；ADB= AOB=65，12ACB=180ADB=115ACB=65或 115【分析】图上没有标出 C 的位置，需考虑 C 在优弧 AB 上或 C 在劣弧 AB 上，ACB 的大小不同，利用圆内接四边形性质可分别求出.19.在同圆中，若 =2 ， 则 AB_2CD（填， =）AB CD【答案】【考点】圆心角、弧、弦的关
19、系 【解析】【解答】解：找出 的中点 E，连接 AE、BE ，AB 的中点 E，AB ， AE=EB=CD，AE+EBAB，AB2CD ，故答案为：第 11 页 共 17 页【分析】首先找出 的中点 E，连接 AE、BE ，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦AB中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可得 AE=EB=CD，再根据三角形的三边关系可得 AE+EBAB，进而可得 AB2CD20.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题： “如图，CD
20、为O 的直径，弦 ABCD 于点 E，CE=1，AB=10 ，求 CD 的长”根据题意可得 CD 的长为_ 【答案】26 【考点】垂径定理的应用 【解析】【解答】解：连接 OA，AB CD， 由垂径定理知，点 E 是 AB 的中点，AE= AB=5，OE=OC CE=OACE，12设半径为 r，由勾股定理得，OA 2=AE2+OE2=AE2+（OA CE） 2 ， 即 r2=52+（r1） 2 ， 解得：r=13，所以 CD=2r=26，即圆的直径为 26【分析】根据垂径定理和勾股定理求解三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.如图，在 RtABC 中， C=90，CA=CB=4，分别以
21、A、B、C 为圆心，以 AC 为半径画弧，求三条弧与12边 AB 所围成的阴影部分的面积第 12 页 共 17 页【答案】解：C=90，CA=CB=4， AC=2，S ABC= 44=8，12 12三条弧所对的圆心角的和为 180，三个扇形的面积和= =2，180 22360三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积=S ABC三个扇形的面积和=82 【考点】三角形的面积，扇形面积的计算 【解析】【分析】阴影部分的面积=RtABC 的面积-三个扇形的面积，由题意可知三条弧所对的圆心角的和为 180，半径都为 AC.1222.如图O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 AD 上，AB=
22、10，BC=12 ，求O 的半径【答案】解：如图，连接 OBAD 是ABC 的高BD= BC=612在 RtABD 中，AD= = =8AB2-BD2 100-36设圆的半径是 R则 OD=8R在 RtOBD 中，根据勾股定理可以得到：R 2=36+（8 R） 2解得：R= 254【考点】勾股定理，垂径定理 【解析】【分析】连接 OB，根据垂经定理求出 BD 的长，在 RtABD 中由勾股定理求得 AD=8，设圆的半径是 R，则 OD=8-R，在 RtOBD 中由勾股定理可求得 R 的值.解答此题的关键是作出辅助线 OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.第 13 页 共 17 页23
23、.如图为桥洞的形状，其正视图是由 和矩形 ABCD 构成O 点为 所在O 的圆心，点 O 又恰好CD CD在 AB 为水面处若桥洞跨度 CD 为 8 米，拱高（OE弦 CD 于点 F ）EF 为 2 米求 所在O 的半径CDDO【答案】解：OE弦 CD 于点 F，CD 为 8 米，EF 为 2 米，EO 垂直平分 CD，DF=4m，FO=DO 2，在 RtDFO 中，DO 2=FO2+DF2 ， 则 DO2=（DO2 ） 2+42 ， 解得：DO=5答：弧 CD 所在 O 的半径 DO 为 5m【考点】垂径定理 【解析】【分析】根据垂径定理得出 EO 垂直平分 CD，DF=4m，然后利用勾股定
24、理建立方程，求解即可得出 OD 的长。24.如图，四边形 OABC 是平行四边形，点 A，B，C 在O 上，P 为 上一点，连接 AP，CP ，求P 的APC度数 【答案】解：连接 OB，四边形 OABC 是平行四边形，且 OA=OC， 平行四边形 OABC 是菱形，OA=AB，ABC 是等边三角形，AOB=60，AOC=120，APC= AOC=60【考点】平行四边形的性质，圆周角定理 第 14 页 共 17 页【解析】【分析】连接 OB，证明四边形 OABC 是菱形，进而得到ABC 是等边三角形，于是得到AOC 的度数，即可得到答案25.（ 2013鞍山）如图，点 A、B 在O 上，直线
25、AC 是O 的切线，OCOB，连接 AB 交 OC 于点 D（1 ） AC 与 CD 相等吗？为什么？（2 ）若 AC=2，AO= ， 求 OD 的长度5【答案】解：（1）AC=CD，理由为：OA=OB，OAB=B，直线 AC 为圆 O 的切线，OAC=OAB+DAC=90，OBOC，BOC=90，ODB+B=90，ODB=CDA，CDA+B=90，DAC=CDA，则 AC=CD；（2 ）在 RtOAC 中，AC=CD=2 ，AO= ，OC=OD+DC=OD+2，5根据勾股定理得：OC 2=AC2+AO2 ， 即（OD+2） 2=22+（ ） 2 ， 5解得：OD=1 【考点】勾股定理，切线的
26、性质 【解析】【分析】（1）AC=CD，理由为：由 AC 为圆的切线，利用切线的性质得到 OAC 为直角，再由OC 与 OB 垂直，得到BOC 为直角，由 OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2 ）由 ODC=OD+DC，DC=AC，表示出 OC，在直角三角形 OAC 中，利用勾股定理即可求出 OD 的长26.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD， O 为内切圆，E 为切点若 AO=8cm，DO=6cm，求 OE 的长【答案】解：ABCD，O 为内切圆，OAD+ODA=90，AOD=90，第 15 页 共 17 页
27、AO=8cm，DO=6cm，AD=10cm，OEAD，ADOE=ODOA，OE=4.8cm 【考点】切线的性质 【解析】【分析】由O 为内切圆，则 AO、DO 为角平分线，则AOD=90 ，由勾股定理求得 AD，再由切线的性质得 OEAD，由三角形的面积公式求出 OE 的长27.已知ABC 内接于O ， AC 是O 的直径，D 是弧 AB 的中点过点 D 作 CB 的垂线，分别交 CB、CA延长线于点 F、 E （1 ）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由； （2 ）若 CF6， ACB 60，求阴影部分的面积 【答案】（1）解：直线 EF 与 O 相切，理由为：连接 OD，如图所示：
28、AC 为 O 的直径，CBA=90又F=90CBA=FABEFAMO=EDO又 D 为弧 AB 的中点弧 BD=弧 ADODABAMO=EDO=90EF 为O 的切线（2 ） shan第 16 页 共 17 页解：在 RtAEF 中， ACB=60E=30又 CF=6CE=2CF=12EF= =6CE2-CF2 3在 RtODE 中， E=30OD= OE12又 OA= OE12OA=AE=OC= CE=4,OE=813又ODE= F=90,E=EODECFE ,即ODFC=DEEF46= DE63DE=4 3又 RtODE 中，E=30DOE=60 S 阴影= S 扇形 OAD= 44 -
29、=8 - S ODE-12 360 42360 383【考点】切线的判定，扇形面积的计算 【解析】【分析】：（1）要证 EF 是O 的切线，只要连接 OD，再证 ODAB 即可。（2 ）先根据勾股定理求出 EF 的长，再根据相似三角形的判定和性质求出 DE，阴影部分的面积等于 ODE的面积减去扇形 OAD 的面积即可。28.阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图 1ABC 所示同学们研究发现：P 为圆上任意一点，当弦 AC 经过圆心 O 时，且 AB 切O 于点 A，此时弦切角CAB=P（图 2） 证明：AB 切O 于点 A，CAB=90，又AC 是直
30、径，P=90 CAB=P问题拓展：若 AC 不经过圆心 O（如图 3），该结论：弦切角CAB=P 还成立吗？请说明理由知识运用：如图 4，AD 是ABC 中 BAC 的平分线，经过点 A 的O 与 BC 切于点 D，与 AB、AC 分别相交于 E、F求证： EFBC 【答案】解：问题拓展：成立 如图 3，连接 AO 并延长交O 于点 D，连接 CD，第 17 页 共 17 页则D= P，AD 是直径，D+CAD=90，又 AB 切圆于点 A，CAB+CAD=90，CAB=CAD，而CAD=P，CAB=P；知识运用：如图 4，连接 DF，AD 是ABC 中 BAC 的平分线，EAD=DAC，O 与 BC 切于点 D，FDC=DAC，FDC=EAD，在 O 中 EAD=EFD，FDC=EFD，EFBC【考点】切线的性质 【解析】【分析】问题拓展：首先连接 AO 并延长交O 于点 D，连接 CD，由圆周角定理可得D=P ，又由 AD 是直径，AB 切圆于点 A，易证得CAB=CAD，继而证得结论； 知识运用：连接 DF，AD 是ABC 中BAC 的平分线， O 与 BC 切于点 D，可得 FDC=EAD，又由圆周角定理可得EAD= EFD，继而证得结论
