1、 第 1 页 共 16 页【易错题解析】湘教版九年级数学下册 第一章二次函数 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.二次函数 y=x22 的顶点坐标是（ ） A. （0，0） B. （ 0，2 ） C. （0，2） D. （ ，0）2【答案】B 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解：二次函数 y=x22 的顶点坐标是（0，2） 故选 B【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可2.对于二次函数 ，下列结论中，错误的是（ ）y= -(x+2)2+3A. 对称轴是直线 x=-2； B. 当 x-2 时，y 随 x 的增大而减小；C. 当 x=-2 时，函数的最大值为 3； D
2、. 开口向上；【答案】D 【考点】二次函数的最值，二次函数 y=a（x-h）2+k 的性质 【解析】【解答】y= ，y= -(x+2)2+3抛物线对称轴为 x=2，故 A 不符合题意；a=-12 时，函数 y 随 x 的增大而减小，故 B 不符合题意。故答案为：D.【分析】利用二次函数的最值、对称轴以及开口方向和增减性分别判断得出即可.3.将抛物线 Y=3X2 先向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位所得的解析式为 ( ) A. y=3（x+2） 2+3 B. y=3（x-2） 2+3 C. y=3（x+2 ） 2-3 D. y=3（x-2 ） 2-3【答案】A 【考点】二次函数图象与几
3、何变换 【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【解答】由“上加下减” 的原则可知，将抛物线 y=3x2 向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y=3x 2+3；由“左加右减” 的原则可知，将抛物线 y=3x2+3 向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2) 2+3故选 A4.在平面直角坐标系中，函数 y=x22x（x0）的图象为 C1 ， C1 关于原点对称的图象为 C2 ， 则直线y=a（ a 为常数）与 C1、C 2 的交点共有（ ） A. 1 个 B. 1 个或 2 个 C. 1 个或 2 个或 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个或 4
4、 个【答案】C 第 2 页 共 16 页【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解：函数 y=x22x（x0）的图象为 C1 ， C1 关于原点对称的图象为 C2 ， C2 图象是y=x22x， a 非常小时，直线 y=a（a 为常数）与 C1 没有交点，与 C2 有一个交点，所以直线 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 有一个交点；直线 y=a 经过 C1 的顶点时，与 C2 有一个交点，共有两个交点；直线 y=a（a 为常数）与 C1 有两个交点时，直线 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 的交点共有 3 个交点；故选：C【分析】根据关于原点对称的关系，可得 C2 ， 根据直线
5、 y=a（a 为常数）与 C1、C 2 的交点，可得答案5.二次函数 y=x2+2x7 的函数值是 8，那么对应的 x 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3 和 5 D. 3 和 5【答案】D 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】根据题意，得 x2+2x7=8，即 x2+2x15=0，解得 x=3 或 5，故选 D【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可6.已知二次函数的图象（0x3）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A. 有最小值 0，有最大值 3 B. 有最小值-1，有最大值 0C. 有最小值-1，有最大值 3 D. 有最小值-
6、1，无有最大值【答案】C 【考点】二次函数的最值 【解析】【解答】由图象可知该函数在所给自变量取值范围内有最小值为-1,最大值为 3；故答案为：C【分析】由选项可知要求所给范围内函数的最大值与最小值，结合图像可知：最小值在顶点处取得，最大值在端点 x=3 处取得.第 3 页 共 16 页7.如图，已知二次函数 的部分图象与坐标轴交于 A（3 ，0）和 C（0，2 ）两点，对称y=ax2+bx+c轴为直线 ，当函数值 0 时，自变量 的取值范围是 ( )x=1 y xA. 3 B. 0 3 C. 2 3 D. 1 3x x x x【答案】D 【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题 【解析】【解答
7、】解：二次函数 的对称轴为直线 ，且与 x 轴的交点为y=ax2+bx+c x=1（3,0），它与 x 轴的另一个交点为（-1,0）.当函数值 时，即 在 x 轴的上半部分，y0 y=ax2+bx+c .-1 0 可知，函数图像在 x 轴的上半部分，则自变量 x 的取值范围是两个交点之间的部分。8.如图为抛物线 y=ax2+bx+c 的图像， A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是 （ ）A. ab=1 B. ab=1 C. b”、y=x2+2x-t“又 （-1， y1 ），（3， y2 ）在抛物线上，-2 -2 时，y随 x 的增大而增大，从而求出 y1
8、0， 0，c0，正确；抛物线与 x 轴有两个不同交点，第 9 页 共 16 页 =b2-4ac0，b 24ac，正确；当 x=-2 时，y=4a-2b+c0，正确；00c，正确.故答案为：.【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键.三、解答题（共 7 题；共 60 分）21.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0 ），B（ 3，0）两点求该抛物线的解析式 【答案】解：抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A（1，0），B （3，0）， ，解得 所求抛物线的解析式为：y=x 22x3 【考点】待定系数法求
9、二次函数解析式，抛物线与 x 轴的交点 【解析】【分析】由题意抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1 ，0），B（3，0 ）两点，利用待定系数法求出 b，c 的值，得出函数解析式即可22.某公司生产 A 种产品，它的成本是 6 元/ 件，售价是 8 元/件，年销售量为 5 万件为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是 x 万元，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 与 x 之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：x（万元） 0 0.5 1 1.5 2 y 1 1.275 1.5 1.675 1.
10、8 （1 ）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2 ）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润 W（万元）与广告费用 x（万第 10 页 共 16 页元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？（3 ）如果公司希望年利润 W（万元）不低于 14 万元，请你帮公司确定广告费的范围 【答案】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=ax2+bx+c，由题意，得，1=c1.5=a+b+c1.8=4a+2b+c解得： ，a= -0.1b=0.6c=1 y=0.1x2+0.6x+1；（2 ）由题意，得W=（86 ）5（ 0.1x2
11、+0.6x+1）x ，W=x2+5x+10，W=（x2.5） 2+16.25a=10，当 x=2.5 时，W 最大 =16.25答：年利润 W（万元）与广告费用 x（万元）的函数关系式为 W=x2+5x+10，每年投入的广告费是 2.5 万元时所获得的利润最大为 16.25 万元（3 ）当 W=14 时，x2+5x+10=14，解得：x 1=1，x 2=4，1x4 时，年利润 W（万元）不低于 14 万元 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=ax2+bx+c，由待定系数法求出其解即可；（2 ）由销售问题的数量关系利润= 销售总额成本费用广告费用就可
12、以表示出 W 与 x 之间的关系式；（3 ）当 y=14 时代入（2）的解析式求出 x 的值，由二次函数的图象特征就可以得出结论23.某商场销售一种成本为每件 20 元的商品，销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=10x+500（1 ）设商场销售该种商品每月获得利润为 w（元），写出 w 与 x 之间的函数关系式；（2 ）如果商场想要销售该种商品每月获得 2000 元的利润，那么每月成本至少多少元？（3 ）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品
13、为每件 22 元，同时对商场的销售量每月不小于150 件的商场，政府部门给予每件 3 元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润 第 11 页 共 16 页【答案】解：（1）由题意，得： w=（x 20）y，=（x20）（10x+500 ）= 10x2+700x10000，（2 ）由题意，得： 10x2+700x10000=2000，解这个方程得：x 1=30，x 2=40，答：想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元（3 ）当销售量每月不小于 150 件时，即10x+500150，解得：x35 ，由题意，得：w=（x22+3）y=（x1
14、9）（10x+500 ）=10x2+690x9500=10（x34.5 ） 2+2402.5当定价 34.5 元时，新产品每月可获得销售利润最大值是 2402.5 元 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数 y=10x+500，利润=（定价成本价）销售量，从而列出关系式；（2 ）令 w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3 ）根据销售量每月不小于 150 件的商场，政府部门给予每件 3 元的补贴，则利润=（定价成本价+补贴）销售量，从而列出关系式；运二次函数性质求出结果24.如图，二次函数 y=(x+2)2+m
15、的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上，且与点 C 关于抛物线的对称轴对称已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A(1，0) 及点 B（1 ）求二次函数与一次函数的表达式第 12 页 共 16 页（2 ）根据图象，写出满足(x+2) 2kx+bm 的 x 的取值范围【答案】（1）解：把 A 点代入二次函数，解得 m=1 ，二次函数表达式为 y=(x+2)2 1B 点坐标为(4，3)，从而一次函数为：y=x1（2 ）解：(x+2) 2kx+bm 把 m 移到左边的式子可得：(x+2) 2+mkx+b，即二次函数大于一次函数，由图像可得，x 的取值范围为： x1 或者
16、 x4【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用 【解析】解、（1） 点 A(1 ，0)在抛物线上，把 A 点代入二次函数的解析式得，0= （-1+2） 2+m，解得 m=-1;二次函数表达式为 y=(x+2)2 1;抛物线 y=(x+2)21 与 y 轴交于点 C，点 C（0,3），对称轴为直线 x=-2，点 B 在抛物线上，且与点 C 关于抛物线的对称轴对称,可得 B 点坐标为 (4，3)，设一次函数的解析式为 y=kx+b，把点 A、B 的坐标代入解析式可得 ,-4k+b=3-k+b=0解得 k=-1，b=-1，一次函数的解析式为：y=x
17、 1；（2 ） (x+2)2kx+bm，(x+2)2+mkx+b，即二次函数大于一次函数，由图像可得，x 的取值范围为：x 1 或者 x4。【分析】（1）用待定系数法可求得二次函数的解析式；由轴对称的性质可求得点 B 的坐标，用待定系数法可求得一次函数的解析式；（2 ）将不等式移项可知，满足(x+2) 2kx+bm 的 x 的取值范围即是二次函数大于一次函数的 x 的取值范围，根据图像和（1）中的结论即可求解。25.二次函数 y=ax2+bx+c 的变量 x 与变量 y 的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 5 y 7 0 5 8 9 7 （1 ）求此二次函数的解析式；（2 ）写出抛物线
18、顶点坐标和对称轴 第 13 页 共 16 页【答案】解：（1）把（ 2，0 ），（1， 5），（0， 8）代入 y=ax2+bx+c 得，解得 ，4a-2b+c=0a-b+c= -5c= -8 a=1b= -2c= -8二次函数的解析式为 y=x22x8；（2 ） y=x22x8=（x 1） 29，抛物线顶点坐标为（1 ，9），对称轴为直线 x=1 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）把（ 2，0 ），（1， 5），（0，8）代入 y=ax2+bx+c 中，根据待定系数法即可求得；（2 ）把解析式化成顶点式即可求得26.（ 2017株洲）已知二次函数 y=x2+bx+c+
19、1，当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若 c=- b22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切？14若二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1 ， 0），B （ x2 ， 0），且 x1x 2 ， 与 y 轴的正半轴交于点 M，以 AB 为直径的半圆恰好过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点D、E 、 F，且满足 = ，求二次函数的表达式DEEF13【答案】解：二次函数 y=x2+bx+c+1 的对称轴为 x= ，b2当 b=1 时， = ，b2 12当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程为 x= 12二次函数 y=x2
20、+bx+c+1 的顶点坐标为（ ， ），b2 4(c+1)+b24二次函数的图象与 x 轴相切且 c=- b22b，14第 14 页 共 16 页 ，解得：b= ，4(c+1)+b24 =0c= -14b2-2b 12b 为 时，二次函数的图象与 x 轴相切12AB 是半圆的直径，AMB=90，OAM+OBM=90，AOM=MOB=90，OAM+OMA=90，OMA=OBM，OAMOMB， ，OMOB=OAOMOM2=OAOB，二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1 ， 0），B（x 2 ， 0），OA=x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x 1x2=（c+1），OM=c+1，
21、（ c+1） 2=c+1，解得：c=0 或 c=1（舍去），c=0，OM=1，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F，且满足 = ，DEEF13AD=BD，DF=4DE ，DFOM，BDEBOM，AOM ADF， ， ，DEOM=BDOB OMDF=OAADDE= ，DF= ，BDOB ADOA 4，ADOA=BDOBOB=4OA，即 x2=4x1 ， x1x2=（c+1）= 1， ，解得： ，x1 x2= -1x2= -4x1 x1= -12x2=2第 15 页 共 16 页b= +2= ，12 32二次函数的表达式为 y=x2+ x+1 32【考点
22、】二次函数的应用，相似三角形的应用 【解析】【分析】二次函数 y=x2+bx+c+1 的对称轴为 x= ，即可得出答案；二次函数 y=x2+bx+c+1b2的顶点坐标为（ ， ），y 由二次函数的图象与 x 轴相切且 c= b22b，得出方程组 b2 4(c+1)+b24 14，求出 b 即可； 由圆周角定理得出 AMB=90，证出OMA= OBM，得出 OAM4(c+1)+b24 =0c= -14b2-2bOMB，得出 OM2=OAOB，由二次函数的图象与 x 轴的交点和根与系数关系得出 OA=x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x 1x2=（c+1 ），得出方程（c+1） 2=
23、c+1，得出 c=0，OM=1，证明BDEBOM， AOMADF，得出 ， ，得出 OB=4OA，即 x2=4x1 ， 由 x1x2=（c+1）= 1，得出方程组 DEOM=BDOB OMDF=OAAD，解方程组求出 b 的值即可x1 x2= -1x2= -4x127.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0 ）与 x 轴、y 轴分别相交于 A（-1 ，0）、B （3，0）、C（0，3 ）三点，其顶点为 D（1 ）求：经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2 ）求四边形 ABDC 的面积；（3 ）试判断BCD 与COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由 【答案】解：（1）
24、由题意，得： ，a-b+c=09a+3b+c=0c=3 解之，得： ，a= -1b=2c=3 y=-x2+2x+3；（2 ）由（1 ）可知 y=-（x-1） 2+4，顶点坐标为 D（1 ，4），第 16 页 共 16 页设其对称轴与 x 轴的交点为 E，SAOC= |AO|OC|= 13= ，12 12 32S 梯形 OEDC= （|DC|+|DE|）|OE|= （3+4 ）1= ，12 12 72SDEB= |EB|DE|= 24=4，12 12S 四边形 ABDC=SAOC+S 梯形 OEDC+SDEB= + +4=9；3272（3 ） DCB 与AOC 相似，证明：过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 F，D（1， 4），F（0，4 ），RtDFC 中，DC= ，且DCF=45，2在 RtBOC 中， OCB=45，BC=3 ，2AOC=DCB=90，= = ，DCAOBCCO21DCBAOC 【考点】待定系数法求二次函数解析式，图形的剪拼，相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）已知 A、B、C 三点坐标，由待定系数可求出抛物线解析式；（2 ）求出顶点坐标，作辅助线把四边形 ABDC 的面积拆为二个三角形面积加上一梯形的面积，从而求出四边形 ABDC 的面积；（3 ）判断BCD 与COA 是否相似，验证是否满足相似比例关系
