1、 第 1 页 共 17 页【易错题解析】苏科版九年级数学下册 第五章 二次函数 单元测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.将抛物线 y=2x2+1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线为（ ）
2、 A. y=2（x+1） 21 B. y=2（x+1） 2+3 C. y=2（x 1） 21 D. y=2（x 1） 2+3【答案】D 【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解；将抛物线 y=2x2+1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线为y=2（x1） 2+3，故答案为：D【分析】根据抛物线的平移规律直接得出新抛物线的解析式。2.若 为二次函数，则 的值为（
3、 ） y=(m2+3m+2)xm2+m mA.-2 或 1B.-2C.-1D.1【答案】D 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由二次函数的定义可得 ，m2+m=2m2+3m+2 0解得 m1=1,m2= -2m- 1或 -2m=1.故答案为：D.【分析】由二次函数 (a0)的定义可知 ，解出符合题意的即可.y=ax2+bx+c m2+m=2m2+3m+2 03.已知抛物线 y=x22x+c 的顶点在 x 轴上，你认
4、为 c 的值应为（ ） A. -1 B. 0
5、; C. 1 D. 2【答案】C 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【解答】解：根据题意 ，所以 c=1(-2)2-4c41 =0故选 C【分析
6、】顶点在 x 轴上，所以顶点的纵坐标是 04.已知二次函数的图象（0x3）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）第 2 页 共 17 页A. 有最小值 0，有最大值 3 B. 有最小值-1，有最大值 0C. 有最小值-1
7、，有最大值 3 D. 有最小值-1，无有最大值【答案】C 【考点】二次函数的最值 【解析】【解答】由图象可知该函数在所给自变量取值范围内有最小值为-1,最大值为 3；故答案为：C【分析】由选项可知要求所给范围内函数的最大值与最小值，结合图像可知：最小值在顶点处取得，最大值在端点 x=3 处取得.5.将抛物线 y=2x2
8、向上平移 2 个单位后所得抛物线的解析式是（ ） A. y=2x2+2 B. y=2（ x+2） 2 C. y=2（x 2） 2
9、 D. y=2x22【答案】A 【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0 ），向上平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为（0 ， 2），可设新抛物线的解析式为：y=2（xh） 2+k，代入得： y=2x2+2故选 A【分析】只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了6.如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（ ） A. a0，b0，c0
10、 B. 当1 x 2 时，y0C. b24ac0 &nb
11、sp; D. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小12【答案】D 【考点】二次函数图象与系数的关系 第 3 页 共 17 页【解析】【解答】解：A抛物线开口向上可得 a0，对称轴在 y 轴右侧可判断 b0 ，图象与 y 轴交点在 x 轴下方可判断 c0； B由图象可知：当1x 2 时，图象在 x 轴下方，故 y0；C图象与 x 轴由 2 个交点，所以 b24ac0 ；D当 x 时，图象从左到右下降，所以 y 随 x 的增大而减小；12故选 D【分析】根
12、据二次函数的图象和系数的关系进行分析即可7.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在 AB 位置时，水面宽度为 10m，此时水面到桥拱的距离是 4m，则抛物线的函数关系式为（ ）A. y= B. y=- &
13、nbsp; C. y=- D. y=254x2 254x2 425x2 425x2【答案】C 【考点】二次函数的应用 【解析】【解答】解：依题意设抛物线解析式 y=ax2 ， 把 B（5， 4）代入解析式，得4=a5 2 ， 解得 a= ， 425所以 y= x2 425故选 C【分析】抛物线的顶点在原点，对称
14、轴为 y 轴，解析式符合最简形式 y=ax2 ， 把点 A 或点 B 的坐标代入即可确定抛物线解析式8.下列函数：y=-x；y=2x；y=- ；y=x 2（x0），y 随 x 的增大而减小的函数有（ ） 1xA. 1 个 B. 2 个 &nb
15、sp; C. 3 个 D. 4 个【答案】B 【考点】反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的
16、性质 【解析】 【 分析 】 本题综合运用了一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，需要根据这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断第 4 页 共 17 页【解答】根据函数的性质可知当 x0 时，y 随 x 的增大而减小的函数有： y=-x；y=x 2（x0) 故选 B【 点评 】 主要考查了函数的在一定取值范围内的增减性9.在二次函数 y=ax2+bx+c，x 与 y 的部分对应值如下表：x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 则下列说法：图象经过原点； 图象开口向下； 图象经过点（ 1，3）；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的
17、实数根其中正确的是（ ） A. B. C. &
18、nbsp; D. 【答案】B 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解：由图表可以得出当 x=0 或 2 时，y=0，x=3 时，y=3 ，c=04a+2b+c=09a+3b+c=3解得： a=1b= -2c=0 y=x22x，c=0，图象经过原点，故正确；a=10 ，抛物线开口向上，故错误；把 x=1 代入得， y=3，图象经过点（ 1，3），故 正确；抛物线的对称轴是 x
19、=1，x 1 时，y 随 x 的增大而增大，x1 时，y 随 x 的增大而减小，故错误；抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点（0，0）、（2 ，0）ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，故正确；故选：B【分析】结合图表可以得出当 x=0 或 2 时，y=0，x=3 时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质10.抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（ 1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3，0）和（2 ，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：b 24ac0； 当 x1 时，y 随 x 增大而减小；a+b+c0；若方程第 5 页 共 17
20、页ax2+bx+cm=0 没有实数根，则 m2； 3a+c 0其中正确结论的个数是（ ）A. 2 个 B. 3 个 &nbs
21、p; C. 4 个 D. 5 个【答案】C 【考点】二次函数的图象 【解析】【解答】（1） 抛物线顶点（-1，2）在 x 轴上方，开口向下，抛物线与 x 轴有两个交点， ，故错误；（2）抛物线开口向下，对称轴为直线 x=-1，b2-4ac&
22、gt;0当 x>-1 时，y 随 x 的增大而减小，故正确；（3 ） 抛物线的对称轴为 x=-1，x=1 时的函数值和 x=-3 时的函数值相等，由图可知，a+b+c2，故正确；（5） 抛物线的对称轴为直线 ，x= -b2a= -1 ，b=2a又 ，a+b+c0,二次函数的单调性以对称轴为分界线，在右侧递减； a+b+c 就是 x=1 时的函数值，结合图像可求出，数形结合，ax2+bx+cm=0 的根的情况就是 ax2+bx+c=m 的根情况，可转化为抛物线 y=ax2+bx+c 与 y=m 的公共点个数，y=2 时与抛物线只有一个交点，m>2
23、 时，没有交点 通过对称轴 x= ,得出 b = 2 a ，代入到 a + b + c -b2a< 0 中，可得 3 a + c < 0 .二、填空题（共 10 题；共 28 分）11.将二次函数 y=3（x+2） 2-4 的图象向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，所得的图象的函数关系式为_ 【答案】y=3（x-1） 2-3 第 6 页 共 17 页【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】原抛物线的顶点为（-2，-4 ），向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位那么新抛物线
24、的顶点为（1，-3），可设新抛物线的解析式为：y=3（x-h） 2+k，代入得：y=3（x-1） 2-3故所得的图象的函数关系式为：y=3（x-1） 2-3故答案为：y=3（x-1） 2-3【分析】先确定原来抛物线的顶点坐标，然后根据右平移 3 个单位长度，则顶点的横坐标加 3，上平移 1个单位则顶点坐标中的纵坐标加 1，可得新的抛物线的顶点坐标，根据平移的性质平移不改变抛物线的开口大小确定 a 不变，利用顶点式形式可得新抛物线的函数关系式.12.将抛物线 先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为_ y= -x2【答案】 &nb
25、sp; y= -x2+6x-11【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】抛物线 先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后所得抛物线的解析式y= -x2为 即 ，故答案为： y= -(x-3)2-2 y= -x2+6x-11 y= -x2+6x-11【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减、上加下减 ”即可求解。13.一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，则圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式为_ 【答案】27x 2 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【解
26、答】解：由题意得：V=hx 2=27x2 故答案为：27 x2 【分析】先根据圆柱的体积与高和半径的关系列出函数关系式，即可得出答案14.如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点 A、B、C、D 分别是“芒果” 与坐标轴的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为 y= x2 ，则图中 CD 的长为_ 32 32【答案】 52【考点】抛物线与 x 轴的交点 【解析】【解答】解：令 y= x2 =0， 解得 x=1 或1，32 32即 AB=2，故 CO=1，令 x=0
27、，解得 y= ，32即 OD= ，32所以 CD=CO+OD=1+ = ，32 52第 7 页 共 17 页故答案为 52【分析】首先令 y= x2 =0，即可求出 AB 的长，进而得到 OC 的长，令 x=0，求出 y 的值，进而得到 OD32 32的长，由 CD=OC+DO 即可求出答案15.如图 4 所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为 y=x24x+5 表示，而且左右两条抛物线关于 y 轴对称，则左面钢缆的表达式为_【答案】x 2+4x+5 &n
28、bsp;【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解：把 y=x2-4x+5 中的一次项系数-4 变成相反数得到：y=x 2+4x+5故答案为 y=x2+4x+5【分析】由图和题意知，两条抛物线的解析式只有 b 值互为相反数，其余的量均不变。16.抛物线 y=2x2bx+3 的对称轴是直线 x=1，则该函数的最小值是_ 【答案】1 【考点】二次函数的最值 【解析】【解答】解：抛物线 y=2x2bx+3 的对称轴是直线 x=1， =1，b=4，把 x=1 代入 y=2x24x+3 得 y=1，故答案为 1【分析】相交对称轴公
29、式得出 b 的值，再把 x=1 代入即可得出该函数的最小值17. 的顶点坐标（-1 ，-3.2 ）及部分图象（如图所示），由图象可知关于 x 的y=ax2+bx+c(a 0)一元二次方程 的两个根分别是 x1=1.3 和 x2=_ax2+bx+c=0【答案】-3.3 【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根 第 8 页 共 17 页【解析】【解答】二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点坐标（-1，-3.2）- =-1 则- =-2b2a bax1x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根x1+x2=- b
30、a又 x1=1.3x1+x2=1.3+x2=-2解得 x2=-3.3【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。或利用抛物线的对称性解答。18.如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园 ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为 24m，设 BC 的长为x m，矩形的面积为 y m2 ， 则 y 与 x 之间的函数表达式为 _ 【答案】 y= -12x2+12（ 0 x 24）【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【解答】解：由题意得：y= （24x）x= x2+12x，12 12故答案为：y= x2+12x（0x 24）12【分析】
31、根据题意可得 y= （24x）x （0x24），继而可得出 y 与 x 之间的函数关系式1219.如图，已知抛物线 yx 2bxc 经过点（0 ，3），请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在（1，0 ）和（3 ，0）之间，你所确定的 b 的值是_【答案】1 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【解析】【解答】先把（0， -3）代入原函数 yx 2bxc 可得 c=-3，所以函数变为 yx 2bx-3，然后根据抛物线与 x 轴的一个交点在（1 ，0）和（3，0 ）之间，可知把（1，0 ）代入可得 y=1+b-30，解得 b2 ；把（ 3，0）代入可得 y=
32、9+3b-30 ，解得 b-2 ；由此可知 b 的范围为：-2b2 ，因此只要是在这个范围的数都可以.第 9 页 共 17 页故答案为：1.【分析】先利用待定系数法求出 yx 2bx-3，再根据抛物线与 x 轴的一个交点在（1 ，0）和（3，0 ）之间，即把（1，0）、（3 ，0）坐标代入得到 b 的取值范围，即可确定 b 的一个值.20.如图 1，菱形纸片 ABCD 的边长为 2，ABC=60，翻折B，D，使点 B，D 两点重合于对角线 BD 上一点 P，EF，GH 分别是折痕（如图 2）设 AE=x（0x2），给出下列判断：当 x=1 时，点 P 是菱形 ABCD 的中心；当 x= &nb
33、sp;时， EF+GHAC ；12当 0x2 时，六边形 AEFCHG 面积的最大值是 ；1134当 0x2 时，六边形 AEFCHG 周长的值不变其中正确结论是_（填序号）【答案】 【考点】二次函数的最值，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形 【解析】【解答】解：菱形 ABCD 的边长为 2，AB=BC=2，ABC=60，AC=AB=2，BD=2 ，3由折叠知，BEF 是等边三角形，当 x=1 时，则 AE=1，BE=ABAE=1，由折叠知，BP=2 = = BD，32 3
34、 12点 P 是菱形 ABCD 的对角线的交点，即：点 P 是菱形 ABCD 的中心，所以 正确，如图，AE=x，第 10 页 共 17 页BE=ABAE=2x，BEF 是等边三角形，EF=BE=2x，BM= EM= EF= （2 x），3 312 32BP=2BM= （2x ），3DP=BDBP=2 （2 x）= x，3 3 3DN= DP= x，12 32GH=2GN=2 x=x，12当 x= 时，AE= ，12 12BE=AB
35、AE= ，32BEF 是等边三角形，EF=BE= ，BP= ，32 332DP= ，32GH=DG= ，12EF+GH=2=AC，所以错误；当 0x2 时，AE=x，BE=2x，EF=2x，BP= （2x），3DP= x，3GH=2 =x=DG=DH，x2六边形 AEFCHG 面积=S 菱形 ABCDSBEEFSDGH= 22 （2x ） 2 x212 3 34 34=2 （x1） 2 332 32第 11 页 共 17 页
36、= （ x1） 2+ ，32 332当 x=1 时，六边形 AEFCHG 面积最大为 ，所以错误，332六边形 AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=x+2x+x+2x+x+2x=6 是定值，所以正确，即：正确的有 ，故答案为【分析】由此题意可知，ABC 是等边三角形， BEF 是等边三角形，易征得 正确；根据折叠的性质，及等边三角形，利用解直角三角形，分别用含 x 的代数式表示出 EF、BP 、DP、DN 、GH 的长，将 x 的值代入即可得出 EF+GH=AC，排除；利用菱形的面积减去量三角形的面积，列出六边形 AEFCHG 面积与 x
37、的函数关系式，求出顶点坐标，即可判断错误；用含 x 的代数式求出六边形的每边长，再求出六边形的周长，即可得出正确。三、解答题（共 7 题；共 62 分）21.已知如图，抛物线的顶点 D 的坐标为（1，-4），且与 y 轴交于点 C（0 ，3）.（1）求该函数的关系式；（2 ）求该抛物线与 x 轴的交点 A，B 的坐标.【答案】解：（1） 抛物线的顶点 D 的坐标为(1 ，4)，设抛物线的函数关系式为 y=a(x1)24，又 抛物线过点 C(0，3)，3=a(01)24，解得 a=1，抛物线的函数关系式为 y=(x1)24，即 y=x22x3；（ 2 ）令 y=0，得：x 2 ，-2
38、x-3=0解得 ， .x1=3 x2= -1所以坐标为 A（3 ，0），B（-1 ，0 ）. 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点 C 的坐标代入即可求得抛物线方程；（2 ）对该抛物线令 y=0，解二元一次方程即可求得点 A，B 的坐标.22.（ 1）把二次函数 y=2x2 8x+6 代成 y=a +k 的形式.(x+h)2（2 ）写出抛物线的顶点坐标、对称轴和最值，并说明该抛物线是由哪一条形如 y=a 的抛物线经过怎样x2第 12 页 共 17 页的变换得到的？
39、（3 ）求该抛物线与坐标轴的交点坐标。 【答案】（1）解：y=2 -8x+6x2=2（ -4x）+6x2=2（ -4x+4）+6-8x2=2 -2(x-2)2（2 ）解：由解析式可知：当 x=2 时，y=-2顶点坐标是（2 ，-2 ）对称轴是直线：x=2该抛物线是由形如 y=2 先向右移动两个单位，再向下平移两个单位得到的x2（3 ）解：当 x=0 时，y=6当 y=0 时，2 -2=0， x-2=1，x=3 或者 x=1(x-2)2该抛物线和坐标轴的交点坐标是：（0，6 ）、（3，0）、（1，0） 【考点】二次函数的性质，二次函数的三种形式，抛物线与 x
40、 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】考查抛物线与二次函数以及图像23.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为 2500 元.市场调研表明：当销售价为 2900 元时,平均每天能售出 8 部；而当销售价每降低 50 元时,平均每天就能多售出 4 部.（1 ）当售价为 2800 元时, 这种手机平均每天的销售利润达到多少元?（2 ）若设每部手机降低 x 元, 每天的销售利润为 y 元, 试写出 y 与 x 之间的函数关系式（3 ）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？ 【答案】解：（1）当售价为 2
41、800 元时, 销售价降低 100 元,平均每天就能售出 16 部.所以：这种手机平均每天的销售利润为：16（2800-2500）=4800（元）；（2 ）根据题意,得 y=(2900-2500-x)(8+4 ),x50即 y= x2+24x+3200；-225（3 ）对于 y= x2+24x+3200,-225当 x= =150 时,- 242(-225)y 最大值 =（2900-2500-150 ）（ 8+4 ）=5000（元）150502900-150=2750（元）所以, 每台手机降价 2750 元时,商场每天销售这种手机的利润最大 ,最大利润是 5000 元 【考点】二次
42、函数的最值，二次函数的应用 【解析】【分析】（1）当售价为 2800 元时, 销售价降低 100 元,平均每天就能售出 16 部.即可求出每天利润；（2 ）根据：利润= （每台实际售价每台进价）销售量,每台实际售价=2900x,销售量=8+4 ,列函数关系式；x50第 13 页 共 17 页（3 ）利用二次函数的顶点坐标公式,求函数的最大值24.如图，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C.（1 ）点 A 的坐标为 点 B 的坐标为
43、 ， 点 C 的坐标为 ；（2 ）设抛物线 y=x2-2x-3 的顶点坐标为 M，求四边形 ABMC 的面积. 【答案】解：(1)由 y=0 得 x2-2x-3=0解得 x1=-1，x 2=3点 A 的坐标（-1 ，0 ），点 B 的坐标（3，0）由 x=0，得 y=-3点 C 的坐标（0 ，-3 ）（2 ）如图：作出抛物线的对称轴，交 x 轴于点 D，由 y=x2-2x-3=（x-1） 2-4 得点 M 的坐标（1 ，-4 ）四边形 ABMC 的面积= AOC 的面积+梯
44、形 OCMD 的面积+BDM 的面积.=1213+12(3+4)1+1224=9. 【考点】坐标与图形性质，二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【分析】（1）分别令 x=0、y=0 即可求出 A、B、C 的坐标；（2 ）运用配方法求出顶点 M 的坐标，作出抛物线的对称轴，交 x 轴于点 D，则四边形 ABMC 的面积= AOC 的面积+梯形 OCMD 的面积+ BDM 的面积.25.如图是一座古拱桥的截面图在水平面上取点为原点,以水平面为 x 轴建立直角坐标系,桥洞上沿形状恰好是抛物线 的图像桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 米高的景观灯请求出这两y= -425(
45、x-5)2+5第 14 页 共 17 页盏景观灯间的水平距离【答案】解：由已知得两景观灯的纵坐标都是 4,4= -425(x-5)2 （x5） 2=1425x1=7.5,x2=2.5,两景观灯间的距离为 7.52.5=5 米 【考点】抛物线与 x 轴的交点，二次函数的应用，两点间的距离 【解析】【分析】要求灯的距离,只需要把纵坐标为 4 代入 ,求出 x,然后两者相减,就是他们的距离26.如图，抛物线过 x 轴上两点 A(9,0),C(-3,0),且与 y 轴交于点 B(0,-12).（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位沿射
46、线 AC 方向运动；同时，点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位沿射线 BA 方向运动，当点 P 到达点 C 处时，两点同时停止运动.问当 t 为何值时，APQAOB？（3 ）若 M 为线段 AB 上一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交抛物线于点 N是否存在这样的点 M，使得四边形 OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由当点 M 运动到何处时，四边形 CBNA 的面积最大？求出此时点 M 的坐标及四边形 CBNA 面积的最大值 【答案】解：（1）因抛物线过 x 轴上两点 A(9,0),C(-3,0)，故设抛物线解析式为
47、：y=a （x+3）（x-9）.又 B(0,-12) -12=a（0+3）（0-9） ，解得 a= .49抛物线的解析式为 y= （x+3 ）（x-9）= x2- x-12.49 49 83第 15 页 共 17 页（2 ） OA=9，OB=12，AB=15.点 P 的速度是每秒 2 个单位，点 Q 的速度是每秒 1 个单位， AP2t ，AQ 15t.又 AC=12， 0t6.APQAOB， ，即 ，解得 .APAO=AQAB 2t9=15-t15 t=4513当 时，APQ AOB.t=4513（3 ）易求直线 AB 的函数关系式为 y=43x-12设点 M 的横坐标为 x，则 M（x，
48、），N（x ， x2- x-12）43x-12 49 83若四边形 OMNB 为平行四边形，则 MNOB12（ ）-（ x2- x-12）=12，即 x29x 270.43x-12 49 830 ，此方程无实数根.不存在这样的点 M，使得四边形 OMNB 恰为平行四边形S 四边形 CBNA=SACB+SABN=72+ SABNSAOB54 ，S OBN6x，S OAN 9 2x 212x 5412 |yN|SABNS OBNS OANS AOB6x(2x 212x 54)542x 218x .-2(x-92)2+812当 x 时，S ABN 最大值 ，此时 M（ ，6 ）92 812 92S
49、四边形 CBNA 最大= 2252【考点】待定系数法求二次函数解析式，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1 ）应用待定系数法，设交点式求解；（2 ）根据相似三角形的性质求解即可；（3 ） 由 MNOB 12 列式，根据一元二次方程根的判别式小于 0 得出不存在这样的点 M，使得四边形 OMNB 恰为平行四边形结论； 求出面积关于 x 的二次函数关系式，应用二次函数最值原理求解即可.27.如图 1，在 RtABC 中，C=90，AC=4cm ，BC=3cm ，点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由点 A 出发
50、沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连结 PQ。若设运动时间为t（s）（0<t<2)，解答下列问题：第 16 页 共 17 页（1 ）当 t 为何值时？ PQ/BC？（2 ）设APQ 的面积为 y（cm 2），求 y 与 t 之间的函数关系？（3 ）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 ABC 的周长和面积同时平分？若存在求出此时 t 的值；若不存在，说明理由（4 ）如图 2，连结 PC，并把 PQC 沿 AC 翻折，得到四边形 PQP'C，那么是否存在某一时刻 t，使四边形PQP'C 为菱形？若存在求出此时 t 的值；若不存在，说明理由 &
51、nbsp; 【答案】解：(1) 连接 PQ，若 = 时，PQ/BC ，即 = ，APABAQAC 5-t5 2t4 t=107(2) 过 P 作 PDAC 于点 D，则有 = ，APABPDBC即 = ，5-t5 PD3 PD= （5-t）35 y= 2t （5-t）=- +4t（0<t<2)12 35 35t2(3) 若平分周长则有：AP+AQ= (AB+AC+BC),12即：5t+2t=6， t=1当 t=1 时，y=3.4；而三角形 ABC 的面积为 6，显然不存在过 P 作 PDAC 于点 D，若 QD=CD，则 PQ=PC，四边形 PQP'
52、C 就为菱形第 17 页 共 17 页同(2)方法可求 AD= （5-t），所以：45（5-t）-2t=4- （5-t）；45 45解之得：t= 109即 t= 时，四边形 PQP'C 为菱形 109【考点】二次函数的最值，菱形的判定，平行线分线段成比例 【解析】【分析】（1）当 PQBC 时，我们可得出三角形 APQ 和三角形 ABC 相似，那么可得出关于AP，AB，AQ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有 AC，根据 P，Q 的速度，可以用时间 t 表示出 AQ，BP 的长，而 AB 可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出 AP，那么将这些数值
53、代入比例关系式中，即可得出 t 的值（2 ）求三角形 APQ 的面积就要先确定底边和高的值，底边 AQ 可以根据 Q 的速度和时间 t 表示出来关键是高，可以用 AP 和A 的正弦值来求AP 的长可以用 AB-BP 求得，而 sinA 就是 BC：AB 的值，因此表示出 AQ 和 AQ 边上的高后，就可以得出 y 与 t 的函数关系式（3 ）如果将三角形 ABC 的周长和面积平分，那么 AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用 t 表示出CQ，AQ，AP，BP 的长，那么可以求出此时 t 的值，我们可将 t 的值代入（2）的面积与 t 的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形 ABC 面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻（4 ）过点 P 作 PMAC 于 M，PNBC 于 N，那么 PNCM 就是个矩形，解题思路：通过三角形 BPN 和三角形 ABC 相似，得出关于 BP，PN ，AB ，AC 的比例关系，即可用 t 表示出 PN 的长，也就表示出了 MC 的长，要想使四边形 PQP'C 是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点， QM=MC，这样有用 t 表示出的AQ，QM，MC 三条线段和 AC 的长，就可以根据 AC=AQ+QM+MC 来求出 t 的值求出了 t 就可以得出QM，CM 和 PM 的长，也就能求出菱形的边长了
