北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试卷(含答案解析)

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1、第二章二次函数单元测试卷一选择题(共 10 小题)1对于任意实数 h,抛物线 y=(xh) 2与抛物线 y=x2( )A开口方向相同 B对称轴相同C顶点相同 D都有最高点2下列函数中是二次函数的是( )Ay=2(x1) By=(x1) 2x 2Cy=a(x1) 2 Dy=2x 213二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为=b 24ac,则下列四个选项正确的是( )Ab0,c0,0 Bb0,c0,0Cb0,c0,0 Db0,c0,04如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴一个交点为(2,0) ,对称轴为直线 x=

2、1,则 y0 时 x 的范围是( )Ax4 或 x2 B2x4 C2x3 D0x35抛物线 y=3(x1) 2+1 的顶点坐标是( )A (1,1) B (1,1) C (1,1) D (1,1)6如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,且过点 A(3,0) ,二次函数图象的对称轴是直线 x=1,下列结论正确的是( )Ab 24ac Bac0 C2ab=0 Dab+c=07如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点 A、B 两点,与 y轴交于点 C,对称轴为直线 x=1,点 B 的坐标为(1,0) ,则下列结论:AB=4;b 24ac0;ab0;a 2ab+

3、ac0,其中正确的结论有( )个A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8下列各点中,抛物线 y=x24x4 经过的点是( )A (0,4) B (1,7) C (1,1) D (2,8)9已知二次函数 y=x25x+m 的图象与 x 轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(1,0) ,则另一个交点的坐标为( )A (1,0) B (4,0) C (5,0) D (6,0)10如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图 象的一部分,图象过点 A(3,0) ,对称轴为直线 x=1,给出四个结论:b 24ac;2a+b= 0;a+b+c0;若点 B( ,y 1) 、C( ,y 2)为函数图象上的两点,则

4、 y1y 2,其中正确结论是( )A B C D二填空题(共 8 小题)11二次函数 y=(x2m) 2+1,当 mxm+1 时,y 随 x 的增大而减小,则 m的取值范围是 12小明准备在院子里修一个矩形花圃,花圃的一边利用墙另三边用总长为 16米的篱笆恰好围成,已知墙的最大可利用长度为 5 米,则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米13已知直线 y=x+1 与抛物线 y=x2+k 一个交点的横坐标为2,则 k= 14抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(2,4) ,B(6,4)两点,且顶点在 x 轴上,则该抛物线解析式为 15已知:二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x

5、与纵坐标 y 的对应值如表格所示,那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 x 1 0 1 2 y 0来源:学科网 3 4 3 16抛物线 y=x 2+2x+c 与 x 轴交于两点,其中一个交点的坐标为(3,0) ,则另一个交点的坐标为 17已知二次函数的图象开口向上,且经过原点,试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式: (只需写出一个)18二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图示,下列结论:(1)b0;(2)c0;(3)b 24ac0; (4)ab+c0,(5)2a+b0; (6)abc0;其中正确的是 ;(填写序号)三解答题(共 7 小题)19已知,抛物线 y=x 2+bx+c 经过

6、点 A(1,0)和 C(0,3) (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使 PA+PC 的值最小?如果存在,请求出点 P 的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点 M 在抛物线的对称轴上,当MAC 是直角三角形时,求点 M 的坐标20如图,抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D,已知 A(1,0) ,C(0,2) (1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出 P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点 E 是

7、线段 BC 上的一个动点,过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F,当点 E 运动到什么位置时,四边形 CDBF 的面积最大?求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E 点的坐标21某商店以 15 元/件的价格购进一批纪念品销售,经过市场调查发现:若每件卖 20 元,则每天可以售出 50 件,且售价每提高 1 元,每天的销量会减少2 件,于是该商店决定提价销售,设售价 x 元件,每天获利 y 元(1)求每件售价为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?(2)若该商店雇用人员销售,在营销之前,对支付给销售人员的工资有如下两种方案:方案一:每天支付销售工资 100 元,无提成;方案二:每销

8、售一件提成 2 元,不再支付销售工资综合以上所有信息,请你帮着该商店老板算一算,应该采用哪种支付方案,才能使该商店每天销售该纪念品的利润最大?最大利润是多少?22已知:如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A(0,6) ,B(6,0) ,C(2,0) ,点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式;(2)当点 P 运动到什么位置时,PAB 的面积有最大值?(3)过点 P 作 x 轴的垂线,交线段 AB 于点 D,再过点 P 做 PEx 轴交抛物线于点 E,连结 DE,请问是否存在点 P 使PDE 为等腰直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说

9、明理由23抛物线 y=ax2+bx+3(a0)经过点 A(1,0) ,B( ,0) ,且与 y 轴相交于点 C(1)求这条抛物线的表达式;(2)求ACB 的度数;(3)设点 D 是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点 E 在线段AC 上,且 DEAC,当DCE 与AOC 相似时,求点 D 的坐标24如图,抛物线 y=ax2+bx(a0)过点 E(10,0) ,矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边) ,点 C,D 在抛物线上设 A(t,0) ,当 t=2时,AD=4(1)求抛物线的函数表达式(2)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的周长有最大值?最大值

10、是多少?(3)保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动,向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G,H,且直线 GH 平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离25如图,在矩形 OABC 中,点 O 为原点,点 A 的坐标为(0,8) ,点 C 的坐标为(6,0) 抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A、C,与 AB 交于点 D(1)求抛物线的函数解析式;来源:学,科,网(2)点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点 C 重合) ,点 Q 为线段 AC 上一个动点,AQ=CP,连接 PQ,设 CP=m,CPQ 的面积为 S求 S 关于 m 的函数表达式;当 S 最大时,在抛物线 y= x

11、2+bx+c 的对称轴 l 上,若存在点 F,使DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由参考答案一选择题(共 10 小题)1 【解答】解:抛物线 y=(xh) 2与抛物线 y=x2,A、a=10,都开口向上,此说法正确;B、抛物线 y=(xh) 2对称轴 x=h,抛物线 y=x2对称轴 x=0,说法错误;C、抛物线 y=(xh) 2顶点是(h,0) ,抛物线 y=x2顶点是(0,0) ,说法错误;D、a0,都有最低点,说法错误故选:A2 【解答】解:A、y=2x2,是一次函数,B、y=(x1) 2x 2=2x+1,是一次函数,C、当 a=0 时,y=a(

12、x1) 2不是二次函数,D、y=2x 21 是二次函数故选:D3 【解答】解:由图象与 y 轴的交点位置可知:c0,由图象与 x 轴的交点个数可知:0,由图象的开口方向与对称轴可知:a0, 0,从而可知:b0,故选:A4 【解答】解:y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,与 x 轴的一个交点为(2,0) ,抛物线与 x 轴的另一个交点为(4,0) ,y0 时 x 的范围是2x4,故选:B5 【解答】解:抛物线 y=3(x1) 2+1 是顶点式,顶点坐标是(1,1) 故选 A6 【解答】解:抛物线与 x 轴有两个交点,b 24ac0,即 b24ac,所以 A 选项错误;抛物线开口向上,

13、a0,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,c0,ac0,所以 B 选项错误;二次函数图象的对称轴是直线 x=1, =1,2a+b=0,所以 C 选项错误;抛物线过点 A(3,0) ,二次函数图象的对称轴是 x=1,抛物线与 x 轴的另一个交点为(1,0) ,ab+c=0,所以 D 选项正确;故选:D7 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x=1,点 B 的坐标为(1,0) ,A(3,0) ,AB=1(3)=4,所以正确;抛物线与 x 轴有 2 个交点,=b 24ac0,所以正确;抛物线开口向下,a0,抛物线的对称轴为直线 x= =1,b=2a0,ab0,所以错误;x=1 时,y0,ab+c0,

14、而 a0,a(ab+c)0,所以正确故选:C8 【解答】解:当 x=0 时,y=x 24x4=4;当 x=1 时,y=x 24x4=7;当 x=1 时,y=x 24x4=1;当 x=2 时,y=x 24x4=8,所以点(1,7)在抛物线 y=x24x4 上故选:B9 【解答】解:二次函数 y=x25x+m 的图象的对称轴为直线 x= 该二次函数图象与 x 轴的一个交点坐标为(1,0) ,另一交点坐标为( 21,0) ,即(4,0) 故选:B10 【解答】解:抛物线的开口方向 向下,a0;抛物线与 x 轴有两个交点,b 24ac0,即 b24ac,故正确由图象可知:对称轴 x= =1,2ab=0

15、,故错误;抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,c0由图象可知:当 x=1 时 y=0,a+b+c=0;故错误;由图象可知:若点 B( ,y 1) 、C( ,y 2)为函数图象上的两点,则y1y 2,故正确故选:B二填空题(共 8 小题)11 【解答】解:y=(x2m) 2+1,抛物线开口向上,对称轴为 x=2m,当 x2m 时,y 随 x 的增大而减小,当 mxm+1 时,y 随 x 的增大而减小,m+12m,解得 m1,故答案为:m112 【解答】解:设 AB 边的长为 x 米,则 BC 边的长为(162x)米,矩形花圃的面积 y=x(162x)=2x 2+16x=2(x4) 2+3

16、2,162x5,x5.5,又当 x4 时,y 随 x 的增大而减小,当 x=5.5 时,y 取得最大值,最大值为 27.5,故答案为:27.513 【解答】解:将 x=2 代入直线 y=x+1 得,y=2+1=3,则交点坐标为(2,3) ,将(2,3)代入 y=x2+k 得,3=4+k,解得 k=1故答案为:114 【解答】解:抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(2,4) ,B(6,4)两点,抛物线的对称轴是直线 x= =2,即顶点坐标为(2,0) ,设 y=ax2+bx+c=a(x2) 2+0,把(2,4)代入得:4=a(22) 2+0,解得:a= ,即 y= (x2) 2+0= x2x

17、+1,故答案为:y= x2x+115 【解答】解:抛物线 y=ax2+bx+c 经过(0,3) 、 (2,3)两点,对称轴 x= =1;点(1,0)关于对称轴对称点为(3,0) ,因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是(3,0) 故答案为:(3,0) 16 【解答】解:y=x 2+2x+c=(x1) 2+c+1,抛物线的对称轴为直线 x=1,点(3,0)关于直线 x=1 的对称点为(1,0) ,抛 物线与 x 轴的另一个交点坐标为(1,0) 故答案为:(1,0) 17 【解答】解:二次函数的图象开口向上,a0,二次函数的图象过原点,c=0故解析式满足 a0,c=0 即可,如 y=x2故答案为

18、:y=x 2(答案不唯一) 18 【解答】解:(1)函数开口向下,则 a0,且对称轴在 y 轴的右边,则b0,故命题错误;(2)函数与 y 轴交与正半轴,则 c0,故命题正确;(3)抛物线与 x 轴于两个交点,b 24ac0;故命题正确;(4)当 x=1 时,y0,ab+c0,故命题正确;(5) 1,2a+b0;故命题正确;(6)a0,b0,c0,abc0;故命题错误故答案是:(2) (3) (4) (5) 三解答题(共 7 小题)19 【解答】解:(1)将 A(1,0) 、C(0,3)代入 y=x 2+bx+c 中,得: ,解得: ,抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3(2)连接 BC 交

19、抛物线对称轴于点 P,此时 PA+PC 取最小值,如图 1 所示当 y=0 时,有x 2+2x+3=0,解得:x 1=1,x 2=3,点 B 的坐标为(3,0) 抛物线的解析式为 y =x 2+2x+3=(x1) 2+4,抛物线的对称轴为直线 x=1设直线 BC 的解析式为 y=kx+d(k0) ,将 B(3,0) 、C(0,3)代入 y=kx+d 中,得: ,解得: ,直线 BC 的解析式为 y=x+3当 x=1 时,y=x+3=2,当 PA+PC 的值最小时,点 P 的坐标为(1,2) (3)设点 M 的坐标为(1,m) ,则 CM= ,AC= = ,AM=分三种情况考虑:当AMC=90时

20、,有 AC2=AM2+CM2,即 10=1+(m3) 2+4+m2,解得:m 1=1,m 2=2,点 M 的坐标为(1,1)或(1,2) ;当ACM=90时,有 AM2=AC2+CM2,即 4+m2=10+1+(m3) 2,解得:m= ,点 M 的坐标为(1, ) ;当CAM=90时,有 CM2=AM2+AC2,即 1+(m3) 2=4+m2+10,解得:m= ,点 M 的坐标为(1, ) 综上所述:当MAC 是直角三角形时,点 M 的坐标为(1,1) 、 (1,2) 、(1, )或( 1, ) 20 【解答】解:(1)把 A(1,0) ,C(0,2)代入 y= x2+mx+n 得,解得 ,抛

21、物线解析式为 y= x2+ x+2;(2)存在抛物线的对称轴为直线 x= = ,则 D( ,0) ,CD= = = ,如图 1,当 CP=CD 时,则 P1( ,4) ;当 DP=DC 时,则 P2( , ) ,P 3( , ) ,综上所述,满足条件的 P 点坐标为( ,4)或( , )或( , ) ;(3)当 y=0 时,= x2+ x+2=0,解得 x1=1,x 2=4,则 B(4,0) ,设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,把 B(4,0) ,C(0,2)代入得 ,解得 ,直线 BC 的解析式为 y= x+2,设 E(x, x+2) (0x4) ,则 F(x, x2+ x+2) ,F

22、E= x2+ x+2( x+2)= x2+2x,S BCF =SBEF +SCEF = 4EF=2( x2+2x)=x 2+4x,而 SBCD = 2(4 )= ,S 四边形 CDBF=SBCF +SBCD=x 2+4x+ (0x4) ,=(x2) 2+当 x=2 时,S 四边形 CDBF有最大值,最大值为 ,此时 E 点坐标为(2,1) 21 【解答】解:(1)y=(x15)502(x20)=2(x30) 2+450,当 x=30 时,y 的最大值为 450,答:每件售价为 30 元时,每天获得的利润最大,最大利润是 450 元(2)方案一:每天的最大利润为 450100=350(元) ,方

23、案二:y=(x152)502(x30)=2(x3) 2+392,每天的最大利润为 392 元,392350,采用方案二支付,利润最大;22 【解答】解:(1)抛物线过点 B(6,0) 、C(2,0) ,设抛物线解析式为 y=a(x6) (x+2) ,将点 A(0,6)代入,得:12a=6,解得:a= ,所以抛物线解析式为 y= (x6) (x+2)= x2+2x+6;(2)如图 1,过点 P 作 PMOB 与点 M,交 AB 于点 N,作 AGPM 于点 G,设直线 AB 解析式为 y=kx+b,将点 A(0,6) 、B(6,0)代入,得:,解得: ,则直线 AB 解析式为 y=x+6,设 P

24、(t, t2+2t+6)其中 0t6,则 N(t,t+6) ,PN=PMMN= t2+2t+6(t+6)= t2+2t+6+t6= t2+3t,S PAB =SPAN +SPBN= PNAG+ PNBM= PN(AG+BM)= PNOB= ( t2+3t)6= t2+9t= (t3) 2+ ,当 t=3 时,PAB 的面积有最大值;方法二:如图 2,连接 OP,作 PHx 轴于点 H,作 PGy 轴于点 G,设 P(t, t2+2t+6)其中 0t6,则 PH= t2+2t+6,PG=t,SPAB =SPAO +SPBO S ABO= 6t+ 6( t2+2t+6) 66= t2+9t= (t

25、3) 2+ ,当 t=3 时,PAB 的面积有最大值(3)如图 3,若PDE 为等腰直角三角形,则 PD=PE,设点 P 的横坐标为 a,点 E 的横坐标为 b,PD= a2+2a+6(a+6)= a2+3a, = ,则 b=4a,PE=|a(4a)|=|2a4|=2|2a|, a2+3a=2|2a|,解得:a=4 或 a=5 ,所以 P(4,6)或 P(5 ,3 5) 23 【解答】解:(1)当 x=0,y=3,C(0,3) 设抛物线的解析式为 y=a(x+1) (x ) 将 C(0,3)代入得: a=3,解得:a=2,抛物线的解析式为 y=2x 2+x+3(2)过点 B 作 BMAC,垂足

26、为 M,过点 M 作 MNOA,垂足为 NOC=3,AO=1,tanCAO=3直线 AC 的解析式为 y=3x+3ACBM,BM 的一次项系数为 设 BM 的解析式为 y= x+b,将点 B 的坐标代入得: +b=0,解得b= BM 的解析式为 y= x+ 将 y=3x+3 与 y= x+ 联立解得:x= ,y= MC=BM = MCB 为等腰直角三角形ACB=45(3)如图 2 所示:延长 CD,交 x 轴与点 FACB=45,点 D 是第一象限抛物线上一点,ECD45又DCE 与AOC 相似,AOC=DEC=90,CAO=ECDCF=AF设点 F 的坐标为(a,0) ,则(a+1) 2=3

27、2+a2,解得 a=4F(4,0) 设 CF 的解析式为 y=kx+3,将 F(4,0)代入得:4k+3=0,解得:k= CF 的解析式为 y= x+3将 y= x+3 与 y=2x 2+x+3 联立:解得:x=0(舍去)或 x= 将 x= 代入 y= x+3 得:y= D( , ) 24 【解答】解:(1)设抛物线解析式为 y=ax(x10) ,当 t=2 时,AD=4,点 D 的坐标为(2,4) ,将点 D 坐标代入解析式得16a=4,解得:a= ,抛物线的函数表达式为 y= x2+ x;(2)由抛物线的对称性得 BE=OA=t,AB=102t,当 x=t 时,AD= t2+ t,矩形 A

28、BCD 的周长=2(AB+AD)=2(102t)+( t2+ t)= t2+t+20= (t1) 2+ , 0,当 t=1 时,矩形 ABCD 的周长有最大值,最大值为 ;(3)如图,当 t=2 时,点 A、B、C、D 的坐标分别为(2,0) 、 (8,0) 、 (8,4) 、 (2,4) ,矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为(5,2) ,当平移后的抛物线过点 A 时,点 H 的坐标为(2,4) ,此时 GH 不能将矩形面积平分;当平移后的抛物线过点 C 时,点 G 的坐标为(6,0) ,此时 GH 也不能将矩形面积平分;当 G、H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时,直线 GH

29、不可能将矩形的面积平分,当点 G、H 分别落在线段 AB、DC 上时,直线 GH 过点 P,必平分矩形 ABCD 的面积,ABCD,来源:Zxxk.Com线段 OD 平移后得到的线段 GH,线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P,在OBD 中,PQ 是中位线,PQ= OB=4,所以抛物线向右平移的距离是 4 个单位25 【解答】解:(1)将 A、C 两点坐标代入抛物线,得,解得: ,抛物线的解析式为 y= x2+ x+8;(2)OA=8,OC=6,AC= =10,过点 Q 作 QEBC 与 E 点,则 sinACB= = = , = ,QE= (10m) ,S= CPQE= m (10m

30、)= m2+3m;来源:学科网 ZXXKS= CPQE= m (10m)= m2+3m= (m5) 2+ ,当 m=5 时,S 取最大值;在抛物线对称轴 l 上存在点 F,使FDQ 为直角三角形,抛物线的解析式为 y= x2+ x+8 的对称轴为 x= ,D 的坐标为(3,8) ,Q(3,4) ,当FDQ=90时,F 1( ,8) ,当FQD=90时,则 F2( ,4) ,当DFQ=90时,设 F( ,n) ,则 FD2+FQ2=DQ2,即 +(8n) 2+ +(n4) 2=16,解得:n=6 ,F 3( ,6+ ) ,F 4( ,6 ) ,满足条件的点 F 共有四个,坐标分别为F1( ,8) ,F 2( ,4) ,F 3( ,6+ ) ,F 4( ,6 ) 来源:学*科*网 Z*X*X*K

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