1、 江苏省镇江市 2018 年数学中考模拟试卷二一、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分）1 的相反数是 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答【解答】解： 的相反数是 故答案为： 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键2计算： （2）= 1 【分析】根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”即可求出结论【解答】解： （2）=1，故答案为：1【点评】本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键3若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等
2、式即可【解答】解：由题意得，2x0，解得，x2，故答案为：x2【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键4分解因式：a 3a= a（a+1） （a1） 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：a 3a，=a（a 21） ，=a（a+1） （a1） 故答案为：a（a+1） （a1） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底5当 x= 3 时，分式 的值为零【分析】根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0 计算即可【解答
3、】解：依题意得：3x=0 且 2x+30解得 x=3，故答案是：3【点评】本题考查的是分式为 0 的条件和一元二次方程的解法，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0 是解题的关键6如图，AB=AC，ADBC，若BAC=80，则DAC= 50 【分析】根据等腰三角形顶角度数，可求出每个底角，然后根据两直线平行，内错角相等解答【解答】解：AB=AC，BAC=80，B=C=（18080）2=50；ADBC，DAC=C=50，故答案为 50【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等7有一组数据：2，3，5，5，x，它们的平
4、均数是 10，则这组数据的众数是 5 【分析】根据平均数为 10 求出 x 的值，再由众数的定义可得出答案【解答】解：由题意得， （2+3+5+5+x）=10，解得：x=35，这组数据中 5 出现的次数最多，则这组数据的众数为 5故答案为：5来源:Z&xx&k.Com【点评】本题考查了众数及平均数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义8江苏省的面积约为 102 600km2，这个数据用科学记数法可表示为 1.026105 km 2【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a10 的 n 次幂的形式） ，其中1|a|10，n 表示整数n 为整数位数减 1，即从左边第一位开始，在首位非零的后
5、面加上小数点，再乘以 10 的 n 次幂【解答】解：102 600=1.02610 5km2【点评】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定 a：a 是只有一位整数的数；（2）确定 n：当原数的绝对值10 时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值1 时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零） 9若 3a2a2=0，则 5+2a6a 2= 1 【分析】先观察 3a2a2=0，找出与代数式 5+2a6a 2之间的内在联系后，代入求值【解答】解；3a 2a2=0，3a 2a=2，5+2a6a 2=52（3a 2a）=522=1故答案为：
6、1【点评】主要考查了代数式求值问题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，把所求的代数式变形整理出题设中的形式，利用“整体代入法”求代数式的值10已知正六边形的边长为 1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图） ，则所得到的三条弧的长度之和为 2 cm（结果保留） 【分析】本题主要考查求正多边形的每一个内角，以及弧长计算公式【解答】解：方法一：先求出正六边形的每一个内角= ，所得到的三条弧的长度之和=3 =2cm；方法二：先求出正六边形的每一个外角为 60，得正六边形的每一个内角 120，每条弧的度数为 120，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为
7、 2cm故答案为：2【点评】与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合11如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内 既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系那么，从关闭 进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完【分析】先根据函数图象求出 进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论【解答】解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：204=5 升设出水管每分钟的出水量为 a 升，由函数图象，得20+8（5a）=30，解得
8、：a= ，故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30 =8 分钟故答案为：8【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决12如图，线段 AC=n+1（其中 n 为正整数） ，点 B 在线段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA 得到AME当 AB=1 时，AME 的面积记为 S1；当 AB=2 时，AME 的面积记为 S2；当 AB=3 时，AME的面积记为 S3；当 AB=n 时，AME 的面积记为 Sn当 n2 时
9、，S nS n1 = 【分析】方法一：根据连接 BE，则 BEAM，利用AME 的面积=AMB 的面积即可得出 Sn= n2，S n1 = （n1） 2= n2n+ ，即可得出答案方法二：根据题意得出图象，根据当 AB=n 时，BC=1，得出 Sn=S 矩形 ACQNS ACES MQE S ANM ，得出 S 与 n 的关系，进而得出当 AB=n1 时，BC=2，S n1 = n2n+ ，即可得出 SnS n1 的值【解答】解：方法一：连接 BE在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，BEAM，AME 与AMB 同底等高，AME 的面积=AMB 的面积，当 AB=n 时，A
10、ME 的面积记为 Sn= n2，Sn1 = （n1） 2= n2n+ ，当 n2 时，S nS n1 = 方法二：如图所示：延长 CE 与 NM，交于点 Q，线段 AC=n+1（其中 n 为正整数） ，当 AB=n 时，BC=1，当AME 的面积记为：Sn=S 矩形 ACQNS ACE S MQE S ANM ，=n（n+1） 1（n+1） 1（n1） nn，= n2，当 AB=n1 时，BC=2，此时AME 的面积记为：Sn1 =S 矩形 ACQNS ACE S MQE S ANM ，=（n+1） （n1） 2（n+1） 2（n3） （n1） （n1） ，= n2n+ ，当 n2 时，S n
11、S n1 = n2（ n2n+ ）=n = 故答案为： 【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出 S 与 n 的关系是解题关键二、选择题（本小题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）13 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa3a=2a B （ab 2） 0=ab2 C = D =9【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：A、a3a=2a，故此选项错误；B、 （ab 2） 0=1，故此选项错误；C、 =2 ，故此选项错误；D、 =9，正确故选：D【点评】此题主要考查了合并同类项以及二次
12、根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键14 （3 分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选：B【点评】考查立体图形的左视图，考查学生的观察能力15 （3 分）用半径为 8 的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）A4 B6 C16 D8【分析】由于半圆的弧长=
13、圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为 8，底面半径=82【解答】解：由题意知：底面周长=8，底面半径=82=4故选：A【点评】此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长16 （3 分）二次函数 y=x 24x+5 的最大值是（ ）A7 B5 C0 D9【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案【解答】解：y=x 24x+5=（x+2） 2+9，即二次函数 y=x 24x+5 的最大值是 9，故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方
14、是解题关键17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC=90，BA=BC点 D 是 AB 的中点，连结 CD，过点 B 作 BGCD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB的直线相交于点 G，连结 DF给出以下四个结论： = ；点 F 是 GE的中点；AF= AB； S ABC =5SBDF ，其中正确的结论序号是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据同角的余角相等求出ABG=BCD，然后利用“角边角”证明ABG 和BCD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AG=BD，然后求出AG= BC，再求出 AFG 和CFB 相似，根据相似三角形对应边成比例
15、可得= ，从而判断出正确；求出 FG= FB，然后根据 FEBE 判断出错误；根据相似三角形对应边成比例求出 = ，再根据等腰直角三角形的性质可得 AC= AB，然后整理即可得到 AF= AB，判断出正确；过点 F 作MFAB 于 M，根据三角形的面积整理即可判断出错误【解答】解：ABC=90，BGCD，ABG+CBG=90，BCD+CBG=90，ABG=BCD，在ABC 和BCD 中，ABG和BCD（ASA） ，AG=BD，点 D 是 AB 的中点，BD= AB，AG= BC，在 RtABC 中，ABC=90，ABBC，AGAB，AGBC，AFGCFB， = ，BA=BC， = ，故正确；A
16、FGCFB， = = ，FG= FB，FEBE，点 F 是 GE 的中点不成立，故错误；AFGCFB， = = ，AF= AC，AC= AB，AF= AB，故正确；过点 F 作 MFAB 于 M，则 FMCB， = = ， = ， = = = = ，故错误综上所述，正确的结论有共 2 个故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键三、解答题（本题共 81 分）18 （8 分） （1）计算：（2） 2 + cos60（ 2） 0；（2）化简：（a ） 【分析】 （1）根据负整
17、数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题【解答】解：（1） （2） 2 + cos60（ 2） 0= 1= 1= ；（2） （a ）= 【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法19 （9 分） （1）解方程： =0；（2）解不等式组 ，并把所得解集表示在数轴上【分析】 （1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：（1）方程两边都乘以（12x） （x+2）得：x+2（12x）=
18、0，解得：x= ，检验：当 x= 时， （12x） （x+2）0，所以 x = 是原方程的解，所以原方程的解是 x= ；（2） ，解不等式得：x1，解不等式得：x3，不等式组的解集为 x3，在数轴上表示为： 【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解（2）的关键20 （6 分）如图，AEFD，AE=FD，B、C 在直线 EF 上，且 BE=CF，（1）求证：ABEDCF；（2）试证明：以 A、B、D、C 为顶点的四边形是平行四边形【分析】 （1）根据 SAS 即可证明
19、；（2）只要证明 ABCD，AB=CD 即可解决问题；【解答】 （1）证明：AEDF，AEF=DFE，AEB=DFC，AE=FD，BE=CF，AEB DFC（2）解：连接 AC、BDAEBDFC，AB=CD，ABE=DCF，ABDC，四边形 ABDC 是平行四边形【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型21 （6 分）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，的统计图，已知“查资料”的人数是 40 人请你根据以上信息解答下列问题：（1）在
20、扇形统计图中， “玩游戏”对应的圆心角度数是 126 度；（2）补全条形统计图；（3）该校共有学生 1200 人，估计每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的人数【分析】 （1）由扇形统计图其他的百 分比求出“玩游戏”的百分比，乘以 360即可得到结果；（2）求出 3 小时以上的人数，补全条形统计图即可；（3）由每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的百分比乘以 1200 即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：1（40%+18%+7%）=35%，则“玩游戏”对应的圆心角度数是 36035%=126；故答案为：126；（2）根据题意得：4040%=100（人） ，3
21、小时以上的人数为 100（2+16+18+32）=32（人） ，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：120064%=768（人） ，则每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的人数约有 768 人【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键22 （6 分）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头” 、 “剪刀” 、 “布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀” ，“剪刀”胜“布” ， “布”胜“石头” ，相同的手势是和局（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？（2）如果两人约定：
22、只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与在一局游戏中两人获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）因为由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为 可画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与进行两局游戏便能确定赢家的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）画树状图得：总共有 9 种情况，每一种出现的机会均等，每人获胜的情形都是 3 种，两人获胜的概率都是 （2）由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为 任选其中一人的情形可画树状图得：总共有 9
23、 种情况，每一种出现的机会均等，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生，两局游戏能确定赢家的概率为： 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比23 （6 分）如图，一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5km 的地面 O 处发射，当火箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 测得点 A，B 的仰角分别为 34，45，其中点O，A，B 在同一条直线上（1）求 A，B 两点间的距离（结果精确到 0.1km） （2）当运载火箭继续直线上升到
24、 D 处，雷达站测得其仰角为 56，求此时雷达站 C 和运载火箭 D 两点间的距离（结果精确到 0.1km） （参考数据：sin34=0.56，cos34=0.83，tan34=0.67 ）【分析】 （1）根据锐角三角函数可以表示出 OA 和 OB 的长，从而可以求得 AB 的长；（2）根据锐角三角函数可以表示出 CD，从而可以 求得此时雷达站 C 和运载火箭 D 两点间的距离【解答】解：（1）由题意可得，BOC=AOC=90，ACO=34，BCO=45，OC=5km，AO=OCtan34，BO=OCtan45，AB=OBOA=OCtan45OCtan34=OC（tan45tan34）=5（1
25、0.67）1.7km，即 A，B 两点间的距离是 1.7km；（2）由已知可得，DOC=90，OC=5km，DCO=56，cosDCO= ，即 cos56= ，sin34=cos56，0.56= ，解得，CD8.9答：此时雷达站 C 和运载火箭 D 两点间的距离是 8.9km【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和锐角三角函数解答24 （6 分）如图，一次函数 y1=x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，与反比例函数 y2= 图象的一个交点为 M（2， m） （1）求反比例函数的解析式；（2）当 y2y 1时，求 x 的取值
26、范围；（3）求点 B 到直线 OM 的距离【分析】 （1）先把 M（2，m）代入 y=x1 求出 m 得到 M（2，1） ，然后把M 点坐标代入 y= 中可求出 k 的值，从而得到反比例函数解析式；（2）通过解方程组 得反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为（1，2） ，然后写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；（3）设点 B 到直线 OM 的距离为 h，然后利用面积法得到 h=1，于是解方程即可，【 解答】解：（1）把 M（2，m）代入 y=x1 得 m=21=1，则 M（2，1） ，把 M（2，1）代入 y= 得 k=21=2，所以反比例函数解析式为 y= ；（2）
27、解方程组 得 或 ，则反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为（1，2） ，当2x0 或 x1 时，y 2y 1；（3）OM= = ，S OMB = 12=1，设点 B 到直线 OM 的距离为 h， h=1，解得 h= ，即点 B 到直线 OM 的距离为 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了待定系数法求函数解析式25 （6 分）如图，AOB=45，点 M，N 在边 OA 上，点 P 是边 OB 上的点来源:学科网（1）利用直尺和圆规在图 1 确定点 P，使得
28、 PM=PN；（2）设 OM=x，ON=x+4，若 x=0 时，使 P、M、N 构成等腰三角形的点 P 有 3 个；若使 P、M、N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是 x=0 或 x=44 或 4 x4 【分析】 （1）分别以 M、N 为圆心，以大于 MN 为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是 MN 的垂直平分线；（2）分为 PM=PN，MP=MN，NP=NM 三种情况进行判断即可；如图 3，构建腰长为 4 的等腰直角OMC，和半径为 4 的M，发现 M 在点 D 的位置时，满足条件；如图 4，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以 M、N 为圆心，以MN 为半径画
29、弧，与 OB 的交点就是满足条件的点 P，再以 MN 为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论 x 取何值，以 MN 为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以 MN 为腰的三角形有两个即可【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：来源:学科网故答案为：3如图 3，以 M 为圆心，以 4 为半径画圆，当M 与 OB 相切时，设切点为C，M 与 OA 交于 D，MCOB，AOB=45，MCO 是等腰直角三角形，MC=OC=4，OM=4 ，当 M 与 D 重合时，即 x=OMDM=4 4 时，同理可知：点 P 恰好有三个；如图 4，取 OM=4，以 M 为圆心，以 OM 为半径画圆则M 与 OB
30、 除了 O 外只有一个交点，此时 x=4，即以PMN 为顶角，MN 为腰，符合条件的点 P 有一个，以 N 圆心，以 MN 为半径画圆，与直线 OB 相离，说明此时以PNM 为顶角，以 MN 为腰，符合条件的点 P 不存在，还有一个是以NM 为底边的符合条件的点 P；点 M 沿 OA 运动，到 M1时，发现M 1与直线 OB 有一个交点；当 4x4 时，圆 M 在移动过程中，则会与 OB 除了 O 外有两个交点，满足点 P 恰好有三个；综上所述，若使点 P，M，N 构成等腰三角形的点 P 恰好有三个，则 x 的值是：x=0 或 x=4 4 或 4 x4 故答案为：x=0 或 x=4 4 或 4
31、x4 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法26 （8 分）如图，ABC 内接于O，CD 是O 的直径，AB 与 CD 交于点 E，点P 是 CD 延长线上的一点，AP=AC，且B=2P（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若 PD= ，求O 的直径；（3） 在（2）的条件下，若点 B 等分半圆 CD，求 DE 的长【分析】 （1）连接 OA、AD，如图，利用圆周角定理得到B=ADC，则可证明ADC=2ACP，利 用 CD 为直径得到DAC=90，从而得到ADC=60，C=30，则AOP=60，于是可证明OA
32、P=90，然后根据切线的判断定理得到结论；（2）利用P=30得到 OP=2OA，则 PD=OD= ，从而得到O 的直径；（3）作 EHAD 于 H，如图，由点 B 等分半圆 CD 得到BAC=45，则DAE=45，设 DH=x，则 DE=2x，HE= x，AH=HE= x，所以（ +1）x=，然后求出 x 即可得到 DE 的长【解答】 （1）证明：连接 OA、AD，如图，B=2P，B=ADC，ADC=2P，AP=AC，P=ACP，ADC=2ACP，CD 为直径，DAC=90，ADC=60，C=30，ADO 为等边三角形，AOP=60，而P=ACP=30，OAP= 90，OAPA，PA 是O 的
33、切线；（2）解：在 RtOAP 中，P=30，OP=2OA，PD=OD= ，O 的直径为 2 ；（3）解：作 EHAD 于 H，如图，点 B 等分半圆 CD，BAC=45，DAE=45，设 DH=x，在 RtDHE 中，DE=2x，HE= x，在 RtAHE 中，AH=HE= x，AD= x+x=（ +1）x，即（ +1）x= ，解得 x= ，DE=2x=3 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线” ；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径” 也考查了圆周角定理
34、27 （10 分）阅读下列材料：题目：如图，在ABC 中，已知A（A45） ，C=90，AB=1，请用sinA、cosA 表示 sin2A【分析 】先作出直角三角形的斜边的中线，进而求出 CE= ，CED=2A，最后用三角函数的定义即可得出结论【解答】解：如图，来源:Zxxk.Com作 RtABC 的斜边 AB 上的中线 CE，则 CE= AB= =AE，CED=2A，过点 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，CD=ACsinA，在 RtABC 中，AC=ABcosA=cosA在 RtCED 中，sin2A=sinCED= =2ACsinA=2c osAsinA【点评】此题主要解直角
35、三角形，锐角三角函数的定义，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，构造出直角三角形和CED=2A 是解本题的关键28 （10 分）平面直角坐标系 xOy（如图） ，抛物线 y=x 2+2mx+3m2（m0）与x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，对称轴为直线 l，过点 C 作直线 l 的垂线，垂足为点 E，联结 DC、BC（1）当点 C（0，3）时，求这条抛物线的表达式和顶点坐标；求证：DCE=BCE；（2）当 CB 平分DCO 时，求 m 的值【分析】 （1）把 C 点坐标代入 y=x 2+2mx+3m2可求出 m 的值，从而得到抛物线解析式，然
36、后把一般式配成顶点式得到 D 点坐标；如图 1，先解方程x 2+2x+3=0 得 B（3，0） ，则可判断OCB 为等腰直角三角形得到OBC=45，再证明CDE 为等腰直角三角形得到DCE=45，从而得到DCE=BCE；（2）抛物线的对称轴交 x 轴于 F 点，交直线 BC 于 G 点，如图 2，把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线 x=m，顶点 D 的坐标为（m，4m 2） ，通过解方程x 2+2mx+3m2=0 得 B（3m，0） ，同时确定 C（0，3m 2） ，再利用相似比表示出 GF=2m2，则 DG=2m2，接着证明DCG=DGC 得到 DC=DG，所以m2+（4m 23m
37、2） 2=4m4，然后解方程可求出 m【解答】 （1）解：把 C（0，3）代入 y=x 2+2mx+3m2得 3m2=3，解得m1=1，m 2=1（舍去） ，抛物线解析式为 y=x 2+2x+3；y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，顶点 D 为（1，4） ； 证明：如图 1，当 y=0 时，x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3，则 B（3，0） ，OC=OB，OCB 为等腰直角三角形，OBC=45，CE直线 x=1，BCE=45，DE=1，CE=1，CDE 为等腰直角三角形，DCE=45，DCE=BCE；（2）解：抛物线的对称轴交 x 轴于 F 点，交直线 BC 于 G 点，如
38、图 2，y=x 2+2mx+3m2=（xm） 2+4m2，抛物线的对称轴为直线 x=m，顶点 D 的坐标为（m，4m 2） ，当 y=0 时，x 2+2mx+3m2=0，解得 x1=m，x 2=3m，则 B（3m，0） ，当 x=0 时，y=x 2+2mx+3m2=3m2，则 C（0，3m 2） ，GFOC， = ，即 = ，解得 GF=2m2，DG=4m 22m 2=2m2，CB 平分DCO，DCB=OCB，OCB=DGC，DCG=DGC，DC=DG，即 m2+（4m 23m 2） 2=4m4，m 2= ，而 m0，m= 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式
