1、课题4 二次根式,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 二次根式的概念 二次根式:形如 (a0)的式子叫做二次根式.二次根式 中,当 a0 时, 有意义.,基础知识梳理,1.二次根式 (a0)具有双重非负性,即被开方数a是非负数,二次根式的值 也是非负数.,考点二 二次根式的性质,2.性质1:( )2= a (a0). 性质2: =|a|= 性质3: = (a0,b0). 性质4: = (a0,b0).,1.最简二次根式必须同时满足以下条件 (1)被开方数的因数是 整数 ,被开方数的因式是 整式 . (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.,考点三 最简二次根式与
2、分母有理化,2.分母有理化:把分母中的 二次根号 化去,叫做分母有理化.分母有理化 的方法是分子与分母同乘分母的 有理化 因式.,1.二次根式的乘法法则: = (a0,b0).,考点四 二次根式的运算,2.二次根式的除法法则: = (a0,b0).,3.二次根式的加减运算:二次根式的加减运算的实质是合并被开方数相同的 二次根式,一般方法:(1)先把各二次根式化为最简二次根式;(2)把被开方数相 同的二次根式合并. 温馨提示 二次根式的化简或运算,最终结果都要求化成整式或最简二次 根式.,题型一 考查二次根式有意义的条件 该题型主要考查当二次根式有意义时,被开方数所含字母的取值范围,常常与 不等
3、式、分式等知识相结合.,中考题型突破,典例1 (2018河北一模)如果代数式 有意义,则实数x的取值范围是 ( C ) A.x-3 B.x0 C.x-3且x0 D.x3,答案 C 根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件,得 解 得x-3且x0,对照各选项,选C.,名师点拨 本题求解的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数,由此 得到关于x的不等式组,解之即可得到答案.,变式训练1 (2017沧州东光一模)若代数式 在实数范围内有意义,则实 数x的取值范围是 ( D ) A.x-1 B.x2 C.x2 D.x-1且x2,答案 D 要使 在实数范围内有意义,应满足 解得x-1且x 2.,题型
4、二 考查二次根式性质的应用 该题型主要考查二次根式( )2=a(a0)、 =|a|等性质在解题中的应用.,典例2 (2018衡水模拟)化简下列各式: (1)( )2;(2)(- )2;(3) (a1);(4) .,答案 (1)( )2=6. (2)(- )2=( )2=5. (3)a0, =|1-a|=1-a. (4)252936,5 6, =| -6|=6- .,名师点拨 本题(3)(4)之类的问题,属于化简 ,为此可利用转化思想,把 求一个数的算术平方根转化为求一个数的绝对值,然后利用绝对值的知识解 决.,变式训练2 (2018保定博野模拟)化简:(1) ;(2) .,答案 (1) = =
5、3. (2) = = = .,题型三 考查最简二次根式的概念 该题型主要考查对最简二次根式的认识和鉴别,中考中多以选择题为主.,典例3 (2018唐山模拟)请利用两种不同的方法把下列各式分母有理化: (1) ; (2) .,答案 (1)解法一: = = = = ; 解法二: = = = = = = . (2)解法一: = = = = ; 解法二: = = = = = = .,名师点拨 分母有理化的本质是综合运用二次根式的乘除运算法则,在具体 的化简过程中,既可以先计算乘法,也可以先计算除法,一般来说,当被开方数 中分子与分母能约分时,先计算除法比较简单.,变式训练3 (2018邢台宁晋模拟)下
6、列二次根式,最简二次根式是 ( C ) A. B. C. D.,答案 C A.8=24=222, 不是最简二次根式,不符合题意;B.根号内 含有分母, 不是最简二次根式,不符合题意;C.是最简二次根式,符合题意; D.0.1= , 不是最简二次根式,不符合题意.,题型四 考查二次根式的运算 该题型主要考查二次根式的加、减、乘、除运算以及混合运算、化简求值 等.,典例4 (2017廊坊文安模拟)计算: (1) - ; (2)( + )( - )-( - )2.,答案 (1)原式=4 - - + =3 . (2)原式=(2 +4 )( -2 )-(2-2 +3)=2( +2 )( -2 )-(5-
7、2 )=2 (2-12)-5+2 =-20-5+2 =-25+2 .,变式训练4 (2018唐山路南模拟)当x= - 时,求代数式x2- x+ 的值.,答案 当x= - 时, 原式=( - )2- ( - )+ =2-2 +3-2+ + =3.,易错一 对被开方数的非负性缺乏警惕性,易混易错突破,典例1 (2017沧州东光一模)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|+ 的结果是 ( D )A.-2a-b B.-2a+b C.-2b D.-2a,易错警示 本题的易错之处是对二次根式的被开方数是非负数缺乏足够的 警惕性,因此当被开方数以字母形式出现时,容易被其表面现象所迷惑.如本 题,虽然a-b的前面不含负号,但通过观察数轴可知,a-b是一个负数,因此 =-(a-b).,解析 观察数轴可知,a0,|b|a|,a+b0,a-b .(填“”“0,b0).,答案 (1)原式=(23) =66=36. (2)原式=6 +6 -5 =7 . (3)原式= = = .,
