1、课题16 利用二次函数解决实际问题,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 利用二次函数解决抛物线型问题 某些建筑的外形或物体的运动路线(如拱形桥、抛出去的铅球的运行轨迹) 等,可看做抛物线的一部分,因此可通过建立 适当 的直角坐标系,把这 些建筑的外形或物体的运动路线转化为 二次 函数的图象,然后利用二 次函数的有关知识解决这个实际问题.,基础知识梳理,考点二 利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题 利用二次函数解决实际问题中的最大(或最小)值问题时,应先利用图形周 长、 面积 等计算公式或有关各量之间的 数量关系 ,得到与之相 关的二次函数关系式,然后通过求二次函
2、数的最大(或最小)值,使实际问题得 到解决.,题型一 考查利用二次函数解决抛物线型问题 该题型主要考查利用二次函数解决抛物线型问题,包括怎样根据抛物线中的 信息确定二次函数表达式、当图中没有直角坐标系时怎样建立适当的直角 坐标系等.,中考题型突破,典例1 (2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越 来越美丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装 了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离 为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度.
3、,答案 (1)以水管与地面交点O为原点,点O与水柱落地点A所在直线为x轴,水 管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设喷水点为B,水柱的最高点为C,过点C作x轴的垂线交x轴于点D,则点O(0,0), A(3,0),B(0,2),D(1,0),直线CD为抛物线形水柱的对称轴. 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h(a0),把点A(3,0),B(0,2)的坐标代入,得 解得 抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ =- x2+ x+2(0x3). (2)抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ ,x的取值范围为0x3, 水柱的最大高度为 m.,变式训练1 (2017唐山模拟)如图,拱门
4、的地面宽度为200米,两侧距地面高15 0米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,则拱门的最大高度为 ( C )A.100米 B.150米 C.200米 D.300米,答案 C 以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标 系,则抛物线与x轴的交点为C(-100,0),D(100,0)的坐标,设这条抛物线的解析 式为y=ax2+h(a0),把点B(50,150),D(100,0)代入,得 解得y=- x2+200, 拱门的最大高度为200米.,题型二 考查利用二次函数解决最大(小)值问题 该题型主要考查利用二次函数解决最大(小)值问题,如图形的最大面积、图 形的最小周长
5、、销售问题中的最大利润等,解决这类问题时,先确定与之有关 的二次函数表达式,从而把问题转化为求二次函数的最大(小)值问题.,典例2 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1x9 0)天的售价与销量的相关信息如下表:,已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元. (1)求出y与x的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少? (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4 800元?,答案 (1)当1x50时, y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2 000; 当50x90时, y=(200-2
6、x)(90-30)=-120x+12 000. 综上所述, y= (2)当1x50时, y=-2x2+180x+2 000=-2(x-45)2+6 050,且-20,当x=45时,y最大值=6 050. 当50x90时,y随x的增大而减小, 当x=50时,y最大值=6 000. 6 0006 050, 第45天时,该商品当天销售利润最大,最大利润是6 050元. (3)当1x50时,由-2x2+180x+2 000=4 800, 解得x1=20,x2=70. 当20x0,0x . 设窗户的面积为S,根据题意,得S=ABAD=x =- x2+3x=- + . x= 在0x1.05 m2, 与图比
7、较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值变大.,易错 没有考虑到实际问题中自变量的取值范围 典例 (2017秦皇岛模拟)小明家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围 墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示),花圃的一边AD(垂直围墙的 边)究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?最大面积是多少平方米?,易混易错突破,易错警示 本题的易错之处是不结合实际,直接利用抛物线顶点坐标的意义 求其最大值,其原因是忽略了“空地外有一面长10米的围墙”这个限制条件, 由此可知x=16并不在这个二次函数的取值范围内.实际上,在实际问题中
8、求二 次函数的最大(小)值时,首先应考虑自变量的取值范围,如果x=- 在自变量 的取值范围内,那么其最大(小)值为 ;如果x=- 不在自变量的取值范 围内,那么应结合二次函数的增减性求其最大(小)值.,解析 设AB的长为x米,矩形的面积为y平方米, 则y=x =- (x-16)2+128. 0x10,且当x16时,y随x的增大而增大, 当x=10时,y取得最大值,y最大值=- (10-16)2+128=110(平方米),此时,AD=11(米). 答:花圃的一边AD(垂直围墙的边)应为11米才能使花圃的面积最大,最大面积 是110平方米.,1.n支球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一支球队都与其
9、他所有的球队各 赛一场),总的比赛场数为y,则有 ( D ) A.y=2n B.y=n2 C.y=n(n-1) D.y= n(n-1),随堂巩固检测,2.用长为30 cm的一根绳子围成一个矩形,其面积的最大值为 ( C ) A.225 cm2 B.112.5 cm2 C.56.25 cm2 D.100 cm2,3.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数关系 式为h=-5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是 ( D ) A.1米 B.3米 C.5米 D.6米,4.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且高度与时间的关系式为y=ax2 +bx+c
10、(a0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹 所在高度最高的是 ( B )A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒,5.如图,用长为23 m的篱笆,一面利用墙(墙足够长)围成一块留有一扇1 m宽的 门的长方形花圃,则当AB的长为 6 m时,花圃的面积最大,最大面积是 72 m2.,6.一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm,其中一直角边长为x cm,面 积为y cm2,则y有 最大 (填“最大”或“最小”)值,且这个值为 50 .,7.如图,已知线段AB=10,点C是线段AB上的一个动点,分别以AC和BC为直径 作半圆,用S表示这两个半圆的面积之和,则
11、当AC= 4或6 时,S= .,8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够 长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB= x m. (1)若花园的面积为192 m2,求x的值; (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.,答案 AB=x m,BC=(28-x)m. (1)根据题意,得x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16. x1=12,x2=16都符合实际问题的意义, x的值为12或16. (2)根据题意,得S=x(28-x)=-x2+28x. 点P在矩形ABCD内, 解得6x13. 抛物线S=-x2+28x的对称轴为直线x=- =14,且-10,当x14时,S随x的增大而增大,则当x=13时,S有最大值,且S最大值=-132+2813= 195. 故花园面积S的最大值为195 m2.,
