1、课题26 正方形,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 正方形的性质 正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,所以正方形具有矩形和菱形的所有 性质,主要性质有: (1)边:正方形的对边平行,四条边都相等. (2)角:正方形的 四 个角都是直角. (3)对角线:正方形的对角线互相 垂直平分 且 相等 ,每条对角线 平分 一组对角. (4)对称性:正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.,基础知识梳理,(5)面积计算:S= a2 (a表示正方形的边长),S= l2(l表示正方形对角线的 长).,考点二 正方形的判定 (1)有一组 邻边 相等,并且有一个角是 直角 的平行四边形
2、是正方 形. (2)有一组邻边相等的 矩形 是正方形. (3)有一个角是直角的 菱形 是正方形. (4) 对角线 相等且互相垂直的平行四边形是正方形.,3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,题型一 正方形的性质 该题型主要考查正方形的性质,包括正方形的边、角、对角线之间的关系,解 题时要注意正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形的特点.,中考题型突破,典例1 (2018保定定州模拟)如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点, EFAB,EGBC,垂足分别为E,F,若正方形ABCD的周长是40 cm. (1)求证:四边形BFEG是矩形; (2)求四边形EFBG的周长; (3)当AF的长为多少时
3、,四边形BFEG是正方形?,答案 (1)证明:四边形ABCD为正方形, ABBC,B=90. EFAB,EGBC,EFGB,EGBF. B=90,四边形BFEG是矩形. (2)正方形ABCD的周长是40 cm, AB=404=10 cm. 四边形ABCD为正方形, AEF为等腰直角三角形. AF=EF.,四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20 cm. (3)若要四边形BFEG是正方形,只需EF=BF. AF=EF,AB=10 cm, 当AF=5 cm时,四边形BFEG是正方形.,名师点拨 根据正方形的性质,在正方形中可以比较方便地得到等腰直角三 角形,如一组邻边与对角
4、线组成等腰直角三角形,两条对角线的一半与正方形 的一边组成等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的特殊性可以为问题的求 解提供有利条件.,变式训练1 (2017保定徐水模拟)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、 BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F 重合,展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E,G,连接GF,有下列结论:AGD= 112.5;tanAED= +1;四边形AEFG是菱形;SACD= SOCD.其中,正 确结论的序号是 .,解析 由折叠的性质可知,ADE=BDE.四边形ABCD是正方形, DAC=ADB=45,ADE=22.5, AGD=
5、180-45-22.5=112.5,正确; 设AE=x,AB=1,则EF=x,易知BEF是等腰直角三角形,BE= EF= x, x+ x=1,解得x= -1,tanAED= = +1,正确; 易知EFAC,EFG=FGO,又EAG=EFG, EAG=FGO,GFAB,四边形AEFG是平行四边形, 又EA=EF,四边形AEFG是菱形,正确; 由正方形的性质可知SACD=2SOCD,错误.,答案 ,题型二 正方形的判定 该题型主要考查正方形的判定,由于正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱 形,因此判定正方形的方法比较灵活,一般情况下,判定正方形可分为两步,即 先判定四边形为矩形(菱形),然后判定这个
6、四边形是菱形(矩形).,典例2 (2018沧州模拟)如图,在ABC中,BD平分ABC,AEBD于点O,交 BC于点E,ADBC,连接CD,DE. (1)求证:AO=EO; (2)当ABC满足什么条件时,四边形ABED是正方形?请说明理由.,答案 (1)证明:ADBC, CBD=ADB. BD平分ABC,ABD=CBD. ABD=ADB,AB=AD. 又AEBD,BO=DO. 又AOD=EOB, AODEOB,AO=EO.,(2)当ABC满足ABC=90时,四边形ABED是正方形.理由: AODEOB, AD=BE. 又ADBE,AEBD, 四边形ABED是菱形. 当ABC=90时,菱形ABED
7、是正方形. 即当ABC满足ABC=90时,四边形ABED是正方形.,名师点拨 本题主要考查了菱形的判定与性质,正方形的判定,全等三角形的 判定与性质的运用,其中(2)中判定正方形的方法具有代表性,如先判定四边 形ABED是菱形,可得当ABC=90时,菱形ABED是正方形,据此可得结论.,变式训练2 (2017邢台模拟)如图,在RtABC中,BAC=90,AD=CD,点E是 边AC的中点,连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AGBC,与DE交于点 G,连接AF、CG. (1)求证:AF=BF; (2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形.,答案 (1)AD=CD,点E是边AC的中点
8、, DEAC,即直线DE是线段AC的垂直平分线, AF=CF,FAC=ACB. 在RtABC中,BAC=90, B+ACB=90,FAC+BAF=90, B=BAF, AF=BF. (2)AGCF,AGE=CFE. 又点E是边AC的中点,AE=CE.,在AEG和CEF中, AEGCEF(AAS),AG=CF. 又AGCF,四边形AFCG是平行四边形. AF=CF,四边形AFCG是菱形. 在RtABC中,由AF=CF,AF=BF,得BF=CF. 即点F是边BC的中点.,又AB=AC,AFBC,即得AFC=90, 四边形AFCG是正方形.,易错一 不理解正方形的判定定理,易混易错突破,典例1 下列
9、结论正确的是 ( C ) A.有一个角是直角的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的四边形是正方形 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.四条边都相等的四边形是正方形,易错警示 本题非常容易出现错误,其原因是不理解正方形的判定定理而靠 死记硬背,因此对每个判定定理所面对的对象、所需要的条件一知半解.,解析 A.有一个角是直角的菱形是正方形,错误;B.有一组邻边相等的矩形是 正方形,错误;C.正确;D.四条边都相等的矩形是正方形,错误.,答案 C,易错二 对问题考虑不全面导致漏解,典例2 已知正方形ABCD,以CD为边作等边三角形CDE,则AED的度数是 .,易错警示 对点E的位置考虑不全面而漏解
10、,应分点E在正方形内和正方形外 两种情况进行求解.,解析 如图所示,当点E在正方形ABCD外时,在ADE中,AD=DE,ADE= 90+60=150,所以AED= (180-150)=15;如图所示,当点E在正方形 ABCD内时,在ADE中,AD=DE,ADE=90-60=30,所以AED= (180- 30)=75.,图 图,答案 15或75,1.在ABCD中,BD,AC是对角线,下列结论不正确的是 ( D )A.当AB=BC时,ABCD是菱形 B.当ABC=90时,ABCD是矩形 C.当ACBD时,ABCD是菱形 D.当AC=BD时,ABCD是正方形,随堂巩固检测,2.如图,在正方形ABC
11、D中,对角线AC=6,点P是对角线AC上的一点,过点P作PF AD,PECD,则PF+PE的值为 ( A )A.3 B.3 C.2 D.6,3.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交边 AD、BC于E、F两点,则阴影部分的面积是 ( A )A.1 B.2 C.3 D.4,4.如图,平行四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形,请你添加一个适当的 条件 AC=BD(答案不唯一) ,使ABCD成为正方形(只需添加一个即可).,5.如图所示,延长正方形ABCD的边BC至点E,使CE=AC,连接AE交CD于点F, 则AFC= 112.5 .,6.如图,在正方形ABCD中,点
12、F为CD上一点,BF与AC交于点E.若CBF=20, 连接DE，则AED= 65 .,7.如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,CE=CF, FDC=30,求BEF的度数.,答案 四边形ABCD是正方形, BCD=DCF=90,BC=DC. 又CE=CF, BCEDCF, EBC=FDC=30. BEC=60. DCF=90,CE=CF,FEC=45, BEF=BEC+FEC=60+45=105.,8.如图,在边长为8的正方形ABCD中,M是BC上的一点,连接AM,作AM的垂直 平分线GH交AB于点G,交CD于点H,若CM=2,求线段GH的长度.,答案 过点B作BNGH交CD于点N. 正方形ABCD的边长为8,CM=2,BM=8-2=6. 根据勾股定理,得AM= = =10. GH是AM的垂直平分线,BNGH, CBN+AMB=90. 又BAM+AMB=90, BAM=CBN. 在ABM和BCN中, ABMBCN(ASA), AM=BN. 又BNGH,BGNH, 四边形BNHG是平行四边形, BN=GH, GH=AM=10.,
