1、课题27 图形的相似,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 比例线段,基础知识梳理,1.线段的比 线段的比是两条线段的长度之比.,2.成比例线段 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab=cd,那么这四条线 段a,b,c,d叫做成比例线段.,3.比例的性质 (1)基本性质: = ad =bc(abcd0). (2)等比性质:如果 = = (bdn0,且b+d+n0),那么 = . (3)合比性质:如果 = ,那么 = .,4.黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),如果 = , 那么称线段 AB 被点C黄金分割.
2、点C叫做线段AB的 黄金分割 点,AC与AB的比叫做黄金比,其中 = 0.618 .,考点二 相似三角形的性质及判定,1.相似三角形的概念 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边 的比叫做相似比或相似系数.,2.相似三角形的性质及判定,3.判定两个三角形相似的思路,考点三 相似多边形,1.相似多边形的定义 各角对应相等,各边对应 成比例 的两个多边形叫做相似多边形.相似多 边形 对应边 的比叫做相似比.,2.相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角 相等 ,对应边 成比例 . (2)相似多边形的周长比等于 相似比 ,面积比等于 相似比的平方.,考点四 位似图形,
3、1.位似图形的定义 如果两个图形不仅 相似 ,而且每组对应点所在直线都 经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又 称位似比.,2.位似图形的性质:因为位似图形是特殊的相似图形,所有位似图形具有相似 图形的所有性质,并且:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于 位似比 ;位似图形周长的比等于 位似比 ;面积比等于 位似 比的平方 .,3.利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小,其步骤如下: (1)以位似中心为射线的端点画射线,并使各条射线分别经过原图形上的关键 点; (2)根据位似比确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点; (3)顺次连接各对应点,则
4、得到原图形的位似图形,由此即可把一个图形放大 或缩小.,考点五 相似三角形的应用 相似三角形的性质在实际生活中有着广泛的应用,例如利用相似三角形对应 边成比例的性质可以测量某些不容易直接测量的物体的长度或高度.,题型一 考查比例线段 该题型主要考查比例线段的内容,包括平行线分线段成比例定理,线段的比, 利用线段的比进行计算等.,中考题型突破,典例1 (2018河北石家庄模拟)对于平行线,我们有这样的结论:如图1,AB CD,AD,BC交于点O,则 = . 请利用该结论解答下面的问题:如图2,在ABC中,点D在线段BC上,BAD= 75,CAD=30,AD=2,BD=2DC,求AC的长.,答案
5、过点C作CEAB交AD的延长线于E,如图所示.则 = . 又BD=2CD,AD=2, = ,解得DE=1.,CEAB, E=BAD=75. 又CAD=30, ACE= (180-CAD)=75. AC=AE=3.,名师点拨 本题的求解关键有两点:根据题意添加辅助线.由于题目中没有 平行线而无法运用平行线分线段成比例定理,因此通过作平行线构造满足该 定理的基本图形,这也是添加辅助线的常用方法;注意线段的代换.分析求 证结果发现,难以找到AC与其他已知线段的联系,为此需要考虑线段的代换 或比的代换,为此需要证明ACE为等腰三角形.,变式训练1 如图,在ABC中,点D为AC上一点,且 = ,过点D作
6、DEBC 交AB于点E,连接CE,过点D作DFCE交AB于点F.若AB=15,则EF= .,解析 DEBC, = . = , = , = , 即 = ,解得AE=10. DFCE, = ,即 = = ,解得AF= . EF=AE-AF=10- = .,答案,题型二 考查相似三角形的性质与判定 该题型主要考查相似三角形的性质与判定,主要内容有:相似三角形的判定定 理,相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质,相似三角形对应边上的 高、中线、对应角的平分线对应成比例,相似三角形的面积之比等于相似比 的平方等.,典例2 (2018湖南株洲中考)如图,RtABM和RtADN的斜边分别为正方 形的边AB
7、和AD,其中AM=AN. (1)求证:RtABMRtADN; (2)线段MN与线段AD相交于T,若AT= AD,求tanABM的值.,答案 (1)证明:AB和AD均为正方形ABCD的边, AD=AB, AM=AN, RtABMRtADN(HL). (2)由(1)得DAN=BAM,DN=BM. BAM+DAM=90,DAN+ADN=90, DAM=ADN. NDAM. AMTDNT., = . AT= AD, = . 在RtABM中, tanABM= = = .,名师点拨 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性 质、正方形的性质、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识 解
8、决问题,属于中考常考题型.,变式训练2 (2017秦皇岛模拟)如图,在ABC中,B=90,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始,沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点B开始,沿BC 边以2 cm/s的速度向点C运动,当点P运动到点B时,运动停止,如果P、Q分别从 A、B两点同时出发. (1)问几秒后,PBQ的面积等于8 cm2? (2)问几秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似?,答案 (1)设t秒后,PBQ的面积等于8 cm2, 此时,AP=t cm,BP=(6-t)cm,BQ=2t cm. SPBQ= BPBQ,即 (6-t)2t=8,解得t1=2,t2=4.
9、2秒或4秒后,PBQ的面积等于8 cm2. (2)设x秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似, 此时,AP=x cm,BP=(6-x)cm,BQ=2x cm. 当BPQBAC时, = ,即 = ,解得x=3; 当BPQBCA时, = ,即 = ,解得x=1.2.,综上所述,1.2秒或3秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似.,题型三 考查相似多边形的性质 该题型主要考查相似多边形的性质,主要内容有:相似多边形的周长之比等于 相似比,相似多边形的面积之比等于相似比的平方,主要考查基础知识,题型 以选择题和填空题为主.,典例3 (2018沧州模拟)在AB=30 m,AD=20 m的矩形
10、花坛四周修筑小路. (1)如果四周的小路的宽均相等,都是x m,如图1,那么小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形ABCD相似吗?请说明理由; (2)如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为x m、y m,如图2,试问小路 的宽x与y的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形ABCD和矩形 ABCD相似?请说明理由.,图1 图2,答案 (1)小路四周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD不相似. 理由如下: = = , = = ,且 , . 小路四周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD不相似. (2)在矩形ABCD和矩形ABCD中, 要使A=A=B=B=C=C=D=D=90, AB=CD,AD=BC
11、,AB=CD,AD=BC,要使矩形ABCD矩形ABCD,只需 = . = ,解得 = . 路的宽x与y的比值为23时,能使小路四周所围成的矩形ABCD和矩形 ABCD相似.,名师点拨 在证明两个多边形不相似时,只需证明两个多边形的对应边不成 比例或对应角不相等;但在证明两个多边形相似时,必须证明两个多边形的对 应角相等且对应边成比例.,变式训练3 (2017河北沧州东光模拟)如图所示,在矩形ABCD中剪去一个以 AB为边长的正方形后,所剩下的矩形CDEF与原矩形ABCD相似,则原矩形的 长与宽的比是 ( D )A. B. C. D.,答案 D 设矩形的长AD=a,宽AB=b,则DE=CF=AD
12、-AB=a-b. 矩形ABCD与矩形CDEF相似, = ,即 = , 整理,得a2-ab-b2=0, 解得a1= b,a2= b(不符合题意,舍去). = .,题型四 考查位似图形的性质 该题型主要考查位似图形的性质,这类题目中,考查直角坐标系中位似图形的 顶点坐标的题目较多,题型以选择题和填空题为主,属于基础题和中档题.,典例4 (2018湖南邵阳中考)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过 点A作ABx轴于点B.将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 , 得到COD,则CD的长度是 ( A )A.2 B.1 C.4 D.,答案 A 点A(2,4),ABx轴, 点B(2,
13、0),则AB=4. 将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 得到COD, C(1,2),CDx轴, CD=2.,名师点拨 此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质,正确把握位似 图形的性质是解题关键.,变式训练4 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6)、B(-9,-3),以原点O为 位似中心,相似比为 ,把ABO缩小,则点A的对应点A的坐标是 ( D ) A.(-1,2) B.(-9,18),C.(-9,18)或(9,-18) D.(-1,2)或(1,-2),答案 D 相似比为 ,应将点A的坐标除以3或-3得到点A的坐标,则点A 的坐标为(-1,2)或(1,-2).故选D.,题
14、型五 考查相似三角形的应用 该题型主要考查相似三角形的应用,主要内容包括:利用相似三角形的性质进 行测量,把某些不容易直接测量的物体的高度或长度转化为容易测量的物体 的高度或长度,从而达到化繁为简、化难为易的求解目的.,典例5 (2017秦皇岛模拟)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.图2是晒 衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,经测量:AB=CD=136 cm,OA= OC=51 cm,OE=OF=34 cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且 EF=32 cm. (1)求证:ACBD; (2)求扣链EF与立杆AB的夹角OEF的度数(精确到0.1); (3)小红的连衣裙
15、长度为122 cm,则垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通 过计算说明理由.,答案 (1)证明:AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,OB=OD=85 cm. = = = . 又AOC=BOD,AOCBOD. OAC=OBD. ACBD. (2)如图,过点O作OMEF于点M,则EM= EF=16 cm. cosOEF= = 0.471,利用计算器求得OEF61.9.,(3)小红的连衣裙会拖落到地面.理由如下: 在RtOEM中,OM= = =30(cm). 过点A作AHBD于点H, OA=OC,OE=OF, = . 又EOF=AOC,EOFAOC. OEF=OAC. EFAC,又AC
16、BD,EFBD. ABH=OEM.,又OME=AHB=90, RtOEMRtABH, = ,即 = ,解得AH=120 (cm). 120122,小红的连衣裙会拖落到地面.,名师点拨 本题属于利用相似三角形解决实际问题的典型实例,做题时应注 意:根据平行线得到相似三角形是证明三角形相似的常用方法;利用相似 三角形解决实际问题的切入点是找到题目中的相似三角形,从而为题目的求 解搭建一个平台,当题目中难以找到所必需的相似三角形时,可通过作辅助线 构造相似三角形.,变式训练5 某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展 理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测
17、量 工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用 知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测 得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下: 如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做 了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动,小亮看着镜 面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像 与镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;,然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮 从D点沿DM方向走了
18、16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小 亮的影长FH=2.5米,身高FG=1.65米. 已知:ABBM,EDBM,GFBM.测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计. 请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.,答案 由题意得ABC=EDC=GFH=90, ACB=ECD,AFB=GHF. ABCEDC,ABFGFH. = , = , 即 = , = , 解得BC=132,AB=99. 答:“望月阁”的高度为99米.,易错一 利用比例的性质时出现错误,易混易错突破,典例1 已知:ab=1 ,bc= ,那么abc等于 ( C ) A. B. C. D.1 ,易错警示 本题
19、容易出现的错误是在沟通两个比时“中间量”出现错误, 因为b既是前一个比的后项,又是后一个比的前项,所以必须把b这个中间量 统一,为此可利用“主元法”,即把a、b、c都用同一个字母b表示,由此则得 到答案.,解析 ab=1 ,bc= , a=2b,c= b, abc=2bb b= . 故选C.,答案 C,易错二 计算面积时用错相似三角形与面积有关的性质,典例2 (2017唐山玉田二模)如图,D是ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2, DAC=B.如果ABD的面积为15,那么ACD的面积为 ( D )A.15 B.10 C. D.5,易错警示 本题的易错之处是用错“相似三角形的面积之比等于相似
20、比的 平方”,主要体现为两点:一是计算相似比时出现错误;二是利用相似三角形 的性质计算时丢掉“平方”.,解析 DAC=B,C=C,ACDBCA. = , AB=4,AD=2, = . = = = = ,解得SACD=5.,易错三 判断三角形相似时出现丢解的错误,典例3 (2017石家庄模拟)如图所示,已知ACB=ADC=90,AD=2,CD= , 当AB的长为 时,ACB与ADC相似.,易错警示 本题容易出现的错误是丢解,其原因是根据ACB与ADC相 似,误认为是RtABCRtACD,而丢掉了RtACBRtCDA的情况,从 而导致出现丢解的错误,由此提醒我们,当题目中出现“ACB与ADC相 似
21、”之类的词语时,一定要认真分析有几种可能,避免出现丢解的错误.,解析 AD=2,CD= ,AC= = = .要使ACB与 ADC相似,有两种情况:当RtABCRtACD时,有 = ,即 = , 解得AB=3;当RtACBRtCDA时,有 = ,即 = ,解得AB=3 . AB的长为3或3 时,ACB与ADC相似.,1.已知线段a=4,b=9,线段x是a,b的比例中项,则x等于 ( B ) A.36 B.6 C.-6 D.6或-6,随堂巩固检测,2.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与PMN相似 的是 ( A ),3.如图,D为ABC边BC上一点,要使ABDCBA,应该具
22、备下列条件中 的 ( C )A. = B. = C. = D. =,4.如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(3,3),D(4,1),以原点O为位似中心,在 第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB,则端点B的坐标为 ( D )A.(6,6) B.(6,8) C.(8,6) D.(8,2),5.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边上选定一个目标点A,在近岸取点B,C, D,使得ABBC,CDBC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得 BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于 ( B )A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m,6.
23、如图,四边形ABCD是平行四边形,E是BC的延长线上一点,AE与CD相交 于F,则与CEF相似的三角形有 2 个.,7.(2018沧州模拟)如图,ABC与DEF位似,位似中心为点O,且ABC的面 积等于DEF面积的 ,则OAAD= 21 .,8.如图,某班课外活动小组的同学用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度 CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=15 m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m, 人与标杆CD的水平距离DF=2 m,且E、C、A三点在同一条直线上,则旗杆AB 的高度是 13.5 m.,9.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的截面图如图所示.其中AB=CD, BC=20 cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm, 为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm,那么横梁EF应为多长?(材质及 其厚度等暂忽略不计),答案 过点C作CMAB,交EF、AD于N、M,作CPAD,交EF、AD于Q、P. 则四边形ABCM和四边形AENM是平行四边形,如图所示.EN=AM=BC=20 cm,MD=AD-AM=50-20=30(cm). 根据题意,得CP=40 cm,PQ=8 cm,CQ=32 cm. EFAD, CNFCMD,则 = ,即 = . NF=24 cm. EF=EN+NF=20+24=44(cm). 答:横梁EF应为44 cm.,
