1、2018 年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分）下列四个数中，最小的数是（ ）A 1 B0 C1 D32 （3 分）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有 65 个国家加入，共涉及总人口约达 46 亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ）A4.610 9B4610 8 C0.46 1010 D4.6 10103 （3 分）一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后， “你”字对面的字是（ ）A中 B考 C顺 D利4 （3 分）不等式 x+12 的解集 在数轴上表示正确的是（ ）A B C D5 （3 分）如图，B
2、D AC，BE 平分ABD，交 AC 于点 E若A=50，则1 的度数为（ ）A65 B60 C55 D506 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，分别以点 A、C 为圆心，AD、CB 为半径画弧，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）A4 2B8 C8 2 D8 47 （3 分）AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点 C；连接 BC，若P=40，则B 等于（ ）A20 B25 C30 D408 （3 分）如图，P（m，m）是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上一点，以 P 为顶点作等边PAB ，使 AB 落在 x 轴上
3、，则POB 的面 积为（ ）A B3 C D二、填空题（本题共 6 小题，每 3 分，共 16 分）9 （3 分）计算|2|3 0= 10 （3 分）分解因式：x 2yy= 11 （3 分）在ABC 中，MNBC 分别交 AB，AC 于点 M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则 MN 的长为 12 （3 分）如图，扇形纸扇完全打开后，BAC=120，AB=AC=30 厘米，则的长为 厘米 （结果保留 ）13 （3 分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该
4、圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺14 （3 分）如图，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合，AFx 轴，将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60当n=2017 时，顶点 A 的坐标为 三、解答题（本题共 10 小题，共 78 分）15 （6 分）先化简，再求值：（2+x ） （2 x）+（x1） （x +5） ，其中 16 （6 分）某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味，若送奶员连续三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶
5、赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？（请用“画树状图 ”的方法给出分析过程，并求出结果）17 （6 分）在“母亲节” 前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价 1 元促销，降价后 30 元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的 1.5 倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？18 （7 分）如图，点 A，B ，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，且 AE=DF，A= D，AB=DC （1）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；（2）若 AD=10，DC=3 ，EBD=60 ，则
6、 BE= 时，四边形 BFCE 是菱形19 （7 分）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为40cm，与水平面所形成的夹角OAM 为 75由光源 O 射出的边缘光线OC，OB 与水平面所形成的夹角OCA，OBA 分别为 90和 30，求该台灯照亮水平面的宽度 BC（不考虑其他因素，结果精确到 0.1cm温馨提示：sin750.97，cos750.26， ） 20 （7 分）在“宏扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“A国学诵读”、 “B演讲”、 “C课本剧”、 “D书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意愿，随机调查了部分学生
7、，结果统计如下：（1）如图，希望参加活动 C 占 20%，希望参加活动 B 占 15%，则被调查的总人数为 人，扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为 度，根据题中信息补全条形统计图（2）学校现有 800 名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动 A 有多少人？21 （8 分）暑假期间，小刚一家乘车去离家 380 公里的某景区旅游，他们离家的距离 y（km）与汽车行驶时间 x（h ）之间的函数图象如图所示（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？（2）求线段 AB 对应的函数解析式；（3）小刚一家出发 2.5 小时时离目的地多远？22 （9 分）如图 1，在 RtABC 中，A
8、=90 ，AB=AC ，点 D，E 分别在边AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点（1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出PMN 面积的最大值23 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6 ，CDAB 于点D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，
9、点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止设运动时间为 t 秒（1）求线段 CD 的长；（2）设CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t，使得 SCPQ ：S ABC =9：100？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由（3）当 t 为何值时， CPQ 为等腰三角形？24 （12 分）如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1） “抛物线三角
10、形” 一定是 三角形；（2）若抛物线 y=x2+bx（b 0）的“抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，求 b 的值；（3）如图，OAB 是抛物线 y=x2+bx（b 0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由2018 年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1【解答】解：101 3，最小的数是1，故选：A2【解答】解：46 亿=4600 000 000=4.6109，故选：A3【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相
11、隔一个正方形，“祝”与“考”是相对面，“你”与“顺”是相对面，“中”与“利”是相对面故选：C4【解答】解：x+12，x1来源:学科网 ZXXK故选：A5【解答】解：BDAC ，A=50，ABD=130 ，又BE 平分ABD，1= ABD=65，故选：A来源 :学科网 ZXXK6【解答】解：矩形 ABCD，AD=CB=2，S 阴影 =S 矩形 S 半圆 =24 22=82，故选：C7【解答】解：PA 切O 于点 A，PAB=90，P=40，POA=9040=50 ，OC=OB，B= BCO=25，故选：B8【解答】解：作 PDOB，P（m，m ）是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上一点，m=
12、 ，解得：m=3，PD=3，ABP 是等边三角形，BD= PD= ，S POB = OBPD= （OD+BD）PD= ，故选：D二、填空题（本题共 6 小题，每 3 分，共 16 分）9【解答】解：原式=21=1故答案为：1来源:学.科.网10【解答】解：x 2yy，=y（x 21） ，=y（x +1） （x 1） ，故答案为：y（x+1） （x 1） 11【解答】解：MNBC，AMN ABC， ，即 ，MN=1，故答案为：112【解答】解： 的长= =20（厘米） 故答案为：2013【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20 尺，另一条直角边长 53=15（尺） ，因此葛藤长为 =2
13、5（尺） 故答案为：2514【解答】解：201760360=3361 ，即与正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 1 次时点 A 的坐标是一样的当点 A 按顺时针旋转 60时，与原 F 点重合连接 OF，过点 F 作 FHx 轴，垂足为 H；由已知 EF=4，FOE=60（正六边形的性质） ，OEF 是等边三角形，OF=EF=4，F（2，2 ） ，即旋转 2017 后点 A 的坐标是（2， 2 ） ，故答案是：（2，2 ） 三、解答题（本题共 10 小题，共 78 分）15【解答】解：原式=4x 2+x2+4x5=4x1当 时，原式= =516【解答】解：画树状图为：共有 8 种等可
14、能的结果数，其中至少有两瓶为红枣口味的结果数为 4，所以该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率= = 17【解答】解：设降价后每枝玫瑰的售价是 x 元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+1）元，根据题意得： = 1.5，解得：x=2，经检验，x=2 是原分式方程的解，且符合题意答：降价后每枝玫瑰的售价是 2 元18【解答】 （1）证明：AB=DC，AC=DB，在AEC 和 DFB 中，AEC DFB（SAS） ，BF=EC，ACE=DBFECBF，四边形 BFCE 是平行四边形；（2）当四边形 BFCE 是菱形时，BE=CE，AD=10，DC=3，AB=CD=3，BC=10 33=4，
15、EBD=60 ， BE=BC=4，当 BE=4 时，四边形 BFCE 是菱形，故答案为：419【解答】解：在直角三角形 ACO 中，sin75= = 0.97 ，解得 OC38.8，在直角三角形 BCO 中，tan30= = ，解得 BC67.3答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 大约是 67.3cm20【解答】解：（1）由题意可得，被调查的总人数是：1220%=60，希望参加活动 B 的人数为：6015%=9，希望参加活动 D 的人数为：60 27912=12，扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为：360（1 15%20%）=36020%=72，故答案为：60，72，补全的条形统计图如
16、右图所示；（2）由题意可得，800 =360，答：全校学生希望参加活动 A 有 360 人21【解答】解：（1）从小刚家到该景区乘车一共用了 4h 时间；（2）设 AB 段图象的函数表达式为 y=kx+bA（1，80 ） ，B（3 ，320 ）在 AB 上， ，解得 y=120x40（1x3） ；（3）当 x=2.5 时，y=1202.5 40=260，380260=120（ km） 故小刚一家出发 2.5 小时时离目的地 120km22【解答】解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点，PNBD，PN= BD，点 P，M 是 CD，DE 的中点，PMCE， PM= CE，AB=AC，AD=
17、AE ，BD=CE，PM=PN，PNBD，DPN=ADC，PMCE，DPM=DCA，BAC=90 ，ADC+ACD=90，MPN=DPM+DPN= DCA+ADC=90，PMPN，故答案为：PM=PN，PMPN；（2）PMN 是等腰直角三角形由旋转知，BAD=CAE，AB=AC， AD=AE，ABD ACE（SAS） ，ABD=ACE ，BD=CE ，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，PM=PN，PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PMCE，DPM=DCE，同（1）的方法得，PN BD，PNC=DBC，DPN=DCB+PNC= DCB+DBC，MPN=DPM+DPN= DC
18、E+DCB+DBC= BCE+DBC=ACB+ACE+DBC= ACB+ABD+DBC=ACB+ABC，BAC=90 ，ACB+ABC=90，MPN=90，PMN 是等腰直角三角形；（3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN 是等腰直角三角形，MN 最大时，PMN 的面积最大，DEBC 且 DE 在顶点 A 上面，MN 最大=AM +AN，连接 AM，AN，在ADE 中， AD=AE=4，DAE=90 ，AM=2 ，在 RtABC 中，AB=AC=10，AN=5 ，MN 最大 =2 +5 =7 ，S PMN 最大 = PM2= MN2= （7 ） 2= 方法 2：由（2）知，PMN 是
19、等腰直角三角形， PM=PN= BD，PM 最大时，PMN 面积最大，点 D 在 BA 的延长线上，BD=AB+AD=14，PM=7 ，S PMN 最大 = PM2= 72= 23【解答】解：（1）如图 1，ACB=90 ，AC=8，BC=6 ，AB=10CDAB，S ABC = BCAC= ABCDCD= = =4.8线段 CD 的长为 4.8（2）过点 P 作 PHAC，垂足为 H，如图 2 所示由题可知 DP=t，CQ=t 则 CP=4.8tACB=CDB=90，HCP=90DCB=BPH AC，CHP=90CHP= ACBCHP BCA PH= tS CPQ = CQPH= t（ t）
20、= t2+ t存在某一时刻 t，使得 SCPQ ：S ABC =9：100S ABC = 68=24，且 SCPQ ：S ABC =9：100，（ t2+ t）：24=9：100整理得：5t 224t+27=0即（5t 9） （ t3）=0解得：t= 或 t=30t4.8 ，当 t= 秒或 t=3 秒时，S CPQ ：S ABC =9：100（3）若 CQ=CP，如图 1，则 t=4.8t解得：t=2.4若 PQ=PC，如图 2 所示PQ=PC，PHQC，QH=CH= QC= CHP BCA 解得：t= 若 QC=QP，来源:Zxxk.Com过点 Q 作 QECP，垂足为 E，如图 3 所示同
21、理可得：t= 综上所述 ：当 t 为 2.4 秒或 秒或 秒时，CPQ 为等腰三角形24【解答】解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点 A 必在 O、B 的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“ 抛物线三角形” 必为等腰三角形故填：等腰来源:Z&xx&k.Com（2）当抛物线 y=x2+bx（b0）的“ 抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（ ， ） ，满足 = （b 0） 则 b=2（3）存在如图，作OCD 与OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 是矩形，又AO=AB，OAB 为等边三角形AOB=60，作 AEOB，垂足为 E，AE=OEtanAOB= = （b0） b=2 A（ ，3 ） ，B（2 ，0） C （ ） ，D（2 ，0） 设过点 O、C、D 的抛物线为 y=mx2+nx，则，解得 故所求抛物线的表达式为 y=x2+2 x
