1、3.3 几何概型3.3.1 几何概型双基达标 限时 20 分钟1如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区23域的面积为号 ( )A. B. C. D无法计算43 83 23解析 由几何概型的概率公式知 ，所以 S 阴 S 正 .S阴S正 23 23 83答案 B2在第 1 题中若将 100 粒豆子随机撒入正方形中，恰有 60 粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积约为 ( )A. B. C. D无法计算125 65 35解析 因为 ，所以 ，所以 S 阴 4 .S阴S正 N1N S阴4 60100 60100 12
2、5答案 A3下列概率模型中，几何概型的个数为 ( )从区间10,10内任取出一个数，求取到 1 的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；从区间10,10内任取出一个整数，求取到大于 1 而小于 2 的数的概率；向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离中心不超过 1 cm 的概率A1 B2 C3 D4解析 不是几何概型，虽然区间10,10 有无限多个点，但取到 “1”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间 10,10和1,1 上有无限多个数可取( 满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性
3、)；不是几何概型，因为区间10,10 上的整数只有 21 个 (是有限的)，不满足无限性特征；是几何概型，因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性答案 B4两根相距 6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m的概率是_解析 由已知得：P .26 13答案 135如图，在一个边长为 a、b(ab0) 的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为 a 与 a，高为 b，向该矩形内随机13 12投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为_解析 两“几何度量”即为两面积，直接套用几何
4、概型的概率公式S 矩形 ab，S 梯形 ( a a)b ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为 .1213 12 512 S梯 形S矩 形 512abab 512答案 5126设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是 4 cm，现用直径等3于 2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率解 记 A 硬币落下后与格线没有公共点 ，如图，在边长为 4 cm 的等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边3三角形三边距离都为 1，则等边三角形 ABC 的边长为4 2 2 ，由几何概率公式得： P(A) .3 3 33423234432 14综合提高 限时 25
5、分钟7已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B. C. D.110 19 111 18解析 试验的所有结果构成的区域长度为 10 min，而构成事件 A 的区域长度为 1 min，故 P(A) .110答案 A8在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于 的概率是 ( S4)A. B. C. D.14 12 34 23解析 如右图所示，在边 AB 上任取一点 P，因为ABC 与PBC是 等高的，所以事件“PBC 的面积大于 ”等价于事件“| BP|AB|S4 ”即 P( PBC 的面积大于 ) .14
6、 S4 |PA|BA| 34答案 C9在正方体 ABCDA 1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥 A1ABC 内的概率是_解析 本题为体积型几何概型问题，P .VA1 ABCVABCD A1B1C1D1 16答案 1610如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在xOT 内的概率是_解析 记事件 A 为“射线 OA 落在xOT 内” ，因为xOT60， 周角为 360，故 P(A) .60360 16答案 1611设关于 x 的一元二次方程 x22ax b 20.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数，b 是从
7、0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若 a 是从区间0,3 任取一个数，b 是从区间0,2 任取一个数，求上述方程有实根的概率解 设事件 A 为“方程 x22ax b 20 有实根” ，当 a0，b0 时，此方程有实根的条件是 ab.(1)全集 (0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0) ，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2) ，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值，事件 A(0,0) ，(1,0) ，(1,1)，(2,0)，(2,1) ，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，
8、故 P(A) .912 34(2)试验的全部结果所构成的区域为( a，b)|0a3，0b2，而构成 A 的区域为(a，b)|0a 3,0b2，a b，如图所示的阴影部分，所以 P(A) .32 122232 2312(创新拓展)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现 30 min 长的磁带上，从开始 30 s 处起，有 10 s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解 记 A 按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 ，A 发生就是在 0 到 min23时间段内按错键P(A) .2330 145
