1、2016-2017 学年陕西省西安市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）1 （3 分）已知直线的斜率是 2，在 y 轴上的截距是 3，则此直线方程是（ ）A2xy3=0 B2xy+3=0 C2x+y +3=0 D2x+y 3=02 （3 分）在空间，下列说法正确的是（ ）A两组对边相等的四边形是平行四边形B四边相等的四边形是菱形C平行于同一直线的两条直线平行D三点确定一个平面3 （3 分）点 P（x，y）在直线 x+y4=0 上，O 是原点，则|OP|的最小值是（ ）A B2 C D24 （3 分）两圆 x2+y2=9 和 x2+y28x+6y+9=0 的位置关系是
2、（ ）A相离 B相交 C内切 D外切5 （3 分）若 l，m，n 是互不相同的空间直线， ， 是不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A若 ，l ，n，则 ln B若 ，l ，则 lC若 ln，mn，则 l mD若 l，l，则 6 （3 分）若直线 ax+my+2a=0（a0 ）过点 ，则此直线的斜率为（ ）A B C D7 （3 分）已知直线 l1：ax y+2a=0，l 2：（2a 1）x +ay=0 互相垂直，则 a 的值是（ ）A0 B1 C0 或 1 D0 或 18 （3 分）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为 4m2，互相平行的两个侧面的距离为 2m，则这个六棱柱的体积为（ ）A
3、3m 3 B6m 3 C12m 3 D15m 39 （3 分）若 P（2，1）为圆（x1） 2+y2=25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为（ ）A2x+y3=0 Bx+y1=0 Cxy3=0 D2xy5=010 （3 分）如图长方体中，AB=AD=2 ，CC 1= ，则二面角 C1BDC 的大小为（ ）A30 B45 C60 D9011 （3 分）已知 P 为ABC 所在平面外一点，PAPB，PBPC，PCPA，PH平面 ABC，H ，则 H 为ABC 的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心12 （3 分）已知点 A（1，3） ，B （2， 1） 若直线 l：y=k（x2）+1 与
4、线段 AB相交，则 k 的取值范围是（ ）A ，+） B （，2 C （ ，2 ，+） D2， 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）13 （4 分）在空间直角坐标系中，点 A（ 1，2，0）关于平面 yOz 的对称点坐标为 14 （4 分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是 cm315 （4 分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰为，上底面为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 16 （4 分）已知过点 M（ 3，0）的直线 l 被圆 x2+（y+2） 2=25 所截得的弦长为8，那么直线 l 的方程为 17
5、 （4 分）已知实数 x，y 满足（x3） 2+（y 3） 2=8，则 x+y 的最大值为 三、解答题（18，19 题各 10 分，20，21 题各 12 分）18 （10 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=AC=5，BB 1=BC=6，D，E 分别是 AA1 和 B1C 的中点（1）求证：DE平面 ABC；（2）求三棱锥 EBCD 的体积19 （10 分）求满足下列条件的曲线方程：（1）经过两条直线 2x+y8=0 和 x2y+1=0 的交点，且垂直于直线 6x8y+3=0 的直线（2）经过点 C（1 ，1）和 D（1，3） ，圆心在 x 轴上的圆20 （12 分）在四棱锥
6、 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，PD=DC ，E 是 PC 的中点，过 E 点做 EFPB 交 PB 于点 F求证：（1）PA平面 DEB；（2）PB 平面 DEF21 （12 分）已知圆 C：x 2+y22x+4y4=0，是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 被圆C 截得的弦长 AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程 l，若不存在说明理由三、附加题：（22 题，23 题各 5 分，24 题 10 分）22 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都等于 6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 23 （5 分）已知 0k 4 直
7、线 L：kx 2y2k+8=0 和直线 M：2x+k 2y4k24=0 与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时 k 值为（ ）A2 B C D24 （10 分）已知以点 C（t， ） （t R 且 t0 ）为圆心的圆经过原点 O，且与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B（1）求证：AOB 的面积为定值（2）设直线 2x+y4=0 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|=|ON|，求圆 C 的方程（3）在（2）的条件下，设 P，Q 分别是直线 l：x+y+2=0 和圆 C 上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标2016-2017 学年陕西省西安市交大附中高一（上）
8、期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）1 （3 分）已知直线的斜率是 2，在 y 轴上的截距是 3，则此直线方程是（ ）A2xy3=0 B2xy+3=0 C2x+y +3=0 D2x+y 3=0【解答】解：直线的斜率为 2，在 y 轴上的截距是 3，由直线方程的斜截式得直线方程为 y=2x3，即 2xy3=0故选：A2 （3 分）在空间，下列说法正确的是（ ）A两组对边相等的四边形是平行四边形B四边相等的四边形是菱形C平行于同一直线的两条直线平行D三点确定一个平面【解答】解：四边形可能是空间四边形，故 A，B 错误；由平行公理可知 C 正确，当三点在同一直线上
9、时，可以确定无数个平面，故 D 错误故选 C3 （3 分）点 P（x，y）在直线 x+y4=0 上，O 是原点，则|OP|的最小值是（ ）A B2 C D2【解答】解：由题意可知：过 O 作已知直线的垂线，垂足为 P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线 x+y4=0 的距离 d= =2 ，即|OP|的最小值为 2 故选 B4 （3 分）两圆 x2+y2=9 和 x2+y28x+6y+9=0 的位置关系是（ ）A相离 B相交 C内切 D外切【解答】解：把 x2+y28x+6y+9=0 化为（x4） 2+（y+3） 2=16，又 x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，3）和（0，0）
10、 ，两半径分别为 R=4 和 r=3，则两圆心之间的距离 d= =5，因为 435 4+3 即 RrdR+r，所以两圆的位置关系是相交故选 B5 （3 分）若 l，m，n 是互不相同的空间直线， ， 是不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A若 ，l ，n，则 ln B若 ，l ，则 lC若 ln，mn，则 l mD若 l，l，则 【解答】解：若 ，l ，n，则 l 与 n 平行、相交或异面，故 A 不正确；若 ，l，则 l 或 l 与 相交，故 B 不正确；若 ln，m n，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 C 不正确；若 l，l，则由平面与平面垂直的判定定理知 ，故 D 正确故选：D6
11、（3 分）若直线 ax+my+2a=0（a0 ）过点 ，则此直线的斜率为（ ）A B C D【解答】解：直线 ax+my+2a=0（a0）过点 ，a m+2a=0， a=m，这条直线的斜率是 k= = ，故选 D7 （3 分）已知直线 l1：ax y+2a=0，l 2：（2a 1）x +ay=0 互相垂直，则 a 的值是（ ）A0 B1 C0 或 1 D0 或 1【解答】解：直线 l1： axy+2a=0，l 2：（2a 1）x+ay=0 互相垂直，（2a 1）a+a（1）=0，解得 a=0 或 a=1故选 C8 （3 分）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为 4m2，互相平行的两个侧面的距
12、离为 2m，则这个六棱柱的体积为（ ）A3m 3 B6m 3 C12m 3 D15m 3【解答】解：由题意，设正六棱柱的底面边长为 am，高为 hm，正六棱柱的最大对角面的面积为 4m2，互相平行的两个侧面的距离为 2m，2ah=4， a=2，解得，a= ，h= ，故 V=Sh=6 （ ） 2sin60 =6（m 3）故选：B9 （3 分）若 P（2，1）为圆（x1） 2+y2=25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为（ ）A2x+y3=0 Bx+y1=0 Cxy3=0 D2xy5=0【解答】解：圆（x1） 2+y2=25 的圆心 C（1，0） ，点 P（2，1）为 弦 AB 的中点，
13、PC 的斜率为 =1，直线 AB 的斜率为 1，点斜式写出直线 AB 的方程 y+1=1（x 2） ，即 xy3=0，故选 C10 （3 分）如图长方体中，AB=AD=2 ，CC 1= ，则二面角 C1BDC 的大小为（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：取 BD 的中点 E，连接 C1E，CE由已知中 AB=AD=2 ，CC 1= ，易得 CB=CD=2 ，C 1B=C1D=根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1EBD，CEBD则C 1EC 即为二面角 C1BDC 的平面角在C 1EC 中，C 1E=2 ，CC 1= ，CE=故C 1EC=30故二面角 C1BDC 的大小为 3
14、0故选 A11 （3 分）已知 P 为ABC 所在平面外一点，PAPB，PBPC，PCPA，PH平面 ABC，H ，则 H 为ABC 的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【解答】证明：连结 AH 并延长，交 BC 与 D 连结 BH 并延长，交 AC 与 E；因 PA PB， PAPC，故 PA面 PBC，故 PABC；因 PH 面 ABC，故 PH BC，故 BC面 PAH，故 AHBC 即 ADBC；同理：BEAC ；故 H 是 ABC 的垂心故选：B12 （3 分）已知点 A（1，3） ，B （2， 1） 若直线 l：y=k（x2）+1 与线段 AB相交，则 k 的取值范围是（ ）A
15、，+） B （，2 C （ ，2 ，+） D2， 【解答】解：直线 l：y=k（x 2）+1 过点 P（2，1） ，连接 P 与线段 AB 上的点 A（1，3 ）时直线 l 的斜率最小，为 ，连接 P 与线段 AB 上的点 B（2，1）时直线 l 的斜率最大，为 k 的取值范围是 故选：D二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）13 （4 分）在空间直角坐标系中，点 A（ 1，2，0）关于平面 yOz 的对称点坐标为 （1，2，0） 【解答】解：根据关于坐标平面 yOz 对称点的坐标特点，可得点 A（1，2，0）关于坐标平面 yOz 对称点的坐标为：（1，2，0） 故答案为：（1，2，0）
16、14 （4 分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是 cm3【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积 S=2020=400cm2，高 h=20cm，故体积 V= = cm3，故答案为：15 （4 分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰为，上底面为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 4 【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形，所以 BC=BC=1，OA=OA=1+ =3，OC=2OC=2 ，所以这个平面图形的面积为（1+3）2 =4 故答案为：4
17、 16 （4 分）已知过点 M（ 3，0）的直线 l 被圆 x2+（y+2） 2=25 所截得的弦长为8，那么直线 l 的方程为 x= 3 或 5x12y+15=0 【解答】解：设直线方程为 y=k（x +3）或 x=3，圆心坐标为（0，2） ，圆的半径为 5，圆心到直线的距离 d= =3， =3，k= ，直线方程为 y= （x+3） ，即 5x12y+15=0；直线 x=3，圆心到直线的距离 d=|3|=3，符合题意，故答案为：x= 3 或 5x12y+15=017 （4 分）已知实数 x，y 满足（x3） 2+（y 3） 2=8，则 x+y 的最大值为 10 【解答】解：（x3） 2+（y
18、 3） 2=8，则可令 x=3+2 cos，y=3 +2 sin，x+y=6+2 （cos +sin）=6+4cos（ 45） ，故 cos（45）=1，x+y 的最大值为 10，故答案为 10三、解答题（18，19 题各 10 分，20，21 题各 12 分）18 （10 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=AC=5，BB 1=BC=6，D，E 分别是 AA1 和 B1C 的中点（1）求证：DE平面 ABC；（2）求三棱锥 EBCD 的体积【解答】解：（1）证明：取 BC 中点 G，连接 AG，EG，因为 E 是 B1C 的中点，所以 EGBB 1，且 由直棱柱知，AA 1B
19、B 1，AA 1=BB1，而 D 是 AA1 的中点，所以 EGAD，EG=AD （4 分）所以四边形 EGAD 是平行四边形，所以 EDAG，又 DE平面 ABC，AG 平面 ABC所以 DE平面 ABC （7 分）（2）解：因为 ADBB 1，所以 AD平面 BCE，所以 VEBCD=VDBCE=VABCE=VEABC， （10 分）由（1）知，DE平面 ABC，所以 （14 分）19 （10 分）求满足下列条件的曲线方程：（1）经过两条直线 2x+y8=0 和 x2y+1=0 的交点，且垂直于直线 6x8y+3=0 的直线（2）经过点 C（1 ，1）和 D（1，3） ，圆心在 x 轴上的
20、圆【解答】解：（1）由 ，解得 x=3，y=2，点 P 的坐标是（ 3，2） ，所求直线 l 与 8x+6y+C=0 垂直，可设直线 l 的方程为 8x+6y+C=0把点 P 的坐标代入得 83+62+C=0，即 C=36所求直线 l 的方程为 8x+6y36=0，即 4x+3y18=0（2）圆 C 的圆心在 x 轴上，设圆心为 M（a，0） ，由圆过点 A（1，1）和B（1 ，3） ，由|MA|=|MB|可得 MA2=MB2，即（a+1 ） 2+1=（a1） 2+9，求得 a=2，可得圆心为 M（ 2，0） ，半径为 |MA|= ，故圆的方程为 （x2） 2+y2=1020 （12 分）在四
21、棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，PD=DC ，E 是 PC 的中点，过 E 点做 EFPB 交 PB 于点 F求证：（1）PA平面 DEB；（2）PB 平面 DEF【解答】证明：（1）连接 AC，AC 交 BD 于 O连接 EO底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点在PAC 中，EO 是中位线，PA EO，EO平面 EDB，且 PA平面 EDB，PA 平面 EDB（2）PD底面 ABCD，且 DC底面 ABCD，PDBC底面 ABCD 是正方形，DCBC ，可得：BC平面 PDCDE平面 PDC，BC DE又PD=DC，E 是 PC 的中点，
22、DEPCDE平面 PBCPB 平面 PBC，DE PB又EFPB ，且 DEEF=E，PB 平面 EFD21 （12 分）已知圆 C：x 2+y22x+4y4=0，是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 被圆C 截得的弦长 AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程 l，若不存在说明理由【解答】解：圆 C 化成标准方程为（ x1） 2+（y +2） 2=9，假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M 的坐标为（ a，b） CMl ，即 kCMkl= 1=1b=a1直线 l 的方程为 yb=xa，即 xy2a1=0|CM| 2=（ ） 2=2（1a） 2|MB |2=|CB|2|CM|2=2a
23、2+4a+7|MB |=|OM|2a 2+4a+7=a2+b2，得 a=1 或 ，当 a= 时，b= ，此时直线 l 的方程为 xy4=0当 a=1 时，b=0，此时直线 l 的方程为 xy+1=0故这样的直线 l 是存在的，方程为 xy4=0 或 xy+1=0三、附加题：（22 题，23 题各 5 分，24 题 10 分）22 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都等于 6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 84 【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2 ；所以外接球的半径为： =所以外接球的表面积为： =
24、84故答案为：8423 （5 分）已知 0k 4 直线 L：kx 2y2k+8=0 和直线 M：2x+k 2y4k24=0 与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时 k 值为（ ）A2 B C D【解答】解：如图所示：直线 L：kx2y2k+8=0 即 k（x2） 2y+8=0，过定点 B（2，4） ，与 y 轴的交点 C（0，4k ） ，直线 M：2x +k2y4k24=0，即 2x+k2 （y 4）4=0，过定点（2，4 ） ，与 x 轴的交点 A（2 k2+2，0） ，由题意，四边形的面积等于三角形 ABD 的面积和梯形 OCBD 的面积之和，所求四边形的面积为 4（2 k2+
25、22）+ （4k+4）2=4k 2k+8，当 k= 时，所求四边形的面积最小，故选： 24 （10 分）已知以点 C（t， ） （t R 且 t0 ）为圆心的圆经过原点 O，且与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B（1）求证：AOB 的面积为定值（2）设直线 2x+y4=0 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|=|ON|，求圆 C 的方程（3）在（2）的条件下，设 P，Q 分别是直线 l：x+y+2=0 和圆 C 上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标【解答】 （1）证明：由题意可得：圆的方程为： =t2+ ，化为：x22tx+y2 =0与坐标轴的交点分别为：A（2t，0
26、） ，B S OAB = =4，为定值（2）解：|OM|=|ON|，原点 O 在线段 MN 的垂直平分线上，设线段 MN的中点为 H，则 C，H，O 三点共线，OC 的斜率 k= = ， （2）=1，解得 t=2，可得圆心 C（2，1） ，或（2 ，1 ） （舍去） 圆 C 的方程为：（ x2） 2+（y 1） 2=5（3）解：由（2）可知：圆心 C（2，1） ，半径 r= ，点 B（0，2）关于直线x+y+2=0 的对称点为 B（ 4， 2） ，则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ|BQ|，又点 B到圆上点 Q 的最短距离为 |BC|r= =2 ，则|PB |+|PQ|的最小值为 2 直线 BC的方程为： y= x，此时点 P 为直线 BC与直线 l 的交点，故所求的点 P
