1、2016-2017 学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）已知集合 A=1，0，B= 0，2，则 AB= 2 （5 分）函数 f（x ）=sin（2x+ ）的最小正周期为 3 （5 分）幂函数 f（x ）的图象过点 ，则 f（4）= 4 （5 分）函数 f（x ）= 的定义域是 5 （5 分）已知方程 3x+x=5 的根在区间k，k+1） （ kZ） ，则 k 的值为 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， ， 分别是与 x 轴、y 轴方向相同的单位向量，已知 = +2 ， =3
2、+4 ， =2t +（t+5） ，若 与 共线，则实数 t 的值为 7 （5 分）函数 f（x ）=cos2x，x ， 的值域是 8 （5 分）函数 f（x ）=Asin（x+） （A 0，0，0，2） ）的图象，如图所示，则 f（2016 ）的值为 9 （5 分）计算（ ） lg lg 的结果为 10 （5 分）已知 =2，则 sin2sincos 的值为 11 （5 分）函数 f（x ）=cos（ x+ ）的图象向右平移 （0）个单位，所得函数图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 12 （5 分）若函数 f（x ） = 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围为 13 （5 分）如图，
3、在ABC 中，D，E 是 BC 上的两个三等分点，若 =2， =4，则 BC 的长度为 14 （5 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x1，2时，f（x）= 2x+2，若函数 y=f（x）log a（|x|+1）恰好有 8 个零点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，15-17 每小题 14 分，18-20 每小题 14 分，共计90 分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知集合 A=1，3，B=m ，m+6， mR（1）当 m=2 时，求 A RB；（2）若 AB=B，求实数 m 的取
4、值范围16 （14 分）已知角 的终边经过点 P（3，4） （1）求 sin，cos 和 tan 的值；（2）求 的值17 （14 分）已知向量 ， 满足| |= ， =（4，2） （1）若 ，求 的坐标；（2）若 与 5 +2 垂直，求 与 的夹角 的大小18 （16 分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示） ，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 AD 的两条线段围成设圆弧 、所在圆的半径分别为 f（x ） 、R 米，圆心角为 （弧度） （1）若 = ，r 1=3，r 2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为
5、60 元/米，弧线部分的装饰费用为 90 元/ 米，预算费用总计 1200 元，问线段 AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？19 （16 分）已知函数 f（ x）=1 为定义在 R 上的奇函数（1）求 f（x）的解析式；（2）判断 f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若 f（lnm）+f（2lnn）13lnm，求实数 m 的取值范围20 （16 分）已知二次函数 f（x ）对任意的 x 都有 f（x +2） f（x）=4x+4，且f（0）=0（1）求函数 f（x）的解析式；（2）设函数 g（x）=f（x）+m， （mR ） 若存在实数 a，b（ab ） ，使得 g（x）在区间a ，b上为单
6、调函数，且g（ x）取值范围也为a，b，求 m 的取值范围；若函数 g（ x）的零点都是函数 h（x）=f（f（x） ）+m 的零点，求 h（x ）的所有零点2016-2017 学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）已知集合 A=1，0，B= 0，2，则 AB= 1，0，2 【解答】解：集合 A=1， 0，B= 0，2，则 AB= 1，0，2故答案为：1，0，22 （5 分）函数 f（x ）=sin（2x+ ）的最小正周期为 【解答】解：函数 中，振幅 A=1，初相 =
7、 ，且 =2函数 的最小正周期为 T= =故答案为：3 （5 分）幂函数 f（x ）的图象过点 ，则 f（4）= 2 【解答】解：设 f（x）=x a，因为幂函数图象过 ，则有 =3a，a= ，即 f（x）=x ，f（ 4）=（4） =2故答案为：24 （5 分）函数 f（x ）= 的定义域是 （ ，0） 【解答】解：要使函数 f（x ）= 有意义，只需 12x0，即 2x1 ，解得 x0则定义域为（，0） 故答案为：（，0） 5 （5 分）已知方程 3x+x=5 的根在区间k，k+1） （ kZ） ，则 k 的值为 1 【解答】解：令 f（x）=3 x+x5，由 y=3x 和 y=x5 均为
8、增函数，故 f（x）=3 x+x5 在 R 上为增函数，故 f（x）=3 x+x5 至多有一个零点，f（ 1）=3+150f（2）=9+2 50f（ x）=3 x+x5 在区间1，2有一个零点，即方程方程 3x+x=5 的解所在区间为 1，2，故 k=1，故答案为：16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， ， 分别是与 x 轴、y 轴方向相同的单位向量，已知 = +2 ， =3 +4 ， =2t +（t+5） ，若 与 共线，则实数 t 的值为 4 【解答】解： = +2 ， =3 +4 ， =2t +（t+5） ， =（ 2，2） ， =（2t 1，t+3） ， 与 共线， ，解得 t
9、=4故答案为：47 （5 分）函数 f（x ）=cos2x，x ， 的值域是 【解答】解：x ， ，2x ， ，f（ x）=cos2x 故答案为：8 （5 分）函数 f（x ）=Asin（x+） （A 0，0，0，2） ）的图象，如图所示，则 f（2016 ）的值为 【解答】解：由图象知 A=3，=3（1）=4，即函数的周期 T=8= ，即 = ，由五点对应法得 3+=3 +=，即 = ，则 f（x）=3sin（ x+ ） ，则 f（2016 ） =3sin（ 2016+ ）=3sin（504+ ）=3sin（ ）=3 =，故答案为：9 （5 分）计算（ ） lg lg 的结果为 【解答】解：
10、（ ） lg lg=（ ） 2lg= = 故答案为： 10 （5 分）已知 =2，则 sin2sincos 的值为 【解答】解： = =2，解得：tan=3，sin 2sincos= = = = 故答案为： 11 （5 分）函数 f（x ）=cos（ x+ ）的图象向右平移 （0）个单位，所得函数图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 【解答】解：函数 f（x ）=cos（ x+ ）的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=cos（ + ）由于其图象关于 y 轴对称， + =k，kz ，= 2k， kz，由 0 ，可得：当 k=0 时， 的最小正值是 故答案为：12 （5 分）若函
11、数 f（x ） = 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围为 【解答】解：当函数 f（x ）= 是 R 上的单调增函数，可得： ，解得 a 当函数 f（x ）= 是 R 上的单调减函数，可得： ，解得 a故答案为： 13 （5 分）如图，在ABC 中，D，E 是 BC 上的两个三等分点，若 =2， =4，则 BC 的长度为 3 【解答】解： =2，且 = = = ，得 ， =134=9 故答案为：314 （5 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x1，2时，f（x）= 2x+2，若函数 y=f（x）log a（|x|+1）恰好有 8 个零点，则实数 a 的
12、取值范围是 【解答】解：画出：x1，2时，f（x）= 2x+2， f（x）的图象，由于函数 f（x）的图象关于点（ 1，0）对称，可得其在区间0，1上的图象由于函数 f（x）是偶函数，且关于点（ 1，0）对称，则 f（x）=f（x） ，f （x）+f（ 2x）=0，可得 f（ x+4）=f（x） ，因此其周期 T=4当 a1 时，画出函数 y=loga（|x|+1） ，由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出由于右边的图象与函数 f（x ）的图象只有 4 个交点，因此 loga（|8|+1）=2 ，解得 a=3当 1a0 时，画出函数 y=loga（|x|+1） ，由于此函数是偶函数
13、，因此只要画出右边的图象即可得出由于右边的图象与函数 f（x ）的图象只有 4 个交点，因此满足： loga（6+1）2 ，log a（10+1）2，解得： a 故所求的实数 a 的取值范围是 故答案为： 二、解答题：本大题共 6 小题，15-17 每小题 14 分，18-20 每小题 14 分，共计90 分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知集合 A=1，3，B=m ，m+6， mR（1）当 m=2 时，求 A RB；（2）若 AB=B，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）当 m=2 时，B=m，m+6=2，8，（1 分）RB=（，2
14、）（8，+ ） ； （4 分）又 A=1，3，所以 A RB=1，2） ； （7 分）（2）因为 AB=B，所以 AB，（9 分）由 A=1，3，B=m，m+6，得 ，（12 分）解得3m1，即 m 的取值范围是3，1（14 分）16 （14 分）已知角 的终边经过点 P（3，4） （1）求 sin，cos 和 tan 的值；（2）求 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）因为角 的终边经过点 P（3，4） ，所以 x=3，y=4，所以 ，（1 分）所以 ，（3 分），（5 分）（7 分）（2）因为 cos（3 ）=cos，（8 分），（9 分），（10 分）tan（+ ）=tan，
15、 （11 分）所以 （12 分）= （14 分）17 （14 分）已知向量 ， 满足| |= ， =（4，2） （1）若 ，求 的坐标；（2）若 与 5 +2 垂直，求 与 的夹角 的大小【解答】解：（1）设 =（ x，y） ，则 x2+y2=5（2 分）因为 ，所以 4y2x=0（4 分）由 ，可得 或所以 的坐标为：（2，1）或（2， 1） ；（6 分）（2）因为 与 5 +2 垂直，所以（ ） （5 +2 ）=0 （8 分）化简得：5 23 2 2=0又因为 ， ，所以 =5（10 分）cos= （12 分）又因为 0， ，所以 （14 分）18 （16 分）某公司拟设计一个扇环形状的花
16、坛（如图所示） ，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 AD 的两条线段围成设圆弧 、所在圆的半径分别为 f（x ） 、R 米，圆心角为 （弧度） （1）若 = ，r 1=3，r 2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为 60 元/米，弧线部分的装饰费用为 90 元/ 米，预算费用总计 1200 元，问线段 AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【解答】解：（1）设花坛的面积为 S 平方米. （2 分）= = （4 分）答：花坛的面积为 ；（5 分）（2） 的长为 r1 米， 的长为 r2 米，线段 AD 的长为（r 2
17、r1）米由题意知 602（r 2r1）+90（r 1+r2）=1200即 4（r 2r1）+ 3（r 2+r1）=40*（7 分）（9 分）由* 式知， （11 分）记 r2r1=x，则 0x10所以 = （13 分）当 x=5 时，S 取得最大值，即 r2r1=5 时，花坛的面积最大 （15 分）答：当线段 AD 的长为 5 米时，花坛的面积最大 （16 分）19 （16 分）已知函数 f（ x）=1 为定义在 R 上的奇函数（1）求 f（x）的解析式；（2）判断 f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若 f（lnm）+f（2lnn）13lnm，求实数 m 的取值范围【解答】 （1） （法一
18、）因为函数 f（x ）为 R 上的奇函数，所以 在 R 上恒成立（2 分）所以 （a2b ） （2 x+2x）+2ab 2b22=0 恒成立所以 ，解得 或 （4 分）由定义域为 R 舍去 ，所以 （5 分）（法二）函数的定义域为 R，且 f（x）是奇函数，当 x=0 时，得 ，得 a=b+1， （1 分）当 x=1 时，f（1）+f（1）=0，得 ，解得： ，（3 分）此时 为奇函数； （4 分）所以 （5 分）（2）函数 f（x）为 R 上的单调增函数 （6 分）证明：设 x1，x 2 是 R 上的任意两个值，且 x1x 2，则= （8 分）因为 x1x 2，又 g（x）=2 x 为 R
19、上的单调增函数，所以 ，所以 f（ x1）f （x 2）0 ，即 f（x 1）f（x 2） ，所以函数 f（x）为 R 上的单调增函数 （10 分）（3）因为 f（lnm ）+f（2lnm1）1 3lnm，即 f（lnm）+lnmf （2lnm1）+12lnm而函数 f（x ）为 R 上的奇函数，所以 f（ lnm）+lnm f （1 2lnm）+1 2lnm （12 分）令 h（x）=f（x）+x ，下面证明 h（x）在 R 上的单调性：（只要说出 h（x）的单调性不扣分）设 x1，x 2 是 R 上的任意两个值，且 x1x 2，因为 x1x20，由（2）知 f（x 1） f（x 2）0，所
20、以 h（x 1）h（x 2）=f（x 1）+x 1（f（x 2）+x 2）=f（x 1）f （x 2）+（x 1x2）0，即 h（x 1）h（x 2） ，所以 h（x ）为 R 上的单调增函数因为 f（ lnm）+lnm f （1 2lnm）+1 2lnm，所以 h（lnm）h（12lnm）所以 lnm1 2lnm，（14 分）解得 ，所以实数 m 的范围是 （16 分）20 （16 分）已知二次函数 f（x ）对任意的 x 都有 f（x +2） f（x）=4x+4，且f（0）=0（1）求函数 f（x）的解析式；（2）设函数 g（x）=f（x）+m， （mR ） 若存在实数 a，b（ab ）
21、，使得 g（x）在区间a ，b上为单调函数，且g（ x）取值范围也为a，b，求 m 的取值范围；若函数 g（ x）的零点都是函数 h（x）=f（f（x） ）+m 的零点，求 h（x ）的所有零点【解答】解：（1）设二次函数 f（x ）的解析式为 f（x）=ax 2+bx+c，则 f（x+2） f（x ）=a（x+2） 2+b（x+2）+c（ax 2+bx+c）=4ax+4a+2b （2 分）由 f（x+2） f（x ）=4x+4 得（4a+4）x +4a+2b4=0 恒成立，又 f（0）=0所以 ，所以 ，所以 f（x ）= x2+4x（4 分）（2）g（x）=x 2+4x+m，对称轴 x=2
22、，g（x）在区间a ，b上单调，所以 b2或 a21 当 b2 时，g （x）在区间a，b上单调增，所以 ，即 a，b 为g（ x）=x 的两个根，所以只要 g（ x）=x 有小于等于 2 两个不相等的实根即可，所以 x23xm=0 要满足 ，得 （6 分）2当 a2 时，g（x）在区间a，b 上单调减，所以 ，即两式相减得（ba） （a+b5）=0 ，因为 ba，所以 a+b5=0，所以 m=a25a+5， ，得 （9 分）综上，m 的取值范围为 （10 分）（法一）设 x0 为 g（x）的零点，则 ，即，即m 24m+m=0，得 m=0 或 m=3（12 分）1当 m=0 时，h（x）=
23、（ x2+4x） 2+4（x 2+4x）=x（x 4） （x 24x+4）所以 h（x）所有零点为 0，2，4（14 分）2当 m=3 时，h（x）=（ x2+4x） 2+4（x 2+4x）3=（ x2+4x3） （x 2+4x1）（因为必有因式x 2+4x3，所以容易分解因式）由x 2+4x3=0 和x 2+4x1=0 得 ，所以 h（x）所有零点为 （16 分）（法二）函数 g（x）的零点都是函数 h（x）的零点，所以（x 2+4x） 2+4（x 2+4x）+m 中必有因式 x2+4x+m，所以可设：（x 2+4x） 2+4（x 2+4x）+m= （x 2+4x+m） （x 2+sx+t）展开对应系数相等得 或 （下同法一）
