2025年中考数学二轮复习：圆 压轴解答题练习题（含答案解析）

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1、2025年中考数学二轮复习：圆 压轴解答题练习题一解答题（共25小题）1在平面直角坐标系xOy中，O的半径为2，对于点P，Q和O的弦AB，给出如下定义：若弦AB上存在点C，使得点P绕点C逆时针旋转60后与点Q重合，则称点Q是点P关于弦AB的“等边旋转点”（1）如图，点P（2，0），直线x1与O交于点A，B点B的坐标为 ，点B （填“是”或“不是”）点P关于弦AB的“等边旋转点”；若点P关于弦AB的“等边旋转点”为点Q，则PQ的最小值为 ，当PQ与O相切时，点Q的坐标为 ；（2）已知点D（t，0），E（1，0），若对于线段OE上的每一点M，都存在O的长为23的弦GH，使得点M是点D关于弦GH的“

2、等边旋转点”，直接写出t的取值范围2在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若ACB，且点C关于弦AB的中点M的对称点在O上或其内部，则称点C为弦AB的“关联点”（1）已知点A(12，32)，B(1，0)在点C1(1，1)，C2(2，0)，C3(0，3)中，点 是弦AB的关联点，其中 若直线y=3x+b上存在AB的“60关联点”，则b的取值范围是 ；（2）若点C是AB的“60关联点”，且OC=3，直接写出弦AB的最大值和最小值3（1）如图1，在扇形AOB中，点O为扇形所在圆的圆心，AO=23，AOB120，点C是AB上一点，则ABC面积的最大

3、值为 ；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90，连接AC若AC6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，菱形ABCD是一个广场示意图，其中菱形边长AB为120米，A60，市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区DEBF，这块四边形区域需要满足BEBF，EBF60，EDF75，则这块四边形区域DEBF的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此时线段BF的长，若不存在，请说明理由（结果保留根号）4（1）课本再现：如图1，PA，PB是O的两条切线，切点分别为A，B则图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？请说明理由（2）知识应用：如图，PN、PD、DE分

4、别与O相切于点A、B、C，且DEPN，连接OD、OP，延长PO交O于点M，交DE于点E，过点M作MNOD交PN于N求证：MN是O的切线；当OD3cm，OP4cm时，求O的半径及图中阴影部分的面积5如图1，在正方形ABCD中，AB8，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是弧EF的三等分点（点M在点N的左侧）将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为（090），旋转后，点F的对应点为点F（1）如图2，在旋转过程中，当EF经过点N时求的度数；并求EN的长；连接FF，求FF与FN的长度，并比较大小；（3取1.7，取3）（2）在旋转过程中，若半圆O与

5、正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离6如图是由小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，O经过A，B，C三个格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示（1）在图（1）中画BC的中点D；（2）如图（2），延长BA至格点F处，连接CF直接写出F的度数，F （度）；P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90得到QB，画出线段QB，并简要说明7定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”）平行四边形一定不是“等对”四边形；

6、“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半； 顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形； （2）如图1，已知四边形ABCD（ADBC）既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在O上，连接四边形的对角线AC，BD交于点P记ADP，BCP，四边形ABCD的面积分别为S1，S2，S，求证：S=S1+S2；如图2，点M为AB的中点，连接MP并延长交CD于点N，若AD+BCm，MNn，求O的半径（用含m，n的式子表示）8我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理a、b、c分别是RtABE和Rt

7、CDE的边长，易知AD=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾氏方程”请解决下列问题：（1）方程x2+2x+10 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；（3）如图2，O的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB2m，CD2n，mn若关于x的方程mx2+102x+n=0是“勾氏方程”，连接OD，OB，求BOD的度数9课本再现（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证

8、其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”如图1，四边形ABCD为O的内接四边形，AC为直径，则BD 度，BAD+BCD 度（2）如果O的内接四边形ABCD的对角线AC不是O的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补知识运用（3）如图4，等腰三角形ABC的腰AB是O的直径，底边和另一条腰分别与O交于点D，E点F是线段CE的中点，连接DF，求证：DF是O的切线10模型建立如图、，点P分别在O外、在O内，直线PO分别交O于点A、B，则PA是点P到O上的点的最短距离，PB是点P到O上的点的最长距离问题解决请就图中PB为何最长进行证明初步应用（1）已知点P到O上的点的最短距离

9、为3，最长距离为7则O的半径为 （2）如图，在ABC中，C90，AC8，BC6点E在边BC上，且CE2，动点P在半径为2的E上，则AP的最小值是 拓展延伸如图，AB为O的直径，C为O上一点，其中AB4，AOC120，P为O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为 11AB为O的直径，BC为O的弦，AB=2BC（1）如图1，求证：AC=BC；（2）如图2，AD，AE为O的弦，AD交BC于点F，连接EF，OGAE，点G为垂足，过G作EF的平行线交AF于点H，求证：AHHF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO交AF于点P，点Q在AO上，连接FQ交OC于点I，连接HI，若

10、FQ+QOOB，PC8，BQ23，求HI的长12如图1，在锐角ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，连结BO并延长交AC于点D，交O于点G，设BAC（1）填空：当20时，则BDC （2）如图2，当060时，在BG左侧圆弧上取点E，使BE=BC，连结AE，DE，EG，设EG与AC交于点F求证：EG平分AED若EDG的一边与BC平行，且AF1，求DE的长13如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足APCBPD，则称CPD是弧CD的“幸运角”（1）如图2，AB是O的直径，弦CEAB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CPCPD是弧CD的“幸运角”吗？请说明理由；

11、设弧CD的度数为n，请用含n的式子表示弧CD的“幸运角”度数；（2）如图3，在（1）的条件下，若直径AB10，弧CD的“幸运角”为90，DE8，求CE的长14在平面直角坐标系xOy中，已知点T（t，0），T的半径为1，它的一条弦MN作两次变换：关于点M作中心对称后得到线段MP，关于点N作中心对称后得到线段NQ我们称点P、Q为T的对称点，称线段PQ为T的对称弦（1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数在线段AB，AD，CB，CD中，O的对称弦是 ；若线段AC上的点都是T的对称点，求t的取值范围；（2）若O的对称弦PQ过点（1，0），直线y=3x+b与线段PQ有公共点，b的取值范围是 15数

12、学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、D在O上，连结AB，AD，BC，CD，AC为O的一条直径，过点A作AEBD交BD于点E设ADE【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明ABEACD，请你帮助小明网学完成，ABEACD的证明过程【应用】小明同学发现，利用ABEACD可以解决如下问题：若SABESACD=49，则sin ；若AD5，CD10，sin=35，则BD的长为 16如图，AB是O的直径，AB8，点C在直径AB上运动，PCAB，垂足为C，PC5，在PC右侧作O的切线PT，切点为T，连接PO（1）如图1，当点C与点A重合时，连接BT求证：PAPT；直接写出此时P

13、O与BT的位置关系（不说理由）；（2）设线段OP与O交于点Q，如图2，当AC=47时，求劣弧QT的长；（3）直接写出PT长的最小值17在矩形ABCD中，AB3，AD4，点P从点C出发，在线段CB上向点B以每秒2cm的速度移动，以点P为圆心，PB为半径作P设运动时间为t秒解答下列问题：（1）如图1，当P过点D时，求时间t的值（2）如图2，若在运动过程中，是否存在t的值，使得P与直线AC相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当P与直线AD相切时，切点为E，T为弧BE上的任意一点，过点T作P的切线分别交AB，AD于点M，N，设BM长度为x求证：AMN的周长PT为定值；记AMN

14、的面积为S1，PMN的面积为S2，当1S1+12S2=98时，求x的值18定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点（1）如图1，AB、AC是O的等垂弦，ODAB，OEAC垂足分别为D，E求证：四边形ADOE是正方形；（2）如图2，AB是O的弦，作ODOA，OCOB分别交O于D，C两点，连接CD分别交AB、OA与点M、点E求证：AB，CD是O的等垂弦；（3）已知O的直径为10，AB、CD是O的等垂弦，P为等垂点若AP3BP求AB的长19如图1，以AB为直径的O与ABC的边BC交于点D，CADABC，点M是直径AB下方半圆上的一动点，连接AM，DMDM交A

15、B于点P（1）若AB4，BC=26，求tanM；（2）记ACD的面积为SACD，ABD的面积为SABD，若SACD：SABD=14，O的半径为5求线段CD的长；如图2，当动点M运动到恰好使得P为DM的中点时，ABC的角平分线交DM于点E，交AD于点F，求DEDP+DFAD的值；（3）如图3，连接BM，记APD的面积为S1，BPM的面积为S2，四边形AMBD的面积为S，若满足S=S1+S2，试判断四边形AMBD的形状，并说明理由20【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若ABACAD，BAC50，则BDC的度数为 ；（提示：以点A为圆心，AB为半径作A）【问题解决】（2）

16、如图2，在矩形ABCD中，已知AB3，BC4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MC，求线段MC的最小值；【实践应用】（3）如图3，有一块形状为等腰直角三角形的空地ACD，CAD90，在空地旁边有一条与CD边平行的小路a，小路a经过点A，现计划在小路a上找一点B，在DA的延长线上找一点P，沿着BC，BP修两条水渠，同时保证CBP90，当BP=502米，AD80米时，求两条水渠的交汇点B到A的距离21【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45

17、（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“”的基础上，小昕将PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP存在最大值若PE8，PF5，当DAP最大时，求AD的长；22如图，以AB为直径作O，C为O上一点，OQPABC，OQ与BC交于点G，AC6，BC8（1）如图1，当OP经过点C时

18、，PC （2）在（1）的条件下，求证：BGCG（3）如图2，将OQP从图1的位置开始绕点O顺时针旋转（OP与OB重合时停止转动），OP与BC交于点H，设PQ的中点M到BC的距离为d当OPAB时，求BH的长；直接写出旋转过程中d的最大值23已知，四边形ABCD内接于O，AD=BD，点T在BC的延长线上（1）如图1，求证：CD平分ACT；（2）如图2，若AC是O的直径，BE平分ABC交CD延长线于E，交O于F，连接AE，AF，DF求AED的度数；若CDAB=58，DEF的面积等于259，求AC的长24在ABC中，ACB90，AC3，BC4，延长BC到点D，使CD1，P是BC边上一点（不与点B，C重

19、合）点Q在射线BA上，PQBP，以点P为圆心，PD的长为半径作P，交AC于点E，连接PQ，设PCx（1）AB BD（填“”“”或“”），如图1，当点Q在P上时，x的值为 （2）如图2，当C为PD中点时，连接PE，求扇形DPE的面积（3）如图3，当P与AB相切时，求CDPC的值（4）若P与ABC的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围25阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质判定”的路径，由一般到特殊进行研究研究方法：观察（测量、实验）猜想推理证明研究内

20、容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形如图，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么ABBCCDDEEFFA，ACE，BDF，且AB性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 对角线：任务：（1）直接写出研究报告中“”处空缺的内容： ；（2）如图，六边形ABCDEF是等边半正

21、六边形连接对角线AD，猜想BAD与FAD的数量关系，并说明理由；（3）如图，已知ACE是正三角形，O是它的外接圆请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）参考答案与试题解析一解答题（共25小题）1在平面直角坐标系xOy中，O的半径为2，对于点P，Q和O的弦AB，给出如下定义：若弦AB上存在点C，使得点P绕点C逆时针旋转60后与点Q重合，则称点Q是点P关于弦AB的“等边旋转点”（1）如图，点P（2，0），直线x1与O交于点A，B点B的坐标为 （1，3），点B 是（填“是”或“不是”）点P关于弦AB的“等边旋转点”；若点P关于弦AB的“等边旋转点”为点Q，

22、则PQ的最小值为 3，当PQ与O相切时，点Q的坐标为 （2，23）；（2）已知点D（t，0），E（1，0），若对于线段OE上的每一点M，都存在O的长为23的弦GH，使得点M是点D关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出t的取值范围【考点】圆的综合题版权所有【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力【答案】（1）（1，3），是；3，（2，23）；（2）2t233或1t1312【分析】（1）连接OA，OB，设AB交x轴于点C，可求得AOB2AOC120，ACBC=3，进一步得出结果；将PB绕点B逆时针旋转60至PB，可得出AB上点是点P关于AB的“

23、等边旋转点”，当PQAB时，PQ最小，当PQ与O相切时，点Q在B处，进一步得出结果；（2）将点O逆时针旋转60得O，则点O在直线y=3x上，对于线段OE上的每一点M，点M是点D关于GH的“等边旋转点”需要满足在以O为圆心，半径为1和半径为2形成的圆环覆盖OM，分类：当半径为2的圆O过点O时；当半径为1的O与OD相切时，作OHx轴于H，则OH1；当半径为1的O与x轴相切时，ODOO1；当半径为2的O过点E时，连接OE，作OFDE于F，则OE2，分别求得t的值，进一步得出结果【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，设AB交x轴于点C，ABx轴，cosAOC=OCOA=12，AOC60，OAOB，

24、AOB2AOC120，ACBCOBsinAOC2cos60=3，P=12AOB=60，APBP，B（1，3），ABP是等边三角形，点B是点P关于弦AB的“等边旋转点”，故答案为：（1，3），是；如图2，将PB绕点B逆时针旋转60至PB，点B是点P关于弦AB的“等边旋转点”，点B是点P关于弦AB的“等边旋转点”，AB上点是点P关于AB的“等边旋转点”，当PQAB时，PQ最小=32PB=32AB=3223=3，PBB是等边三角形，BPB60，PBO30，BPO90，BPOP，BP是O的切线，当PQ与O相切时，点Q在B处，Q（2，23），故答案为：3，（2，23）；（2）如图31，将点O逆时针旋转6

25、0得O，则点O在直线y=3x上，对于线段OE上的每一点M，点M是点D关于GH的“等边旋转点”需要满足在以O为圆心，半径为1和半径为2形成的圆环覆盖OM，当半径为2的圆O过点O时，OOD是等边三角形，ODOD2，此时t2，如图32，当半径为1的O与OD相切时，作OHx轴于H，则OH1，OH=33OH=33，OD2OH=233，此时t=233，2t233，如图33，当半径为1的O与x轴相切时，ODOO1，此时t1，如图34，当半径为2的O过点E时，连接OE，作OFDE于F，则OE2，设OFFDa，则OF=3a，EF1+a，OFE90，OF2+EF2OE2，(3a)2+(1+a)2=22，a=131

26、4或a=1314（舍去），OD2a=1312，1t1312，综上所述：2t233或1t1312【点评】本题在新定义的基础上，考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键根据定义作旋转的辅助线2在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若ACB，且点C关于弦AB的中点M的对称点在O上或其内部，则称点C为弦AB的“关联点”（1）已知点A(12，32)，B(1，0)在点C1(1，1)，C2(2，0)，C3(0，3)中，点 C3是弦AB的关联点，其中 60若直线y=3x+b上存在AB的“6

27、0关联点”，则b的取值范围是 0b2+3；（2）若点C是AB的“60关联点”，且OC=3，直接写出弦AB的最大值和最小值【考点】圆的综合题版权所有【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力【答案】（1）C3，60；0b2+3；（2）AB最小1，AB最大=3【分析】（1）画出图形，直观判定；作等边三角形ABC，作ABC的外接圆，当直线l：y=3x+b与I相切于点E时，连接AC3，连接IE，作C3FDE于F，设l交y轴于点D，则I的半径为IE1，可得DC3FOAC360，AC3直线l，进一步得出结果；（2）当ABC是等边三角形时，AB最小，此时

28、OCAB，设OC交AB于D，在RtAOD根据勾股定理列出方程，进一步得出结果；当CAB90时，AB最大，作ODAB于D，作OEAC于E，设AC2x，AEOBy，则AB=3AC=23x，OD=3x在RtAOD和RtCOE中，根据勾股定理列出方程组，进一步得出结果【解答】解：（1）如图1，点C1和C2关于AB的中点的对称点在O外，C3（1120，0+323），即（12，32），（12）2+(32)2=1，点C3在圆上，点C是弦AB的关联点，tanACO=|xA|yCyA=33，ACO60，同理可得：BCO30，ACB60，故答案为：C3，60；如图2，作等边三角形ABC，作ABC的外接圆，当直线l

29、：y=3x+b与I相切于点E时，连接AC3，连接IE，作C3FDE于F，设l交y轴于点D，则I的半径为IE1，可得DC3FOAC360，AC3直线l，C3FIE1，DC32C3F2，bOC3+CE2+3，当直线y=3x+b过点B时，b0，0b2+3；（2）如图3，当ABC是等边三角形时，AB最小，此时OCAB，设OC交AB于D，ADBD=12AB，ACDBCD=12ACB=30，CD=3AD，在RtAOD中，AD2+OD2OA2，OD2+(33AD)2=12，AD=12，AB1，如图4，当CAB90时，AB最大，作ODAB于D，作OEAC于E，设AC2x，AEOBy，则AB=3AC=23x，O

30、D=3x在RtAOD和RtCOE中，由OD2+AD2OA2，CE2+OE2OC2得，(3x)2+y2=12(3x)2+(2x+y)2=(3)2，x=12y=12，AB23x=3，AB最小1，AB最大=3【点评】本题在新定义的基础上，考查了直线和圆，圆与圆位置关系，圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是确定点的运动位置3（1）如图1，在扇形AOB中，点O为扇形所在圆的圆心，AO=23，AOB120，点C是AB上一点，则ABC面积的最大值为33；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90，连接AC若AC6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，菱形ABCD是一

31、个广场示意图，其中菱形边长AB为120米，A60，市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区DEBF，这块四边形区域需要满足BEBF，EBF60，EDF75，则这块四边形区域DEBF的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此时线段BF的长，若不存在，请说明理由（结果保留根号）【考点】圆的综合题版权所有【专题】几何综合题；运算能力；推理能力【答案】（1）33；（2）18；（3）四边形DEBF的最小值为（3600336002+3600）m2，BF（603602+60）m【分析】（1）过O作OHAB于H，延长OH交扇形AOB于D，根据等腰三角形的性质得到AOH=12AOB=1212

32、0=60，OH=12OA=3，根据勾股定理得到AH=OA2OH2=3，求得AB2AH6，得到DH233=3，当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，当点C与点D重合时，点C到AB的距离最大，于是得到结论；（2）将ACD绕点A顺时针旋转90得到ABE，说明ABE+ABC180，则点E、B、C三点共线，得四边形ABCD的面积SACE18；（3）连接CF，BD，根据等边三角形的性质得到BDBC，DBC60，根据全等三角形的判定定理得到EBDFBC（SAS），得到SDEBFSEBD+SBDFSBFC+SBDF，求得DFC135，作DFC的外接圆，圆心为O，连接OD，OC，OF，得到ODOFOC60

33、2cm，过O作ONOC于N，交O于F，过F作FMCD于M，过O作OHFM于H，由FOHF，四边形MNOH是矩形，FOFO，得到FOHF，FOONFHMH，推出FNFM，当F与F重合时，FM最大为FN，求得FN（60260）m，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）过O作OHAB于H，延长OH交扇形AOB于D，AOBO23，AOH=12AOB=12120=60，OH=12OA=3，AH=OA2OH2=3，AB2AH6，DH233=3，当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，当点C与点D重合时，点C到AB的距离最大，SACB=12ABDH=1263=33；即ABC面积的最大值是33

34、；故答案为：33；（2）如图，将ACD绕点A顺时针旋转90得到ABE，ADCABE，ACAE，EAC90，BADDCB90，ADC+ABC180，ABE+ABC180，点E、B、C三点共线，ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积SACE=126618；（3）连接CF，BD，四边形ABCD是菱形，A60，DBC是等边三角形，BDBC，DBC60，EBF60，BEBF，EBDFBC，EBDFBC（SAS），SDEBFSEBD+SBDFSBFC+SBDF，EDF75，E+DFB3606075225，BFC+DFB225，DFC135，作DFC的外接圆，圆心为O，连接OD，OC，OF，DFC13

35、5，OC120m，DOC90，ODOFOC602cm，过O作ONOC于N，交O于F，过F作FMCD于M，过O作OHFM于H，FOHF，四边形MNOH是矩形，FOFO，FOHF，FOONFHMH，FNFM，当F与F重合时，FM最大为FN，DNNOCN=12OC60（m），FN（60260）m，SDFC的最大值=12DCFN=12120(60260)=（3602360）m2，SBDF+SBFC的最大值SBDCSDFC=341202（360023600）3600336002+3600，四边形DEBF的最小值为（3600336002+3600）m2，此时，BF603FN603（60260）（60360

36、2+60）m【点评】本题是四边形综合题，主要考查了四边形内角和定理，圆的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用旋转构造等腰直角三角形是解决问题（3）的关键4（1）课本再现：如图1，PA，PB是O的两条切线，切点分别为A，B则图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？请说明理由（2）知识应用：如图，PN、PD、DE分别与O相切于点A、B、C，且DEPN，连接OD、OP，延长PO交O于点M，交DE于点E，过点M作MNOD交PN于N求证：MN是O的切线；当OD3cm，OP4cm时，求O的半径及图中阴影部分的面积【考点】圆的综合题版权所有【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推

37、理能力【答案】（1）PAPB，APOBPO；（2）证明见解析；O的半径是2.4cm，图中阴影部分的面积是（61.44）cm2【分析】（1）连接OA和OB，根据切线的性质，可得RtAOPRtBOP，即可得出结论；（2）根据题意求证MNOD，即可得出MNOM，即可得出答案；根据SPOD=12OPOD=12PDOB，求出OB的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案【解答】（1）解：PAPB，APOBPO；理由如下：如图1，连接OA和OB，PA和PB是O的两条切线，OAAP，OBBP，在RtAOP和RtBOP中，OA=OBOP=OP，RtAOPRtBOP（HL），PAPB，APOBPO；（2）证明

38、：PN、PD、DE分别与O相切于点A、B、C，OD、OP分别平分PDE、DPN，又DEPN，PDE+DPN180，ODP+DPO=12(PDE+DPN)=12180=90，POD90ODDE，又MNOD，MNOM，又MN经过半径OM的外端点M，MN是O的切线解：连接OB，则OBPD，OD3cm，OP4cm，PD=OD2+OP2=32+42=5（cm），SPOD=12OPOD=12PDOB，OB=OPODPD=2.4cm，即O的半径为2.4cmS阴影=123490242360=(61.44)cm2，综上所述：O的半径是2.4cm，图中阴影部分的面积是（61.44）cm2【点评】本题属于圆的综合题

39、，主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等5如图1，在正方形ABCD中，AB8，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是弧EF的三等分点（点M在点N的左侧）将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为（090），旋转后，点F的对应点为点F（1）如图2，在旋转过程中，当EF经过点N时求的度数；并求EN的长；连接FF，求FF与FN的长度，并比较大小；（3取1.7，取3）（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离【考点】圆的综合题版权所有【

40、专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力【答案】（1）30；EN=53；FN的长为53；FF=5652；FFFN的长度；（2）113或21或3【分析】（1）连接BN，过点B作BLEN于点L，则EN2EL，根据题意可得NBF=13180=60，再由BEBN，以及三角形外角的性质，即可求解；根据弧长公式求出FN的长；过点FWEF于点W，根据直角三角形的性质可得FW=12EF=5，从而得到EW=53，进而得到WF=1053，再由勾股定理可得FF2=200100330，即可求解；（2）分类讨论当半圆O与CD、AD、AB相切的三种情况，画出对应的几何图，根据切线的性质即可求解【解答】解：（1）

41、如图2，连接BN，过点B作BLEN于点L，则EN2EL，点M，N是弧EF的三等分点，NBF=13180=60，BEBN，BENBNE，NBFBEN+BNE，BEN30，即30；BL=12BE=52，EL=532，EN=2EL=53；根据题意得：FBN2FEN60，FN的长为605180=535；如图3，过点FWEF于点W，在RtEFW中，BEN30，EF10，FW=12EF=5，EW=53，WF=1053，FF2=FW2WF2=200100330，即FF=FW2WF2=5652；3052，FFFN的长度；（2）解：点A到切点的距离为113或21或3；理由如下：有三种情况讨论：当半圆O与CD相切时，如图4：设切点为点G，连接OG并延长，交AB与点H，连接AG，HG