2025年中考数学二轮复习：二次函数 压轴解答题练习题（含答案解析）

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1、2025年中考数学二轮复习：二次函数 压轴解答题练习题一解答题（共20小题）1（2024楚雄州一模）网络直播带货已经成为一种热门的销售方式某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克设销售枇杷的日获利为w（元）销售单价x（元）2227日销量y（千克）200150（1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？2（2024沈丘县一模）如图，抛物线：yx2+bx+

2、c的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），直线yx+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F（1）求抛物线的解析式和E点坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由3（2024新泰市一模）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），且顶点P的坐标为（1，3）（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点D(52，34)，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD求MCD面积的最大值及此时点M的横坐

3、标；（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90，点C的对应点为F，直线PF交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由4（2024雅安模拟）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天

4、的利润最大？最大利润是多少元？5（2024红塔区三模）在二次函数yx22tx+3（t0）中，（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0x3时，y的最小值为2，求出t的值6（2024金乡县三模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件设销售单价为x元（销售单价不低于35元）（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？（2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（3）当销售单

5、价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？7（2024德城区一模）以x为自变量的两个函数y与g，令hyg，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数yx2与g2x1它们的“相关函数”为hygx22x+1hx22x+1（x1）20恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，yg恒成立（1）已知函数yx2+mx+n与函数g4x+1相交于点（1，3）、（3，13），求函数y与g的“相关函数”h；（2）已知以x为自变量的函数y3x+t与gx2，当x1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h0恒成立，求t的取值范围；（3）已知以x

6、为自变量的函数yax2+bx+c与g2bxc（a、b、c为常数且a0，b0），点A(12，0)、B（2，y1）、C（1，y2）是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2cy2y1，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围8（2024市中区校级一模）如图，已知抛物线yax2+bx+5与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DFx轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由（

7、3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标9（2024武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x2与x轴交于点C，直线y2x1经过抛物线上一点B（2，m），且与y轴、直线x2分别交于点D、E，点D是BE的中点（1）求m的值；（2）求该抛物线对应的函数关系式；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PBPE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由10（2024浉河区二模）综合与实践某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查，刹车距离【知识背景】“道路千

8、万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间0123刹车后行驶的距离y0274863发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：（1）求y关于t的函数解析式（不要

9、求写出自变量的取值范围）；（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由11（2024天长市二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线yax2+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线与直线AC的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，且使得|PAPC|的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点M，N，若PMN的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点D是线段AC上（不含端点A，C）的一

10、个动点，过点D作直线DEAB，交直线l于点E，过点E作EFAB，垂足为点F，求线段DF的最小值12（2024柳州一模）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军，女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球

11、的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m01234竖直高度y/m2.03.03.63.83.6在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接：结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度；已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系ya（x3）2+4.25，若投篮成功，求此时韩旭距篮筐中心的水平距离d的取值范围13（2024朝阳区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c

12、（a0）的对称轴为直线xt，点A（t，m），B（2t，n），C（x0，y0）在抛物线上（1）当t2时，直接写出m与n的大小关系；（2）若对于5x06，都有my0n，求t的取值范围14（2024喀什地区一模）如图，在RtABC，ABC90，该三角形的三个顶点均在坐标轴上二次函数yax2+bx+c过A（1，0），B（0，2），C（4，0）（1）求二次函数的解析式；（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当BCP的面积最大时，求P点的坐标；（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标15（2024电白区一模）在2024年元旦即将到来之际，学校准备

13、开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线yax245x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米（1）如图2，两墙AB，CD的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为15，

14、若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当2n94时，求m的取值范围16（2024中原区校级三模）水龙头关闭不严会造成滴水为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5min记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据时间t/min510152025水量y/mL173247a77（1）探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量y与时间t的关系：y=mt，ykt+b，ypt2+qt+r，你认为选用函数 （填序号）模拟

15、最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的a值；（2）应用：兴趣小组用100mL量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？成年人每天大约需饮水1600mL，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数）17（2024万山区一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米某次模拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1C2C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A(32

16、，38)，点B的横坐标为32，抛物线C1表达式为yax22ax和抛物线C3表达式为y2ax2+bx（a0）（1）求抛物线C1的函数表达式；（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？18（2024龙马潭区二模）如图，抛物线yax2+5ax+b经过点D（1，5），且交x轴于A（6，0），B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（1）求抛物线的解析式（2）如图1，过点D作DMx轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PEAD，PFDM，求2PE+PF的

17、最大值，以及此时点P的坐标（3）将原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得CAG45，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程19（2024重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A（8，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线CD交x轴于点D（2，0），点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PHy轴交直线CD于点H，在直线CD上取点Q，连接PQ，使得HQPQ，求2PQ54PH的最大值及此时P点的坐标；（3）连接BC，把原抛物线y=14x2+bx+c沿射线

18、BC方向平移25个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接AM，直接写出所有使得AMNABC的点M的横坐标20（2024临沂一模）乒乓球被誉为中国国球2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）测得如下数据：水平距离 x/cm01050901301702

19、30竖直高度 y/cm28.7533454945330（1）当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；求满足条件的抛物线解析式；（2）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练如图乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的OA值（乒乓球大小忽略不计）参考答案与试题解析一解答题（共20小题）1（

20、2024楚雄州一模）网络直播带货已经成为一种热门的销售方式某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克设销售枇杷的日获利为w（元）销售单价x（元）2227日销量y（千克）200150（1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用版权所有【专题】二次函数的应用；运算能力【答案】（1）y10x+420；（2）当销售单价定为31元时，销售这种

21、枇杷的日获利w最大，最大利润为1210元【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；（2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得【解答】解：（1）设日销售量y与销售单价x的函数关系式为ykx+b（k0），由题意得：22k+b=20027k+b=150，解得k=10b=420，则日销售量y与销售单价x的函数关系式为y10x+420；（2）由题意得：w（10x+420）（x20）10x2+620x840010（x31）2+1210，20x32，100，由二次函数的性质可知，当x31时，w取得最大值，最大值为1210，答：当销售单价定为31元时，销售这

22、种枇杷的日获利w最大，最大利润为1210元【点评】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键2（2024沈丘县一模）如图，抛物线：yx2+bx+c的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），直线yx+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F（1）求抛物线的解析式和E点坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由【考点】二次函数综合题版权所有【答案】（1）抛物线的解析式为yx2+2x3，点E的坐标为（2，5）；（2）点P的坐标为（

23、0，7）或（0，5）【分析】（1）把B（3，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，求出抛物线解析式，把B（3，0）代入yx+m，求出直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式求出点E的坐标；（2）通过坐标求出DE和BD的长，利用分类讨论思想分BODPED和BODEPD两种情况，从而求出点P的坐标【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，得93b+c=0c=3，解得b=2c=3，抛物线的解析式为yx2+2x3，把B（3，0）代入yx+m，直线BE的解析式为yx+3，y=x2+2x3y=x+3，解得x=2y=5或x=3y=0（点B的坐标，舍去），点E的坐标为（2，5）；（2

24、）把x0代入yx+3，得y3，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，5），点B的坐标为（3，0），DE=22，BD=32，由于点P在y轴上，设P（0，a），则PDa3，若BODPED，得ODDE=BDPD，即322=32PD，解得PD4，点P的坐标为（0，7），若BODEPD，得BDDE=OPPD，即3222=3PD，解得PD2，点P的坐标为（0，5），综上所述，点P的坐标为（0，7）或（0，5）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，求两函数交点的坐标，相似三角形的性质，第（2）题的难点在于利用分类讨论思想求出点P的坐标3（2024新泰市一模）在平面直角坐标系中，二次函

25、数yax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），且顶点P的坐标为（1，3）（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点D(52，34)，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD求MCD面积的最大值及此时点M的横坐标；（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90，点C的对应点为F，直线PF交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由【考点】二次函数综合题版权所有【专题】代数几何综合题；分类讨论；图形的全等；推理能力【答案】（1）yx22x+

26、2；（2）点M的横坐标为：54时，MCD面积的最大值为12564；（3）能求出点E的坐标，点E的坐标为（2，2）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由MCD面积SMHD+SMHC，即可求解；（3）证明QNFCHQ（AAS），得到CG2tQN，QH1FN，则点F（t3，t+1），求出直线PF的表达式，进而求解【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：ya（xh）2+ka（x+1）2+3，当x0时，ya（0+1）2+32，解得：a1，则抛物线的表达式为：y（x+1）2+3x22x+2；（2）如图1，过点M作MHy轴交CD于点H，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=12x+2，设点M（m，

27、m22m+2），点H（m，12m+2），则MCD面积SMHD+SMHC=12MH（xCxD）=12（m22m+2）（m+2）52=54（m2+52m），540，故函数由最大值，当m=54时，MCD面积的最大值为12564；（3）能求出点E的坐标，理由：设点Q（1，t），如图2，当点Q在点C的下方时，过点Q作x轴的平行线交y轴于点H，交过点F与y轴的平行线于点N，FQN+QFN90，FQN+CQH90，FNQQCH，NCHQ90，CQQF，QNFCHQ（AAS），CH2tQN，QH1FN，点F（t3，t+1），由点P、F的坐标得，直线PF的表达式为：yx+4，联立得：x+4x22x+2，解得：x

28、2（不合题意的值已舍去），即点E（2，2）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质4（2024雅安模拟）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？

29、最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式版权所有【专题】一次函数及其应用；应用意识【答案】见试题解答内容【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为ykx+b（k0），由待定系数法求解即可；（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；（3）将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为ykx+b（k0），将（30，150）；（80，100）分别代入得：30k+b=15080k+

30、b=100，解得：k=1b=180，y与x之间的函数关系式为yx+180；（2）设利润为w元，由题意得：w（x30）（x+180）x2+210x5400，wx2+210x5400（30x80）；令x2+210x54003600，解得x60或x150（舍），如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；（3）由（2）知，w（x105）2+5625，10，当x105时，w随x的增大而增大，30x80，当x80时，w最大，最大为5000元当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元【点评】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的

31、数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键5（2024红塔区三模）在二次函数yx22tx+3（t0）中，（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0x3时，y的最小值为2，求出t的值【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值版权所有【专题】二次函数图象及其性质；应用意识【答案】（1）32；（2）t=5【分析】（1）将点坐标代入解析式，求解；（2）分情况讨论：t3时，对称轴在直线x3右侧或与x3重合，t3时，分别确定自变量取值范围内的函数极值，建立方程求解【解答】解：（1）图象经过点（2，1），44t+31，解得t=32（2）yx22tx+3（xt）2+3

32、t2，xt时，y最小值=3t2t3时，对称轴在直线x3右侧或与x3重合，y最小值=322t3+3=6t+12=2，解得t=73（舍去）；t3时，对称轴在直线x3左侧，y最小值=3t2=2，解得t=5（舍去）或t=5；综上，t=5【点评】本题考查二次函数的性质，根据自变量取值范围确定函数极值是解题的关键6（2024金乡县三模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件设销售单价为x元（销售单价不低于35元）（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售

33、时，每天的销售量为多少件？（2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用版权所有【专题】二次函数的应用；应用意识【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据儿童玩具进价为每件30元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%，求出x的取值范围；（2）根据总利润每件利润销售量列出函数解析式；（3）根据（2）中解析式，由函数的性质和x的取值范围求出最大值【解答】解：（1）x30（1+50%）45，x45，当x45时，每天的销售量为3505045355=250（件）

34、，当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；（2）根据题意得，w（350x35550）（x30）（10x+700）（x30）10x2+1000x21000，这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为w10x2+1000x21000；（3）w10x2+1000x2100010（x50）2+4000，a100，对称轴x50，x45，当x45时，w最大10（4550）2+40003750，答：当销售单价为45时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件7（20

35、24德城区一模）以x为自变量的两个函数y与g，令hyg，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数yx2与g2x1它们的“相关函数”为hygx22x+1hx22x+1（x1）20恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，yg恒成立（1）已知函数yx2+mx+n与函数g4x+1相交于点（1，3）、（3，13），求函数y与g的“相关函数”h；（2）已知以x为自变量的函数y3x+t与gx2，当x1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h0恒成立，求t的取值范围；（3）已知以x为自变量的函数yax2+bx+c与g2bxc（a、b、c为常数且a0，b0），点A

36、(12，0)、B（2，y1）、C（1，y2）是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2cy2y1，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围【考点】二次函数综合题版权所有【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力【答案】（1）hx22x3；（2）t4；（3）函数w的图象截x轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1【分析】（1）利用待定系数法求得yx2+2x2，进而得到hyg（x2+2x2）（4x+1）x22x3；（2）首先推导出相关函数hyg2x+t+2，进而得到当x1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h0恒成立，h2x+t+20（x1）恒成立，当x1 时

37、，wt+4，当x1时，t+40恒成立，所以t4；（3）函数yax2+bx+c与g2bxc，推导出hax2+3bx+2c，进一步解得y14a6b+2c，y2a+3b+2c，从而得到c=18a34b，由2cy2y1，推导了出2ca+3b+2c4a6b+2c，得到13ba13且ba0，最后求得函数h的图象截x轴得到的线段长度为：|x1x2|=(x1+x2)24x1x2=9b2a28ca=9b2a28(a83b4)a=9b2+a2+6aba2=|a+3ba|=|1+3t|，进而得到13t13且t0【解答】解：（1）已知函数 yx2+mx+n与函数g4x+1相交于点 （1，3）、（3，13），代入得：(

38、1)2m+n=332+3m+n=13，解得m=2n=2，函数yx2+2x2，hyg（x2+2x2）（4x+1）x22x3；（2）函数y3x+t与gx2，相关函数hyg2x+t+2，当x1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h0恒成立，h2x+t+20（x1）恒成立，当x1 时，w21+t+2t+4，当x1时，t+40恒成立，所以t4；（3）函数yax2+bx+c与g2bxc，hax2+3bx+2c，将点 A(12，0)，B（2，y1），C（1，y2）代入解析式得：14a+32b+2c=0，y14a6b+2c，y2a+3b+2c，c=18a34b，2cy2y1，2ca+3b+2c4a6

39、b+2c，解不等式得：13ba13且ba0，令t=ba，则13t13且t0，设函数h与x轴交于 （x1，0），（x2，0），x1 x2是方程ax2+3bx+2c0的两根，x1+x2=3ba x1x2=2ca函数h的图象截x轴得到的线段长度为：|x1x2|=(x1+x2)24x1x2=9b2a28ca=9b2a28(a83b4)a=9b2+a2+6aba2=|a+3ba|=|1+3t|，13t13且t0，0|1+3|2且|1+3t|1，即0|x1x2|2且|x1x2|1，函数w的图象截x轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1【点评】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，涉及

40、新定义，解题的关键是读懂题意，理解“相关函数“的定义8（2024市中区校级一模）如图，已知抛物线yax2+bx+5与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DFx轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标【考点】二次函数综合题版权所有【专题】代数几何综合题；函数的综合应用【答案】见试题解答内容【分析】（1

41、）利用待定系数法求解可得；（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为yx+5，设D（x，x2+4x+5），则E（x，x+5），F（x，0），（0x5），则DEx2+5x，EFx+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF2：3时，SBDE：SBEF2：3；当DE：EF3：2时，SBDE：SBEF3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC250，MC2t210t+29，MB2t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2MB2时，BCM为直角三角形，则50+t210t+29t

42、2+9；当BC2+MB2MC2时，BCM为直角三角形，则50+t2+9t210t+29；当MC2+MB2BC2时，BCM为直角三角形，则t210t+29+t2+950，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标【解答】解：（1）将A（1，0），B（5，0）代入yax2+bx+5，得：ab+5=525a+5b+5=0，解得a=1b=4，则抛物线解析式为yx2+4x+5；（2）能设直线BC的解析式为ykx+m，把C（0，5），B（5，0）代入得m=55k+m=0，解得k=1m=5，所以直线BC的解析式为yx+5，设D（x，x2+4x+5），则E（x，x+5），F（x，0），（0x5），D

43、Ex2+4x+5（x+5）x2+5x，EFx+5，当DE：EF2：3时，SBDE：SBEF2：3，即（x2+5x）：（x+5）2：3，整理得3x217x+100，解得x1=23，x25（舍去），此时D点坐标为（23，659）；当DE：EF3：2时，SBDE：SBEF3：2，即（x2+5x）：（x+5）3：2，整理得2x213x+150，解得x1=32，x25（舍去），此时D点坐标为（32，354）；综上所述，当点D的坐标为（23，659）或（32，354）时，直线BC把BDF分成面积之比为2：3的两部分；（3）抛物线的对称轴为直线x2，如图，设M（2，t），B（5，0），C（0，5），BC252+5250，MC222+（t5）2t210t+29，MB2（25）2+t2t2+9，当BC2+MC2MB2时，BCM为直角三角形，BCM90，即50+t210t+29t2+9，解得t7，此时M点的坐标为（2，7）；当BC2+MB2MC2时，BCM为直角三角形，CBM90，即50+t2+9t210t+29，解得t3，此时M点的坐标为（2，3）；当MC2+MB2BC2时，BCM为直角三角形，CMB90，即t210t+29+t2+950，解得t16，t21，此时M点的坐标为（2，6）或（2，1），综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，3），（2，6），（2，1）