2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题 压轴练习题（含答案）

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1、2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题 压轴练习题一、选择题1已知点M是抛物线y=x22mx+m2+m1（m为常数）的顶点，直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点，则ABM的面积为（）A62B6C4D322如图，抛物线L1:y=a2+bx+c(a0)与x轴只有一个公共点A(2,0)，与y轴交于点B(0,4)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（）A4B2C6D83已知等腰直角ABC的斜边AB=42，正方形DEFG的边长为2，把ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将ABC沿AB方向以每秒2个单

2、位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动在移动过程中，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间ts的函数图象大致是（）ABCD二、填空题4如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线yx2上的两点，在y轴上有一动点P，当PAB的周长最小时，则此时PAB的面积为 5如图，在平面直角坐标系中，已知点A8,0，点B0,6，点C为线段AB中点，点D为线段OA上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转90得到线段CE，连接OE，则OED面积的最大值为 三、解答题6已知抛物线y=x2+bx3（b是常数）经过点A2,3（1）求该抛物线的表达式；（2）点A关于抛物线的对称轴的对称点为A，求抛物线顶点

3、P与点A、A所围成的三角形的面积7如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A1,0，B3,0两点，顶点为D（1）求此二次函数的解析式（2）求ABD的面积8如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0,3)，其顶点为C，对称轴为直线x=1（1）求抛物线的解析式；（2）判断ABC的形状；（3）已知点M为线段AB上方抛物线上的一个动点，请写出ABM面积关系式，并求出当ABM面积最大时点M的坐标9已知二次函数y=x2+bx+ca0的图象与x轴的交于A、B1,0两点，与y轴交于点C0,3（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第

4、三象限内的点，求ACD面积的最大值及此时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点N的坐标10如图，抛物线y=a(x1)(x3)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设SBCD:SABD=k，求k的值；（3）当BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式11如图，抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点CAC=10，OB=OC=3OA（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使PCB的面

5、积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由12已知抛物线y=ax2+bx+ca0经过点M2,92和N2,72两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）若点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点P的坐标；（3）若Bm,0，且1m3，求a的取值范围13在四边形ABCD中，ADBC1，ABCD2，BD=5

6、点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB于点F（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）设DEx，求AEF的面积S关于x的函数表达式（3）在点E运动过程，当AEF的某一个内角等于BDC时，求所有满足条件的AF的长14如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B，C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作CPBD，点P的横坐标为m（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）当CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为 ；（3）当CPBD是菱形时，

7、求m的值（4）当m为何值时，CPBD的面积有最大值？15“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a-c|+|b-d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）=|a-c|+|b-d|已知二次函数y1的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（1，0），B（0，3），点C在直线x2上运动，且满足L（B，C）BC（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2=2tx+1是该坐标系内的一个一次函数若D，E是y2=2tx+1图像上的两个

8、动点，且DE=5，求CDE面积的最大值；当txt+3时，若函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值（补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点A（x1，y1），B(x2，y2），则AB=(x1x2)2+(y1y2)2）答案解析部分1【答案】B2【答案】D3【答案】C4【答案】65【答案】4986【答案】（1）解：抛物线y=x2+bx3（b是常数）经过点A2,33=22+2b3，解得：b=2，抛物线的表达式为y=x22x3；故答案为：y=x22x3.（2）解：抛物线y=x22x3=x124，抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标P1,4， 点A关于抛物线的对称轴的对称点为A，A2,3A0,

9、3，AA=2，AAP的高为1，如图所示：SAAP=1221=1，点P与点A、A所围成的三角形的面积为1，故答案为：1.7【答案】（1）解：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A1，0，B3，0两点，y=x+1x3=x22x3，二次函数的解析式为y=x22x3故答案为：y=x22x3；（2）解：y=x22x3=(x1)24，点D的坐标为1，4，点D到AB的距离为4，A1，0，B3，0，AB=4，SABD=1244=8故答案为：8.8【答案】（1）解： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3，0)，对称轴为直线x=1与x轴的另外一个交点为（-1，0）可设y=ax+1x3.与y轴的

10、交点为B(0,3)，3=(-3)a，解得：a=-1，抛物线的解析式为y=x+1x3=x2+2x+3（2）解：y=x2+2x+3，当x=1时，y=-1+2+3=4，顶点C(1,4)，A(3，0)，B(0,3)，AB=32,AC=312+042=25,BC=2，BC2+AB2=2+18=20，AC2=20BC2+AB2=AC2，ABC=90，ABC是直角三角形（3）解：过点A(3，0)，B(0，3)，线段AB所在直线的解析式为：y=-x+3，（0x3）.将直线AB向上平移a个单位，使经过点M，则y=-x+3+a，记平移后的直线为MD，点D为平移后的直线与x轴的交点，故D(3+a，0)，过点A作AE

11、MD于点E，如图：则AOBDEA，OBAB=AEADOA=OB=3，AB=OA2+OB2=32，AD=a332=AEa，AE=2a2SABM=12ABAE=12322a2=3a2，联立y=x+3+a和y=x2+2x+3得x23x+a=0，=b24ac=94a0a94.SABM=3a23294=278.即当a=94时，ABM面积的最大值为278此时x23x+94=0，x=32.故点M坐标32,1549【答案】（1）解：把B1,0，C0,3代入y=x2+bx+c得，1+b+c=0c=3，解得b=2c=3，二次函数的表达式为y=x2+2x3，当y=0时，x2+2x3=0，解得x1=1，x2=3，A3

12、,0；（2）解：连接AD、CD，设直线AC的表达式为y=kx+n，把A3,0、C0,3代入得，0=3k+n3=n，解得k=1n=3，直线AC的表达式为y=x3，过点D作x轴的垂线，交AC于点G，则SACD=SADG+SCDG=12DGOA=12DG3=32DG，当DG取最大值时，ACD的面积最大，设Dm,m2+2m3，则Gm,m3，点D位于第三象限，3m0，DG=m3m2+2m3=m23m，SACD=32m23m=32m+322+278，当m=32时，ACD的面积最大，最大值为278，此时，点D的坐标为32,154（3）解：B1,0，OB=1，由y=x2+2x3得，抛物线的对称轴为直线x=1，

13、以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，设点N的横坐标为t，MNx轴，t1=1，解得t=0或t=2，点N在抛物线上，点N的坐标为2,3或0,3；当OB为平行四边形的对角线时，则1+t2=0+12，解得t=2，点N的坐标为2,5；综上，点N的坐标为2,3或0,3或2,510【答案】（1）解：令x=0，y=3a，C(0,3a)y=a(x1)(x3)=ax22a，D(2,a)；（2）解：令y=0，有a(x1)(x3)=0，解得：x=1或x=3，A(1,0)，B(3,0)，AB=31=2，SABD=122a=a设直线CD交x轴于点E，如图所示，设直线CD解

14、析式为y=tx+b，把C、D的坐标代入可得b=3a2t+b=a，解得：t=2ab=3a，直线CD解析式为y=2ax+3a，令y=0可解得：x=32，E(32,0)，BE=332=32，SBCD=SBEC+SBED=1232(3a+a)=3a，SBCD:SABD=(3a):a=3，k=3；（3）解：BCDBCO90，BCD为直角三角形时，只能有CBD=90或CDB=90两种情况B(3,0)，C(0,3a)，D(2,a)，BC2=32+(3a)2=9+9a2，CD2=22+(a3a)2=4+16a2，BD2=(32)2+a2=1+a2当CBD=90时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+

15、a2=4+16a2，解得：a=1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x24x+3；当CDB=90时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得：a=22（舍去）或a=22，此时抛物线解析式为y=22x222x+322；综上可知：当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x24x+3或y=22x222x+32211【答案】（1）解：OB=OC=3OA，AC=10，AC2=OA2+OC2，102=OA2+3OA2，OA=1（负值舍去），OB=OC=3OA=3，A1,0，B3,0，C0,3，设抛物线解析式为y=ax+3x1，将C0,3代入，得：3a=3，解得：a=1

16、，抛物线解析式为y=x+3x1=x22x+3；故答案为：yx22x3.（2）解：过点P作PKy轴交BC于点K，如图1所示：设直线BC解析式为y=kx+n，将B3,0，C0,3代入，得：3k+n=0n=3，解得：k=1n=3，直线BC解析式为y=x+3，设Pt,t22t+3，则Kt,t+3，PK=t22t+3t+3=t23t，SPBC=SPBK+SPCK=12PKt+3+12PK0t=32PK=32t23t，=32t+32+278，320，m的值为1+132；（4）解：过P作PE/y轴交直线BC于点E，如图，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B、C坐标代入得：0=3k+b3=b，解得：k=1b

17、=3，y=x3，设P(m，m22m3)，则E(m，m3)，PE=m2+3m，SPBC=123(m2+3m)，S平行四边形CPBD=2SPBC=3m2+9m=3(m32)2+274，当m=32时，四边形CPBD的面积有最大值15【答案】（1）解：由题意得：A(1,0),B(0,3),L(A,B)=|10|+|03|=1+3=4;（2）点C在直线x=2上运动，设点C(2,m)，且B(0,3)由平面上两点间距离，利用勾股定理得：BC2=(20)2+(3m)2=4+(3m)2L(B,C)=|02|+|3m|=2+|3m|L2(B,C)=(2+|3m|)2=22+4|3m|+(3m)20L(B,C)BC

18、L2(B,C)BC2即22+4|3m|+(3m)24+(3m)24|3m|0,又|3m|03m=0m=3C(2,3)二次函数y1的图像经过A(1,0),B(0,3),C(2,3)，设y1=a1x2+b1x+c1代入解析式得：a1b1+c1=0c1=34a1+2b1+c1=3解方程组得：a1=1b1=2c1=3抛物线y1的表达式为y1=x2+2x+3；（3）y2=2tx+1令x=0时，y2=1直线y2恒过定点N(0,1)直线y2的图像是绕点N(0,1)旋转的直线，当CN直线y2时，点C到DE的距离最大，CDE面积也最大，过点C作CMDE交直线y2于点M由点到直线的距离，垂线段最短知：CMCNSCDE=12DECM12DECN=52CNC(2,3),N(0,1)CN=(20)2+(31)2=4+4=2252CN=5222=52CDE面积的最大值为52y=y1+y2=x2+2x+3+2tx+1=x2+2(t+1)x+4二次函数y的对称轴为x=2(t+1)2(1)=t+1a=1(t+1)t当x=t+3时，函数值y取得最小值y=(t+3)2+2(t+1)(t+3)+4函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8(t+1)2+2(t+1)2+4(t+3)2+2(t+1)(t+3)+4=8整理得：t2+2t1=0解得：t=12实数t的值为12.第 21 页 共 21 页