2025年中考数学二轮复习：二次函数的特殊三角形存在性问题 压轴练习题（含答案）

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1、2025年中考数学二轮复习：二次函数的特殊三角形存在性问题 压轴练习题一、二次函数的特殊三角形存在性问题1如图，已知抛物线L1:y=x2与直线y=1相交于A、B（1）AB ；（2）抛物线L1随其顶点沿直线y=12x向上平移，得到抛物线L2，抛物线L2与直线y=1相交于C，D （点C在点D左边），已知抛物线L2顶点M的横坐标为m当m6时，求抛物线L2的解析式及CD的值；连接MC,MD，当MCD为等边三角形时，求点M的坐标2已知抛物线与x轴交于点A2,0、B3,0，与y轴交于点C0,4（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接BC，求出BPC的面积最大值及此时

2、点P的坐标（3）如图2，将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位记平移后的抛物线为y，若抛物线y与原抛物线对称轴交于点Q点E是新抛物线y对称轴上一动点，在（2）的条件下，当PQE是等腰三角形时，求点E的坐标3如图、已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=1（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由4如图，抛物线y=ax2+bx+c

3、的图象与x轴交于A（1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由5已知二次函数y=mx2+2x1，其中m0.（1）若该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点A，求实数m的值.（2）在(1)的条件下，若直线y=kx1的图象与二次函数的图象交于两点B(x1,y1),C(x2,y2)，且x10时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2(y1+y2)a+y

4、12+y22=0,2a22(y3+y4)a+y32+y42=0.请问是否存在实数m(m1)，使得AB,CD,mEF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：mEF表示一条长度等于EF的m倍的线段).8如图，抛物线C1:y=ax2+43x4的图象经过点D(1,1)，与x轴交于点A，点B.（1）求抛物线C1的表达式；（2）将拋物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线C2，求拋物线C2的表达式，并判断点D是否在拋物线C2上；（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使PBD是等腰直角三角形.

5、若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.9 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，点D在抛物线上（1）求该抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限内，且ACD的面积为3时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在点P，使OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由10如图，二次函数yax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE/x轴，PF/y轴，

6、求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标答案解析部分1【答案】（1）2（2）解：对于y=12x，当x=6时，y=126=3，抛物线L2的顶点坐标为(6,3)，抛物线L2的解析式为y=(x6)2+3，当y=1时，1=(x6)2+3，解得：x=8或4，C(4,1),B(8,1)CD=4；故答案为：y=(x6)2+3；4解：点M在直线y=12x上，M(m,12m)，抛物线L2的解析式为y=(xm)2+12m，当y=1时，1=(xm)2+12m，解得：x=2m+42+m或x=2m+42+

7、m，C(2m+42+m,1)，D(2m+42+m,1)，CD=2m+4，如图，过点M作MDCE于点E，则ME=12m+1，CE=2m+42，MCD是等边三角形，MCE=60，tanMCE=MECE=12m+12m+42=3，解得：m=4或2（不合题意，舍去），点M的坐标为(4,2)2【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点A(2,0)、B(3,0)，设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x3)(a0)，把C(0,4)代入y=a(x+2)(x3)(a0)中，得4=6a，a=23，抛物线的解析式为：y=23(x+2)(x3)，即y=23x2+23x+4；（2）解：设P点的坐标为(t,23t2+23t+

8、4)，过点P作PNx轴于点N，与BC交于点M，如图1，设直线BC的解析式为y=kx+b(k0)，则3k+b=0b=4，解得k=43b=4，直线BC的解析式为：y=43x+4，M(t,43t+4)，PM=23t2+2t，SBPC=SPMC+SPMB=12PMON+12PMBN=12PMOB，SBPC=12(23t2+2t)3=t2+3t=t322+94，a=10，当t=32时，SBPC的最大值为94，此时P点的坐标为(32,72)；（3）解：抛物线y=23x2+23x+4=23(x12)2+256，将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位记平移后的抛物线为y，y的解析式为y=23(x121

9、2)2+2562=23(x1)2+136，抛物线y的对称轴为直线x=1，抛物线y=23x2+23x+4=23(x12)2+256，抛物线y=23x2+23x+4的对称轴为直线x=12，把x=12代入y=23x2+43x+32中，得y=2，Q点的坐标为(12,2)，设E的坐标为(1,n)；当PE=QE时，则PE2=QE2，即(321)2+(72n)2=(112)2+(n2)2，解得，n=114，E(1,114)当PQ=QE时，则PQ2=QE2，即(3212)2+(722)2=(112)2+(n2)2，解得，n=23，E点的坐标为(1,2+3)或(1,23)；当PQ=PE时，则PQ2=PE2，即(

10、3212)2+(722)2=(321)2+(72n)2，解得，n=723，点E的坐标为(1,72+3)或(1,723)综上，当PQE是等腰三角形时，点E的坐标为(1,114)或(1,2+3)或(1,23)或(1,72+3)或(1,723)3【答案】（1）解：一次函数的表达式为：y=43x+4，当y=0时，0=43x+4，解得：x=3，当x=0时，y=4，A3,0，C0,4，二次函数称轴为直线x=1，B1,0，设二次函数表达式为：y=ax+3x1，把C0,4代入得：4=a0+301，解得：a=43，二次函数表达式为：y=43x+3x1，整理得：y=43x283x+4（2）解：存在，理由如下当BC

11、=PC时，如图：此时P11,0；当BC=BP时，如图：有两种情况，B1,0，C0,4，BC=BP=12+42=17，令对称轴与x轴交于点Q，对称轴为直线x=1，BQ=11=2，PQ=1722=13，P21,13,P31,13；当BP=CP时，过点C作CM垂直于对称轴，垂足为点M，对称轴为直线x=1，点P横坐标为1，CM=1,BQ=2，设点P1,a，PM=4a,PQ=a，CP2=CM2+PM2=1+4a2，BP2=BQ2+PQ2=4+a2，BP=CP，1+4a2=4+a2，解得：a=138，P41,138综上存在“圣和点”，点P坐标为：1,0或1,13或1,13或1,1384【答案】解：（1）因

12、为抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），所以ab+c=09a+3b+c=0c=3，解得：a=1b=2c=3，即此抛物线的解析式是y=x22x3；（2）因为一次函数可化为y=x22x3=(x1)24，所以此抛物线顶点D的坐标是（1，4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：当PA=PD时(11)2+(0y)2=(11)2+(4y)2，解得，y=32，即点P的坐标为（1，32）；当DA=DP时，(11)2+0(4)2=(11)2+(4y)2，解得，

13、y=425，即点P的坐标为（1，425）或（1，4+25）；当AD=AP时，(11)2+0(4)2=(11)2+(0y)2，解得，y=4，即点P的坐标是（1，4）或（1，4），当点P为（1，4）时与点D重合，故不符合题意由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，32）或（1，425）或（1，4+25）或（1，4）5【答案】（1）解： 二次函数的图象与x轴仅有一个公共点A，=22-4m(-1)=0，m=-1.（2）解：由（1）知：y=-x2+2x-1=-(x-1)2，A（1，0）， 直线y=kx1的图象与二次函数的图象交于两点B(x1,y1),C(x2,y2) ，且

14、y=kx1过定点（0，-1） ，x10时，a20，此拋物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；当a0，此拋物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点.综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点.（3）解：因为a0，所以该函数图象开口向上.由2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0，得(a+y1)2+(a+y2)2=0，可得y1=y2=a.由2a22(y3+y4)a+y32+y42=0，得(ay3)2+(ay4)2=0，可得y3=y4=a.所以直线AB，CD均与x轴平行.由(2)可知该函数图象与

15、x轴必有两个公共点，设E(x5,0),F(x6,0).由图象可知a4acb24a，即b24ac4a2.所以ax2+bx+c=a的两根为x1,x2，可得AB|x1x2|=b24a(c+a)|a|同理ax2+bx+c=a的两根为x3,x4，可得CD=|x3x4|=b24a(ca)|a|.同理ax2+bx+c=0的两根为x5,x6，可得mEF=m|x5x6|=mb24ac|a|.由于m1，结合图象与计算可得ABEFmEF,AB1)，使得AB,CD,mEF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30,60的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角

16、三角形的斜边.当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30,60时，因为mEFAB，所以必须同时满足：AB2+(mEF)2=CD2,mEF=3AB.将上述各式代入化简可得m2=8a2b24ac8a24a2=2，且m2=3(b24ac4a2)b24ac，联立解之得b24ac=20a23,m2=8a2b24ac=651符合要求.所以m=305，此时该函数的最小值为4acb24a=20a234a=5a3.当以线段mEF为斜边时，必有AB2+CD2=(mEF)2，同理代入化简可得2(b24ac)=m2(b24ac)，解得m=2.因为以线段2EF为斜边，且有一个内角为60，而CDAB，所以CD=ABtan60

17、，即b24a(ca)=3b24a(c+a)，化简得b24ac=8a24a2符合要求.所以m=2，此时该函数的最小值为4acb24a=8a24a=2a.综上所述，存在两个m的值符合题意；当m=305时，此时该函数的最小值为5a3；当m=2时，此时该函数的最小值为2a.8【答案】（1）解： 抛物线C1:y=ax2+43x4的图象经过点D(1,1) a+43-4=-1解得a=53 抛物线C1的表达式为y=53x2+43x4（2）解：点D在拋物线C2上；y=53x2+43x4=53（x+25）26415将抛物线C1 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线C2， 拋物线C2的表达式为y=53（x

18、35）21915 x=1，y=53（135）21915=-1 点D（1，-1）在拋物线C2上.（3）解：存在点P，使PBD是等腰直角三角形当P1BD=90，P1B=BD，如图所示，过点B作直线ly轴，过点P1作P1El于E，过点D作DFl于F，则EP1B+EBP1=90 P1EB=BFD=90，EBP1+FDB=90， EP1B=FDBEP1BFBD（AAS） EP1=FB=1，EB=FD=3 点P1的横坐标为-1，点P1的纵坐标为3， 把-1代入拋物线C2的表达式y=53（x35）21915得y=3=EB，则P1在抛物线C2上 点P1存在，坐标为（-1，3）.当P2DB=90，P2D=BD，

19、如图所示，过点D作直线lx轴，过点P2作P1Fl于F，过点B作BEl于E，同理可证 FP2DEDB（AAS） FD=EB=1，P2F=DE=3 点P1的横坐标为2，点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2 把2代入拋物线C2的表达式y=53（x35）21915得y=2，则P2在抛物线C2上 点P2存在，坐标为（2，2）.当BP3D=90，P3D=P3B，如图所示，过点P3作直线lx轴，过点B作BEl于E，过点D作DFl于F，同理可证EP3BFDP3（AAS） BE=P3F=1，EP3=FD设点P3（m，n） m+2=n+1，1-m=1解得：m=0，n=1 P3（0，1）则m=0时，y=53（0

20、35）219151则P3不存在综上，在x轴上方的抛物线C2上，存在点P， 使PBD是等腰直角三角形，点P的坐标为 P1（-1，3）或P2（2，2） .9【答案】（1）解：把A(3,0)，C(0,3)代入y=x2+bx+c得：93b+c=0c=3，解得b=2c=3，抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）解：过D作DKy轴交AC于K，如图：由A(3,0)，C(0,3)得直线AC解析式为y=x+3，设D(t,t22t+3)，则K(t,t+3)，DK=t22t+3(t+3)=t23t，ACD的面积为3，12DK|xAxC|=3，即12(t23t)3=3，解得t=1或t=2，D的坐标为(1,4)或(2

21、,3)；（3）解：P的坐标为(0,3)或(2519318,7+1936)或(25+19318,71936)或(119,23)10【答案】（1）解：设二次函数的解析式为ya（xb)（xc）， yax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， 二次函数解析式：ya（x1）（x3）又 点D（4，3）在二次函数上，（43）（41）a3， 解得：a1， 二次函数的解析式：y（x1）（x3），即yx24x+3（2）解：如图1所示因点P在二次函数图象上，设P（p，p24p+3）yx24x+3与y轴相交于点C，点C的坐标为（0，3）又点B的坐标为B（3，0），OBOCCOB为等腰直

22、角三角形又PF/y轴，PE/x轴，PEF为等腰直角三角形EF2PF设一次函数的lBC的表达式为ykx+b，又B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，3k+b=0b=3，解得：k=1b=3，直线BC的解析式为yx+3yFp+3FPp+3（p24p+3）p2+3pEF2p2+32p线段EF的最大值为，EFmax09242924；（3） 解：如图2所示：设点N的坐标为（m，m24m+3），则点M的坐标为（m，3），若CNB90时，点N在抛物线上，作MN/y轴，l/x轴交y轴于点E，BFl交l于点FC、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），CDx轴又CNENBF，CENNFB90，CNENBFCENENFBF，又CEm2+4m，NEm；NF3m，BFm2+4m3，m2+4mm3mm2+4m3，化简得：m25m+50解得：m15+52，m2552M点坐标为（5+52，3）或（552，3）如图3所示：当CBN90时，过B作BGCD，NBFCBG，NFBBGC90，BFNCGB，BFN为等腰直角三角形，BFFN，0（m24m+3）3m化简得，m25m+60解得，m2或m3（舍去）M点坐标为，（2，3）综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（5+52，3），（552，3）第 19 页 共 19 页