2025年中考数学二轮复习：二次函数的线段周长问题 压轴练习题（含答案）

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1、2025年中考数学二轮复习：二次函数的线段周长问题 压轴练习题一、选择题1如图，函数 y=x2+12 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 M(0，2) 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 AC 的中点，连结 OP ，则线段 OP 的最小值是（） A1B3C2D72已知抛物线 y=ax2+4ax+4a+1(a0) 过A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式 a2+a1 的最小值是()A14B14C12D54二、填空题3如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y=ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作X轴的垂线交线段AB于两点C、D.

2、当点E(2，4)，四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为 .4如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 .5“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌已知线段AB，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足APB=30，则称点P为线段AB的“U点”，如图，二次函数y=12x2+3x+52与x轴交于点A和点B（1）线段AB的长度为 ；（2）若线段AB的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为 三、解答题6如图，抛物线y=x2bx+c交

3、x轴于点A1,0，交y轴于点B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于A3,0、B4,0两点，且OB=OC（1）求抛物线解析式；（2）点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH、AC，求出当ACH的周长最小时点H的坐标8如图，直线y=x3与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线y=a(x2)2+k经过点A、B，其顶点为C（1）求抛物线的解析式（2）求ABC的面积（3）点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD/y轴交直线AB

4、于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标9如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a0)相交于A(12,52)和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值?若存在，求出线段PC的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当点P在抛物线的对称轴上时，抛物线上存在点Q，使得ABQ的面积恰为ABD面积的一半，请直接写出点Q的坐标.10如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BCx轴于点C，且点A1，0，C4，0，AC=BC（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB

5、上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由11如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca0的图像与x轴交于点A1,0和点B3,0，与y轴交于点C0,3（1）求二次函数的表达式；（2）如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MHx轴于点H，交BC于点N，求线段MN最大时点M的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得QCB=CBM若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

6、12如图，抛物线y=12x2x4与x轴交于点A和B，与y轴交于点C（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后PBQ的面积S最大，最大面积是多少？（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E，直线BD交y轴于点F，求CECF的值13在平面直角坐标系中，直线y=x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+ca0经过A，B两点，并与x轴的正半轴交

7、于点C（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a=14时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求ABP周长的最小值；（3）当a=1时，若点Qm,n是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D当m取何值时，线段QD取最大值？并求出QD的最大值14如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,4)，其顶点为D（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）在y轴上是否存在一点M，使得BDM的周长最小若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点E在以点P(3,0)为圆心，1为半径的P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结

8、BF求BF的取值范围15如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C.（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PEx轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；是否存在点P，使得BPD与AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1【答案】A2【答案】B3【答案】424【答案】1545【答案】4；(0，237)或(0，23+7)6【答案】（

9、1）由题意得，1b+c=0b2=2，解得b=4，c=3，抛物线的解析式为：y=x24x+3；（2）点A与点C关于直线x=2对称，连接BC与直线x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为3,0，y=x24x+3与y轴的交点为B0,3，设直线BC的解析式为：y=kx+b，3k+b=0b=3，解得，k=1，b=3，直线BC的解析式为：y=x+3，则直线BC与直线x=2的交点坐标为：P2,1点P的坐标为：2,17【答案】（1）解：由题意可得，OC=OB=4，C0,4，把A3,0、B4,0、C0,4代入y=ax2+bx+ca0，得9a3b+c=016+4b+c=0c=4，解得a

10、=13b=13c=4，抛物线解析式为y=13x213x4；（2）y=13x213x4，抛物线的对称轴为x=12，A3，0、B4，0两点关于x=12对称， 点H是抛物线对称轴上的一个动点 ，AH=BHACH的周长为AC+CH+AC=AC+CH+BH，当B、C、H三点共线时，ACH周长的最小，如图所示：连接BC交对称轴于点H，则ACH周长的最小；B4，0，C0,4，设直线BC的解析式为y=kx4，代入B4，0可得：4k4=0，解得：k=1，直线BC的解析式为y=x4，当x=12时，y=72，H12,728【答案】（1）解：当x=0时，y=3，当y=0时，x=3，A(0,3)，B(3,0)，由题意得

11、：4a+k=3a+k=0，解得：a=1k=1，抛物线的解析式为：y=(x2)2+1=x2+4x3；（2）解：由抛物线的顶点式得：C(2,1)，设AC的解析式为：y=bx3，则2b3=1，解得：b=2，AC的解析式为：y=2x3，令AC与x轴交于点E，当y=0时，2x3=0，解得：x=1.5，则E(1.5,0)，SABC=SABE+SCBE=12BE|xA|+12BE|xC|=12(31.5)(1+3)=3；（3）解：设AB的解析式为：y=mx3，则：0=3m3，解得：m=1，AB的解析式为：y=x3，点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD/y轴，设点P(x,x2+4x3)，(0x0

12、)中，得：4a2b+c=0c=2，4a2b2=0，2ab=1，c=2；（2）解：如图1，作点A关于抛物线对称轴的对称点C，连接BC交抛物线对称轴于点P，AP+BP=CP+BP=BC，此时AP+BP取得最小值为BC，ABP的周长为AB+AP+BP，要使ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，ABP的周长最小值为AB+BC，当a=14时，由（1）得214b=1，b=12，抛物线的解析式为：y=14x212x2=14x1294，抛物线的对称轴是：x=1，A（-2，0），由对称性可得C(4,0)，A（-2，0），B（0，-2），RtAOB中，AB=OA2+OB2=22+22=22，RtBOC中，BC

13、=OB2+OC2=22+42=25，ABP周长的最小值为22+25；（3）解：当a=1时，21b=1，b=1，y=x2+x2，A(2,0)，B(0,2)，C(1,0)，OA=OB，AOB是等腰直角三角形，OAB=45，如图2，过点Q作QFx轴于F，交AB于E，则EQD是等腰直角三角形，设Q(m,m2+m2)，则E(m,m2)，QE=(m2)(m2+m2)=m22m=(m+1)2+1，QD=22QE=22(m+1)2+22，当m=1时，QD有最大值是2214【答案】（1）解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,4)，1-b+c=0，c=4，b=3.故y=x

14、23x4，y=x23x4=x322254顶点坐标为：D32，254.（2）在y轴上存在一点M，使得BDM的周长最小，理由如下：作顶点D32，254关于y轴的对称点D32，254，连接BD交y轴于M，如图：在y=x23x4中令y=0，得x23x4=0解得：x1=-1，x2=4故点B(4，0).BD=4322+02542=5294，BDM的周长为：BM+MD+BD=BM+MD+5294BD+5294.当B，M，D三点共线时，周长取得最小值，最小值为BD+5294.设直线BD的解析式为：y=kx+b（k0）4k+b=032k+b=254，解得：k=2522b=5011.故y=2522x5011，令x

15、=0，y=5011，点M的坐标为：0，5011.（3）以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图：由A(-1，0)，P(3，0)，APQ是等边三角形，可得Q的坐标为1，23.AEF，APQ都是等边三角形，AE=AF，AP=AQ，EAF=PAQ=60，EAP=FAQ，EAPFAQ(SAS)，PE=QF=1，点F的轨迹是以Q1，23为圆心，1为半径的圆，B(4，0)，BQ=412+0232=21.当F在线段BQ上时，BF最小，此时BF=BQQF=211；当F在线段BQ的延长线上时，BF最大，此时BF=BQ+QF=21+1BF的范围时211BF21+1.15【答案】（1）把

16、(0,0)，A(4,0)，B(1,3)代入y=ax2+bx+c(a0)，得c=016a+4b+c=0a+b+c=3，解得a=1b=4c=0，二次函数的解析式为y=x2+4x，设直线AB解析式为y=mx+n，则4m+n=0m+n=3，解得m=1n=4，直线AB解析式为y=x+4，当x=0时，y=4，C(0,4)；（2）设P(m,m2+4m)(1m4)，则D(m,m+4)，PD=m2+4m(m+4)=m2+5m4=(m52)2+94，当m=52时，PD有最大值为94；A(4,0)，C(0,4)，AO=CO=4，又AOC=90，ACO=AOC=45，又PDx轴，PD/y轴，PDB=ACO=45，当PBDOAC时，如图，BPD=AOC=90，BP/x轴，P的纵坐标为3，把y=3代入y=x2+4x，得3=x2+4x，解得x1=1，x2=3，m=3，m2+4m=3，P的坐标为(3,3)；当PBDAOC时，如图，过B作BFPD于F，则BF=m1，PBD=AOC=90，又BDP=45，BPD=45=BDP，BP=BD，PF=DF，BF=12PD，m1=12(m2+5m4)，解得m1=2，m2=1（舍去），m2+4m=4，P的坐标为(2,4)综上，当P的坐标为(2,4)或(3,3)时，BPD与AOC相似.第 20 页 共 20 页