1、青岛版九年级上册数学第4章一元二次方程学情评估试卷(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2022山东聊城模拟)已知关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程,则a的值是()A.-1B.2C.-1或3D.32.(2022山东青岛期中)根据下列表格的对应值,可判断方程x2+12x-15=0必有一个解x满足()x-111.11.2x2+12x-15-26-2-0.590.84A.-1x1B.1x1.1 C.1.1x1.2D.-0.59x-1且a0C.a-1且a0D.a-17.(2022内蒙古呼和浩特中考)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的
2、两个实数根,则代数式x13-2 022x1+x22的值是()A.4 045B.4 044C.2 022D.18.(2023山东菏泽郓城期中)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4 860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是()A.8%B.9%C.10%D.11%9.已知一个两位数等于它个位上的数字的平方,并且十位上的数字比个位上的数字小3,则这个两位数为()A.25B.25或36C.36D.-25或-3610.【数学文化】(2023山东德州庆云校级月考)欧几里得的原本中记载,形如x2+2ax=b2的方程的图
3、解法是:画RtABC,使ACB=90,BC=a,AC=b,再在斜边AB上截取BD=a,则该方程的一个正根是()A.AD的长B.AC的长C.BC的长D.CD的长二、填空题(每小题3分,共18分)11.(2022广东中考)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a=.12.(2023广东深圳龙岗校级期末)规定:在实数范围内定义一种运算“”,其规则为ab=a(a+b),则方程(x-2)7=0的根为.13.【一题多解】(2023山东菏泽东明期中)若一元二次方程(x-3)2=1的两根为RtABC的两直角边的长,则RtABC的面积是.14.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=2
4、,c=1,解出其中一个根是x=1.他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1,则原方程的根的情况是.15.【跨学科生物】生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,那么全组有名同学.16.(2023山东泰安模拟)如图,在RtABC中,B=90,AB=12 cm,AC=13 cm,点M从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,点N从点B出发沿边BC向点C以1 cm/s的速度移动.当一个点先到达终点时,另一个点也停止运动,当MBN的面积为9 cm2时,点M,N的运动时间为.三、解答题(共52分)17.(8分)解下列方程:(1)(x-3)(x+1)=x-3
5、;(2)x2+4x-3=0.18.(2023海南东方港务中学月考)(6分)已知|2a+b|与3b+12互为相反数.(1)求a、b的值;(2)解关于x的方程:ax2+4bx-2=0.19.(2023山东菏泽东明校级月考)(9分)关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+2m=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)若x1、x2是方程的两个实数根,且x1+x2+x1x2=m2-4m,求m的值.20.(2023河南信阳光山期末)(9分)已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)求出满足m的取值范围的最小整数值m,并求出此时
6、方程的两根.21.【国防科技】(2023四川成都天府新区期末)(9分)2022年11月29日,神舟十五号发射升空,中国首次实现空间站三船三舱构型,以及6名航天员同时在轨驻留.某网店为满足航空航天爱好者的需求,特推出了“中国空间站”模型.已知该模型平均每天可售出20个,每个盈利40元.为了扩大销售,该网店准备适当降价,经过一段时间测算,每个模型每降低1元,平均每天可以多售出2个模型.(1)若每个模型降价4元,平均每天可以售出多少个模型?此时每天获利多少元?(2)在每个模型盈利不少于25元的前提下,要使“中国空间站”模型每天获利1 200元,则每个模型应降价多少元?22.【新独家原创】(11分)我
7、们知道,当方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2时,x1+x2=-p,x1x2=q.请根据以上结论,解决下列问题:(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;(2)已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求ab+ba的值;(3)已知a2-3a-5=0,5b2+3b-1=0,求a2+1b2的值.答案全解全析1.A 关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程,a-30且|a-1|=2,解得a=-1.故选A.2.C x=1.1时,x2+12x-15=-0.590,方程x2+12x-15=0必有一
8、个解x满足1.1x0,且a0,a-1且a0.故选B.7.Ax1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,x1+x2=1,x1x2=-2 022,x12-x1-2 022=0,即x12-2 022=x1,x13-2 022x1+x22=x1(x12-2 022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1+4 044=4 045.故选A.8.C设平均每次下调的百分率为x,由题意,得6 000(1-x)2=4 860,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去).平均每次下调的百分率为10%.故选C.9.B设十位上的数字为x,则个位上的数字为x+3,由题意,得1
9、0x+x+3=(x+3)2,整理,得x2-5x+6=0,解得x=2或x=3,x+3=5或x+3=6,这个两位数为25或36.故选B.10.A在RtABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2.AC=b,BD=BC=a,b2+a2=(AD+a)2=AD2+2aAD+a2,AD2+2aAD=b2,AD的长是方程x2+2ax=b2的一个正根.故选A.11.1解析把x=1代入方程x2-2x+a=0,得1-2+a=0,解得a=1.12.x1=2,x2=-5解析由题意,得(x-2)(x-2+7)=0,(x-2)(x+5)=0,x-2=0或x+5=0,x1=2,x2=-5.13.4解析解法一:【直接开平方
10、法】(x-3)2=1,x-3=1,x1=4,x2=2,SRtABC=12x1x2=1242=4.解法二:【韦达定理法】由(x-3)2=1,得x2-6x+8=0.设一元二次方程(x-3)2=1的两根为、(),则=8,SRtABC=12=128=4.14.没有实数根解析由题意,得x=1为方程2x2+(b-1)x+1=0的一个根.设此方程的另一根为t,则1+t=-b12,1t=12,解得t=12,b=-2,则原方程为2x2-2x+1=0,=(-2)2-421=-40,x=82172=417,x1=4+17,x2=4-17.19.解析(1)证明:=(m+4)2-412m=m2+8m+16-8m=m2+
11、160,方程总有两个不相等的实数根.(2)由题意,得x1+x2=-(m+4),x1x2=2m,x1+x2+x1x2=m2-4m,-(m+4)+2m=m2-4m,解得m=1或m=4.m的值为1或4.20.解析(1)关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根,=-2(m+1)2-41(m2-3)=8m+160,解得m-2.实数m的取值范围是m-2.(2)由题意得m=-1.把m=-1代入x2-2(m+1)x+m2-3=0,得x2-2=0,解得x1=2,x2=-2.21.解析(1)20+24=20+8=28(个),(40-4)28=3628=1 008(元),若每个模型
12、降价4 元,平均每天可以售出28个模型,此时每天获利1 008 元.(2)设每个模型降价x元,则每个模型可盈利(40-x)元,平均每天可售出(20+2x)个,由题意,得(40-x)(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.又每个模型盈利不少于25元,x=10.每个模型应降价10元.22.解析(1)设方程x2+mx+n=0(n0)的两个根分别是x1,x2,则x1+x2=-m,x1x2=n.1x1+1x2=x1+x2x1x2=-mn,1x11x2=1x1x2=1n.这个一元二次方程可以是x2+mnx+1n=0.(2)a,b满足a2-15a-5=0,b
13、2-15b-5=0,a,b是x2-15x-5=0的两个根.当ab时,a+b=15,ab=-5,ab+ba=a2+b2ab=(a+b)22abab=1522(5)5=-47.当a=b时,ab+ba=1+1=2.(3)当ab1,即a1b时,5b2+3b-1=0,5+31b-1b2=0,即1b2-31b-5=0.a2-3a-5=0,a,1b是方程x2-3x-5=0的两个根,a+1b=3,a1b=-5,a2+1b2=a+1b2-2a1b=19.当ab=1,即a=1b时,a2-3a-5=0,a=3292,a2+1b2=2a2=232922=19329.综上可知,a2+1b2的值为19,19+329,19-329.第 8 页 共 8 页
