1、北京课改版九年级上册数学第二十章解直角三角形学情评估试卷(满分100分,限时60分钟)一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分)1.(2023北京昌平期末)如图,在一块直角三角板ABC中,A=30,则sin A的值是 ()A.32B.12C.22D.32.(2023北京石景山期末)如图,在RtACB中,C=90.若sin A=23,BC=4,则AB的长为()A.2B.25C.213D.63.(2023北京通州期末)下图是某博物馆大厅电梯的截面图,AB的长为12米,AB与AC的夹角为,则高BC是()A.12sin 米B.12cos 米C.12sin米D.12cos米4.如图所示的是我们数学课本
2、上采用的科学计算器面板,利用该型号计算器按此顺序输入:2ndFtan5678=,显示屏显示的结果为88.991 020 49,将这个数据精确到0.001后,下列说法正确的是 ()A.56.78的正切函数值约为88.991B.正切函数值为56.78的角约是88.991C.5678的正切函数值约为88.991D.正切函数值为56.78的角约是889915.(2023北京平谷期末)如图,每个小正方形的边长为1,点A、B、C均在格点上,则sin B的值是 ()A.1B.34C.35D.456.(2023河南洛阳伊川期末)如图,点A为边上的任意一点,作ACBC于点C,CDAB于点D,下列用线段比表示co
3、s 的值,错误的是 ()A.BDBCB.BCABC.CDACD.ADDC7.(2023陕西西安碑林铁一中月考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,此时灯塔P位于海轮的()A.北偏西45方向,距离海轮40海里处B.南偏东45方向,距离海轮40海里处C.北偏西45方向,距离海轮402海里处D.南偏东45方向,距离海轮402海里处8.(2023江苏苏州姑苏市区直属学校期中)阅读理解:为计算tan 15三角函数值,我们可以构建RtACB(如图),使得C=90,ABC=30,延长CB至D,使BD=AB,连接A
4、D,可得到D=15,设AC=x,所以tan 15=ACCD=x(2+3)x=23(2+3)(23)=2-3.类比这种方法,计算tan 22.5的值为()A.2+1B.2-1C.2D.12二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分)9.若cosA12+|tan B-3|=0,则ABC的形状是.10.(2023北京昌平期末)如图,在ABC中,AB=3,sin B=23,C=45,则AC的长为.11.【新情境载人飞船】(2022宁夏中考)2022年4月16日9时56分,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,如图,某一时刻从观测点D测得返回舱底部C的仰角CDE=45,降落伞底面圆A点处的仰角A
5、DE=4612.已知半径OA长14米,拉绳AB长50米,返回舱高度BC为2米,这时返回舱底部离地面的高度CE约为米.(精确到1米,参考数据:sin 46120.72,cos 46120.69,tan 46121.04)12.如图,一幢居民楼OC临近山坡AP,山坡AP的坡度i=13tan=13,小亮在山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60,当从A处沿坡面行走6米到达P处时,测得楼顶C的仰角刚好为45,点O,A,B在同一直线上,则该居民楼的高度为米(结果保留根号).13.【国防科技】“科技兴则民族兴,科技强则国家强”,为增强国防技能,某学校在进行科技机器人大赛时,某团队同学们组装了一个智能机器臂.如图
6、1,水平操作台为l,底座AB固定,ABl,AB的长度为24 cm,连杆BC的长度为30 cm,手臂CD的长度为28 cm,点B,C是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.图2是其示意图,转动连杆BC和手臂CD,当ABC=135,BCD=165时,端点D离操作台l的高度DE为cm.14.已知函数y=12x(x0),3x(x0)的图象如图所示,点P是y轴正半轴上一动点,过点P作y轴的垂线交图象于A,B两点,连接OA、OB.若AOB=90,则cos A=.三、解答题(共44分)15.(6分)计算:(1)(2022四川成都中考)121-9+3tan 30+|3-2|;(2)(2022湖南岳阳中考
7、)|-3|-2tan 45+(-1)2 022-(3-)0.16.【教材变式P89T2】(6分)在RtABC中,C=90,BC=a,AC=b,AB=c,根据下列条件解直角三角形.(1)a=85,b=815;(2)B=45,c=14.17.(2021北京中考)(7分)如图,在四边形ABCD中,ACB=CAD=90,点E在BC上,AEDC,EFAB,垂足为F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AE平分BAC,BE=5,cos B=45,求BF和AD的长.18.【新情境动感单车】(2022吉林中考)(7分)动感单车是一种新型的运动器械.如图所示的是一辆动感单车的侧面示意图.BCD为主车
8、架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC的长为70 cm,BCD的度数为58.当AB的长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度.(结果精确到1 cm,参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60)19.【实践探索试题】(2022山东济宁中考)(8分)知识再现如图1,在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c.sin A=ac,sin B=bc,c=asinA,c=bsinB.asinA=bsinB.拓展探究如图2,在锐角ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.请探究asinA,bsinB,csinC之间的关系,并写出探究过
9、程.解决问题如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,A=75,C=60.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.20.(10分)如图,小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60,再继续向前走到大树底部D处,测得食堂楼顶N的仰角为45.已知A点离地面的高度AB=2米,BCA=30,且B,C,D三点在同一直线上.(1)求树DE的高度;(2)求食堂MN的高度.答案全解全析1.BC=90,A=30,sin A=12,故选B.2.D
10、sin A=BCAB=23,BC=4,23=4AB,解得AB=6.故选D.3.ARtABC中,sin =BCAB,AB=12米,BC=12sin 米.故选A.4.B根据计算器功能键作用知,该组按键表示正切函数值为56.78的角约是88.991.故选B.5.C如图,过A作ADBC,交BC的延长线于D.在RtABD中,BD=4,AD=3,AB=BD2+AD2=42+32=5,sin B=ADAB=35,故选C.6.DACBC,CDAB,+BCD=ACD+BCD=90,=ACD,cos =cosACD=BDBC=BCAB=CDAC,故选D.7.C如图,作PCAB于C点,A在P的北偏东30方向上,EP
11、A=30,APC=90-EPA=90-30=60,B在P的南偏东45方向上,FPB=45,灯塔P位于海轮的北偏西45方向上,BPC=90-FPB=90-45=45,在RtAPC中,PAC=90-APC=90-60=30,PC=12AP=1280=40(海里),在RtPCB中,PB=PCcosBPC=4022=402(海里).故灯塔P位于海轮的北偏西45方向,距离海轮402海里处.故选C.8.B如图,在RtACB中,C=90,ABC=45,延长CB至D,使BD=AB,连接AD,BAD=D=22.5,设AC=BC=x,则AB=BD=2AC=2x,CD=BC+BD=(1+2)x,在RtADC中,ta
12、n 22.5=ACCD=x(1+2)x=11+2=2-1,故选B.9.答案 等边三角形解析由题意得cos A-12=0,tan B-3=0,cos A=12,tan B=3,A=60,B=60,C=60,ABC的形状是等边三角形.10.答案 22解析如图,过点A作ADBC,垂足为D,在RtABD中,AB=3,sin B=ADAB=23,AD=ABsin B=323=2,在RtADC中,C=45,sin C=ADAC,AC=ADsin45=222=22.11.答案 1 614解析在RtAOB中,由勾股定理得,OB=AB2OA2=502142=48(米),AF=OE=OB+BC+CE=48+2+C
13、E=50+CE,CDE=45,DEC=90,DCE=45,DE=CE,设DE=CE=x米,则AF=(50+x)米,DF=(x-14)米,ADE=4612,tan 4612=AFDF=50+xx141.04,解得x1 614,CE=1 614米.12.答案 (63+9)解析如图,过点P作PEOB于点E,PFCO于点F,则四边形OEPF是矩形,OF=PE,OE=FP.山坡AP的坡度i=13=tan =13=33,=30,PEOB,AP=6米,PE=12AP=3(米),AE=3PE=33(米),PFOC,CPF=45,PCF是等腰直角三角形,CF=PF,设CF=PF=m米,则OC=(m+3)米,OA
14、=(m-33)米.在RtAOC中,OAC=60,OC=3OA,即m+3=3(m-33),解得m=63+6,OC=63+6+3=(63+9)米,即该居民楼的高度为(63+9)米.13.答案 (38+152)解析如图,过点B作BFDE,垂足为F,过点C作CGBF,垂足为G,过点C作CHDE,垂足为H,则四边形ABFE,四边形CGFH都是矩形,AB=EF=24 cm,CG=HF,BGC=ABF=GCH=90,ABC=135,CBG=ABC-ABF=45,BCG=90-CBG=45,BCD=165,DCH=BCD-BCG-GCH=30,在RtBCG中,BC=30 cm,CG=BCsin 45=3022
15、=152(cm),HF=CG=152 cm,在RtCDH中,CD=28 cm,DH=CDsin 30=2812=14(cm),DE=DH+HF+EF=14+152+24=(38+152)cm.14.答案 55解析设P的坐标为(0,m),ABy轴,APO=90,点A的坐标为3m,m,点B的坐标为12m,m,AP=3m,BP=12m,AB=AP+BP=15m,AOB=90,APO=AOB=90,PAO=OAB,APOAOB,APAO=AOAB,即AO2=APAB=3m15m,AO=35m,在RtAOP中,cos A=APAO=3m35m=55.15.解析(1)原式=2-3+333+2-3=2-3+
16、3+2-3=1.(2)原式=3-21+1-1=1.16.解析(1)a=85,b=815,C=90,c=b2+a2=(815)2+(85)2=165,A=30,B=60.(2)B=45,c=14,C=90,A=45,a=b=1422=72.17.解析(1)证明:ACB=CAD=90,ADCE,AEDC,四边形AECD是平行四边形.(2)EFAB,BFE=90,cos B=45=BFBE,BE=5,BF=4,EF=BE2BF2=5242=3.AE平分BAC,EFAB,ACE=90,EC=EF=3,由(1)知四边形AECD是平行四边形,AD=EC=3.18.解析AB=34 cm,BC=70 cm,A
17、C=AB+BC=34+70=104(cm),由题意知AEC=90.在RtACE中,sinACE=AEAC,AE=ACsin 581040.8588 cm.答:点A到CD的距离AE的长度约为88 cm.19.解析拓展探究如图,过点A作ADBC于点D,设AD=h,在RtABD中,sin B=c,h=csin B.在RtACD中,sin C=b,h=bsin C.csin B=bsin C,bsinB=csinC.同理,过点B作BEAC于点E(图略),可得asinA=csinC.asinA=bsinB=csinC.解决问题A=75,C=60,B=180-A-C=45.根据ABsinC=ACsinB,
18、得AB=ACsinCsinB=60sin60sin45=306(m).答:点A到点B的距离为306 m.20.解析(1)如图,过A作AFDE于F,AFBC.FAC=BCA=30.EAC=EAF+CAF=30+30=60.ACE=180-BCA-DCE=180-30-60=90,AEC=180-EAC-ACE=180-60-90=30.在RtABC中,BCA=30,AB=2,AC=2AB=4.在RtACE中,AEC=30,AC=4,EC=3AC=43.在RtCDE中,sinECD=EDEC,ECD=60,EC=43,sin 60=ED43,ED=43sin 60=4332=6(米).答:树DE的高度为6米.(2)如图,延长NM交BC于点G,则GB=MA=3,MG=AB=2.在RtABC中,AB=2,AC=4,BC=AC2AB2=4222=23.在RtCDE中,CE=43,DE=6,CD=CE2DE2=(43)262=23.GD=GB+BC+CD=3+23+23=3+43.在RtGDN中,NDG=45,NG=GD=3+43.MN=NG-MG=3+43-2=(1+43)米.答:食堂MN的高度为(1+43)米.第 15 页 共 15 页
