1、北京课改版九年级上册数学第十九章二次函数和反比例函数学情评估试卷(满分100分,限时60分钟)一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分)1.(2023山东新泰期末)给出下列函数关系式:y=-12x;y=52x;y=123x;y=1x+2;2xy=1;-xy=2.其中,表示y是x的反比例函数的个数是 ()A.3B.4C.5D.62.(2023北京二十中月考)二次函数y=ax2+bx+c(a0,a,b,c是常数)中,自变量x与函数y的对应值如下表:x-1-120121322523y-2-141742741-14-2则一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c是常数)的两个根x1,x2(x
2、1x2)的取值范围是 ()A.-12x10,32x22B.-1x1-12,2x252C.-1x1-12,32x22D.-12x10,2x2523.(2023广东广州中学期末)对于二次函数y=2(x+3)2+6,下列说法正确的是()A.图象开口向下B.图象的对称轴为直线x=3C.图象的顶点坐标为(3,6)D.当x-3时,y随x的增大而减小4.(2023北京西城期末)抛物线y=-2x2+1通过变换可以得到抛物线y=-2(x+1)2+3,以下变换过程正确的是()A.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位D.先向左平移
3、1个单位,再向上平移2个单位5.(2023北京八十中期中)已知抛物线y=2(x-2)2+1,A(-3,y1),B(3,y2),C(4,y3)是抛物线上三点,则y1,y2,y3按由小到大的顺序排列是()A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y2y1D.y2y30)的图象是()7.(2021江苏盐城建湖二模)如图所示的是某二次函数的部分图象,有如下四个结论:此二次函数表达式为y=-14x2-x+9;若点B(-1,n)在这个二次函数图象上,则nm;该二次函数图象与x轴的另一个交点为(-4,0);当0x5.5时,my8,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.8.(2023北京西城期末)下表记录了二
4、次函数y=ax2+bx+2(a0)中两个变量x与y的5组对应值,其中x1x21,x-5x1x213ym020m根据表中信息,当-52x0时,直线y=k与该二次函数图象有两个公共点,则k的取值范围是()A.76k2B.76k2 C.2k83D.21时,y随x的增大而增大.请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式:.11.(2023重庆黔江武陵初中一模)如图,两个反比例函数y=kx和y=3x在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PCx轴于点C,交C2于点A,PDy轴于点D,交C2于点B,若四边形PAOB的面积为5,则k=.12.(2022山东威海中考)正方形ABCD在平面直角坐标系
5、中的位置如图所示,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4).若反比例函数y=kx(k0)的图象经过点C,则k的值为.13.【数形结合思想】(2023四川成都温江期末)已知二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m,将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线y=x+m与这个新图象有四个交点时,m的取值范围是.14.【规律探究题】如图,在抛物线y=x2的内部依次画正方形,使对角线在y轴上,另两个顶点落在抛物线上.按此规律类推,第2 023个正方形的边长是.三、解答题(共44分)15.(2023北京通州期末)(6分)如图,已知反比
6、例函数y=kx(x0)的图象与一次函数y=-x+b的图象交于点A(1,4),点B(4,n).(1)求n和b的值;(2)观察图象,不等式kx-x+b的解集为.16.(2022北京西城期末)(6分)已知二次函数y=x2-2x-3.(1)将y=x2-2x-3化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出它的图象的顶点坐标;(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象;(3)当-1x2时,结合图象,直接写出函数值y的取值范围.17.(2023北京东城期末)(7分)掷实心球是中考体育考试项目之一,实心球投掷后的运动轨迹可以看做是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,从投掷到着陆的过程中,实心球的竖直
7、高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a0).某位同学进行了两次投掷.(1)第一次投掷时,实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:水平距离x/m0246810竖直高度y/m1.672.632.952.631.670.07根据上述数据,直接写出实心球竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(a”“=”或“”).18.(2023北京八十中期中)(7分)如图,预防新型冠状病毒感染期间,某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区,隔离区一面靠墙(墙长8米),隔离区分成两个区域,中间用塑料膜隔开.已知整个隔离区塑料膜总长为12 m,如果隔
8、离区出入口的大小不计,并且隔离区靠墙的面不能超过墙长.(1)设垂直于墙的一边AB的长度为x m,整个隔离区的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;(2)求整个隔离区的面积的最大值.19.【分类讨论思想】(2023北京一六一中学分校期中)(8分)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),如果点Q(x,y)的纵坐标满足y=xy(当xy时),yx(当xy时),那么称点Q为点P的“关联点”.(1)请直接写出点(3,5)的“关联点”的坐标;(2)如果点P在函数y=x-2的图象上,其“关联点”Q与点P重合,求点P的坐标;(3)如果点M(m,n)的“关联点”N在函数y=2x2的图象
9、上,当0m2时,求线段MN的最大值.20.(2023北京交大附中月考)(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,-2),(2,-2).(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴;(2)若此抛物线与直线y=-6没有公共点,求a的取值范围;(3)点(t,y1),(t+1,y2)在此抛物线上,且当-2t4时,都有|y2-y1|72,直接写出a的取值范围.答案全解全析1.B是正比例函数,既不是正比例函数也不是反比例函数,都是反比例函数.故选B.2.D函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标
10、为0,由题表中数据可知,y=0在y=-14与y=1之间,对应的x的值在-12与0之间,-12x10.y=0在y=1与y=-14之间,对应的x的值在2与52之间,2x20,图象的开口向上,对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,6),当x0,抛物线开口向上,对称轴为直线x=2,点A(-3,y1),B(3,y2),C(4,y3)到对称轴的距离分别为5、1、2个单位,根据二次函数的图象开口向上,点到对称轴的距离越小,y值就越小可得y2y30时,反比例函数y=4x的图象是D选项中的图象,故选D.7.C由题中图象的顶点为(2,9)可设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+9,将(8,0)代入y=a(x-2
11、)2+9得0=36a+9,解得a=-14,y=-14(x-2)2+9=-14x2+x+8,故错误.由题中图象知对称轴为直线x=2,5.5-22-(-1),点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离,nm,故正确.图象对称轴为直线x=2,且抛物线与x轴的一个交点为(8,0),图象与x轴的另一个交点为(-4,0),故正确.由题中图象可得当x=0时,y=8,当x=5.5时,y=m,当x=2时,y=9,当0x5.5时,my9,故错误.故选C.8.C由题表中信息可知:抛物线经过点(-5,m)和(3,m),抛物线的对称轴为直线x=5+32=-1,-b2a=-1,b=2a.抛物线经过点(1,0),a+b+2=
12、0,联立b=2a,a+b+2=0,解得a=23,b=43,抛物线的解析式为y=-23x2-43x+2=-23(x+1)2+83,该抛物线的顶点坐标为1,83,抛物线的开口向下,易知抛物线经过(0,2),52,76,当-52x0时,直线y=k与该二次函数图象有两个公共点,2k1时,y随x的增大而增大,抛物线解析式中的二次项系数a0,对称轴x=-b2a1.图象过原点,抛物线解析式中的常数项c=0.解析式为y=x2-x.(答案不唯一)11.答案 8解析PCx轴,PDy轴,S矩形PCOD=k,SAOC=SBOD=123=32,四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-SAOC-SBOD,k-32-32=5
13、,解得k=8.12.答案 24解析如图,作CEy轴于E,四边形ABCD是正方形,ABC=90,AB=BC,OBA+CBE=90,OBA+OAB=90,OAB=CBE,AOB=CEB=90,AOBBEC(AAS),OA=BE,OB=CE,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),OA=2,OB=4,BE=2,CE=4,C(4,6),反比例函数y=kx(k0)的图象经过点C,k=46=24.13.答案 -3m-2解析如图所示,令y=-x2+x+2=0,解得x=-1或2,点B的坐标为(2,0),将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的表达式为y=(x-2)(x+1)=x2-x
14、-2,当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-2有唯一公共点时,方程x+m=x2-x-2有两个相等实数解,方程整理得x2-2x-2-m=0,由=b2-4ac=4+4(2+m)=0,解得m=-3,当直线y=x+m过点B时,0=2+m,解得m=-2,当直线y=x+m与新图象有四个交点时,m的取值范围为-3m-x+b的解集为x4或0x1.16.解析(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.该函数图象的顶点坐标为(1,-4).(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4=(x-3)(x+1),该函数图象的顶点坐标为(1,-4),与x轴的交点为(3,0),(-1,0),易知图象也经过点(0,-3)和点(2
15、,-3),画出函数图象如图所示.(3)当-1x2时,由图象可知,y的取值范围是-4y0,x=4+5904,第二次投掷时,y=-0.09(x-3.8)2+2.97,当y=0时,-0.09(x-3.8)2+2.97=0,解得x=3.833,x0,x=3.8+33,d1=4+59044+5764=4+244=10,d2=3.8+33d2.18.解析(1)AB=x m,BC=(12-3x)m,S=x(12-3x),化简得S=-3x2+12x,根据题意,得不等式组123x8,123x0,解得43x4,S与x之间的函数关系式为S=-3x2+12x,x的取值范围为43x4.(2)S=-3x2+12x=-3(
16、x-2)2+12,43x4,当x=2时,S的值最大,为12.答:整个隔离区的面积的最大值为12 m2.19.解析(1)3x-2,点Q的坐标为(x,2).又点P与点Q重合,x-2=2,解得x=4,点P的坐标是(4,2).(3)由关联点的定义,得第一种情况:当mn时,点N的坐标为(m,m-n),N在函数y=2x2的图象上,m-n=2m2,即n=-2m2+m,yM=-2m2+m,yN=2m2,MN=|yM-yN|=|-4m2+m|,当0m14时,-4m2+m0,MN=-4m2+m=-4m182+116,当m=18时,线段MN有最大值,是116;当14m2时,-4m2+m0,MN=4m2-m=4m18
17、2-116,当m=2时,线段MN有最大值,是14.第二种情况:当mn时,点N的坐标为(m,n-m),N在函数y=2x2的图象上,n-m=2m2,即n=2m2+m,yM=2m2+m,yN=2m2,MN=|yM-yN|=|m|,0m2,MN=m,当m=2时,线段MN有最大值,是2.综上所述,当mn时,线段MN的最大值是14,当mn时,线段MN的最大值是2.20.解析(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,-2),(2,-2),4a+2b+c=2,c=2,解得b=2a,c=2,抛物线的解析式为y=ax2-2ax-2,抛物线的对称轴为直线x=-2a2a=1,故c的值为-2,抛物线的对称轴为直线x=
18、1.(2)把y=-6代入y=ax2-2ax-2,得ax2-2ax-2=-6,整理得ax2-2ax+4=0,抛物线与直线y=-6没有公共点,=(-2a)2-4a40,即a(a-4)0,a0,当a0,即a4,此时,无解;当a0时,a-40,即a4,0a4.综上所述,a的取值范围为0a4.(3)点(t,y1),(t+1,y2)在此抛物线上,y1=at2-2at-2,y2=a(t+1)2-2a(t+1)-2=at2-a-2,|y2-y1|=|(at2-a-2)-(at2-2at-2)|=|a(2t-1)|,当-2t4时,都有|y2-y1|72,-72a(2t-1)72,a2-74ata2+74,a0,当a0时,12+74at12-74a,12+74a4,解得-12a0时,12-74at12+74a,1274a4,解得0a12.综上所述,a的取值范围是-12a0或0a12.第 17 页 共 17 页
