1、沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形学情评估试卷(满分150分,限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果RtABC的各边长都扩大为原来的3倍,那么锐角A的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30、cos 16、cos 43之间的大小关系是()A.cos 43cos 16sin 30B.cos 16sin 30cos 43C.cos 16cos 43sin 30D.cos 43sin 30cos 163.(2023安徽巢湖三中月考)若
2、sin(70-)=cos 50,则锐角的度数是()A.50B.40C.30D.204.在ABC中,C=90,tan A=2,则cos A的值为()A.55B.255C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中,值为14的是()A.sin 45cos 45B.tan 45-cos230C.tan30cos60D.(tan 60)-16.如图,在RtABC中,ACB=90,B=,CDAB,垂足为D,那么下列线段的比值不一定等于sin 的是()A.ADBDB.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图,将ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中,点A,B,C均在格点上
3、,则tan A的值是()A.55B.12C.2D.1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示,它是一个轴对称图形,已知AB=3 m,ABC=,则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin )mB.(4+3tan )mC.4+3sinmD.4+3tanm9.(2023安徽合肥庐江期末)如图,在ABC中,sin B=12,AB=8,AC=5,且C为锐角,cos C的值是()A.35B.45C.32D.3410.【新情境双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm,双翼的边缘AC=BD=64 cm,且与闸机侧立面夹角PCA=BDQ=
4、30.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(642+12)cmC.(643+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如果tan =1,那么锐角=度.12.如图,RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,BC=6,AC=8,设BCD=,则tan =.13.如图,已知tan O=43,点P在边OA上,OP=5,点M、N在边OB上,PM=PN,如果MN=2,那么PM=.14.如图,在ABC中,ACB=90,cos A=35,BC=12,D是AB的中点,过点B作线段CD的垂线,交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)c
5、osDBE的值为.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:2cos 30-tan2603tan45+(sin601)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,某数学兴趣小组在尝试计算tan 15时,采用以下方法:如图,在RtACB中,C=90,ABC=30,延长CB使BD=AB,连接AD,得D=15,设AC=1,则AB=2,BC=3,所以tan 15=ACCD=12+3=23(2+3)(23)=2-3,类比这种方法,计算tan 22.5的值(画出计算所需图形,并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17
6、.(2021广东潮州中考)如图,在RtABC中,A=90,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.(1)若AE=1,求ABD的周长;(2)若AD=13BD,求tanABC的值.18.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB,将它的上端A靠着墙面,下端B放在地面上,梯子与地面所成的角记为,地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足5075时,人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时,人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子,且梯子顶端A离地面最高时,梯子开始下滑,如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止,梯子
7、底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示),此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 500.77,cos 500.64,sin 750.97,cos 750.26)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为53和45,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为75米,又知此时地面气温为20 ,海拔每升高100米,气温会下降约0.6 ,试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.参考数据:sin5345,cos5335,tan534320.【方程思想】李老师给班级布
8、置了一个实践活动,测量某广场纪念碑的高度,使用卷尺和测角仪测量.如图,纪念碑设在1.2 m的石台上,他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22,然后沿水平方向前进21 m,到达点N处,在点C处测得点A的仰角为45,BM=CN=1.7 m,求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40,21.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育生命安全与健康】某校为检测师生体温,在校门安装了某型号测温门,如图,已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间,做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N
9、处时测温门开始显示额头温度,此时在额头B处测得A的仰角为20,在地面M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰角为60.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36,31.73,额头到地面的距离以身高计,计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45,已知山坡AB的坡度i=13,AB=16米,AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高
10、度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:21.414,31.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量,活动过程如下:(1)探究原理制作测角仪时,将细线一端固定在量角器圆心O处,另一端系小重物G.测量时,使支杆OM、量角器90刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图),绕点O转动量角器,使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图),此时目标P的仰角POC=GON.请说明这两个角相等的理由;(2)实地测量如图,公园广场上有一棵树,为测树高,同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角POQ=60,观测点与树的距离KH为5米,点O到地面的距离OK为1
11、.5米,求树高PH;(31.73,结果精确到0.1米)(3)拓展探究公园高台上有一凉亭,为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图),同学们经过讨论,决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上),分别测得点P的仰角为、,再测得E、F间的距离为m米,点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米.求PH(用、m表示).答案全解全析1.CRtABC的各边长都扩大为原来的3倍后,所得的三角形与RtABC是相似的,锐角A的大小是不变的,锐角A的正弦值、余弦值没有变化.2.Csin 30=cos 60,1643cos 43sin 30.3.Csin(70-)=cos 50,70-+50=
12、90,解得=30.故选C.4.A在ABC中,C=90,设A、B、C的对边分别为a、b、c,因为tan A=ab=2,所以a=2b,由勾股定理得c=a2+b2=5b,所以cos A=bc=b5b=55.5.Bsin 45cos 45=2222=12,故A不符合题意;tan 45-cos230=1-322=1-34=14,故B符合题意;tan30cos60=3312=23 3,故C不符合题意;(tan 60)-1=(3)-1=33,故D不符合题意.6.AADBD不一定等于sin ,故A符合题意;ABC是直角三角形,sin =ACAB,故B不符合题意;CDAB,ACB=90,ACD+A=B+A=90
13、,ACD=B,sin =ADAC,故C不符合题意;BCD是直角三角形,sin =CDBC,故D不符合题意.7.B如图,取格点D,连接BD,由题意得AD2=22+22=8,BD2=12+12=2,AB2=12+32=10,AD2+BD2=AB2,ABD是直角三角形,ADB=90,在RtABD中,AD=22,BD=2,tan A=BDAD=222=12.8.A过点A作ADBC于点D,如图,ADBC,ABC=,sin =ADAB=AD3,AD=3sin m,房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3sin )m.9.A如图,过点A作ADBC,垂足为D,ADB=ADC=90,在RtABD中,sin
14、B=12,AB=8,AD=ABsin B=812=4,在RtADC中,AC=5,CD=AC2AD2=5242=3,cos C=CDAC=35.10.A如图所示,过A作AECP于E,过B作BFDQ于F,在RtACE中,AE=12AC=1264=32(cm),同理可得BF=32 cm,点A与B之间的距离为12 cm,通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析tan =1,锐角=45度.12.34解析CDAB,ACB=90,+B=A+B=90,=A,tan =tan A=68=34.13.17解析如图,过P作PDOB,交OB于点D,tan O=PDOD=43,设PD=4
15、x,则OD=3x,OP=5,由勾股定理得(3x)2+(4x)2=52,x=1(已舍负),PD=4,PM=PN,PDOB,MN=2,MD=ND=12MN=1,在RtPMD中,由勾股定理得PM=MD2+PD2=17.14.(1)152(2)2425解析(1)在RtABC中,cos A=ACAB=35,设AC=3x,则AB=5x,BC=AB2AC2=(5x)2(3x)2=4x,BC=12,4x=12,x=3,AB=15,AC=9,D是AB的中点,CD=12AB=152.(2)ACB=90,D是AB的中点,CBD的面积=12ABC的面积,12CDBE=1212ACBC,152BE=12912,BE=3
16、65,在RtBDE中,cosDBE=BEBD=365152=2425.15.解析原式=232-(3)231+1-32=3-1+1-32=32.16.解析如图,在等腰直角ABC中,C=90,延长CB至点D,使得AB=BD,则BAD=D.ABC=45=BAD+D=2D,D=22.5,设AC=1,则BC=1,AB=2AC=2,CD=CB+BD=CB+AB=1+2,tan 22.5=tan D=ACCD=11+2=21(1+2)(21)=2-1.17.解析(1)如图,连接BD,设BC的垂直平分线交BC于点F,BD=CD,CABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC.AB=CE,CABD=A
17、C+CE=AE=1,故ABD的周长为1.(2)设AD=x,BD=3x.BD=CD,AC=AD+CD=4x,在RtABD中,AB=BD2AD2=(3x)2x2=22x,tanABC=ACAB=4x22x=2.18.解析(1)在RtAOB中,cos =OBAB,OB=ABcos ,当=50时,OB=ABcos 60.64=3.84,当=75时,OB=ABcos 60.26=1.56.1.562.53.84,此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当ABO=75时,sinABO=AOAB,AO=ABsin 7560.97=5.82(米),梯子顶端A沿着墙面下滑1.5
18、米到墙面上的D点,OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当ABO=50时,sinABO=AOAB,AO=ABsinABO60.77=4.62(米),4.324.62,此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作ADBC,交CB的延长线于点D,如图所示,则ACD=45,ABD=53,在RtACD中,tanACD=ADCD,CD=ADtan45=AD1=AD,在RtABD中,tanABD=ADBD,BD=ADtan53AD43=34AD,由题意得AD-34AD=75,AD=300 m,此时地面气温为20 ,海拔每升高100米,气温会下降约0.6 ,此时热气球(体积忽略不计)附近的温
19、度约为20-3001000.6=18.2().答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 .20.解析延长BC交AF于E,延长AF交MN的延长线于D,如图,则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形,BC=MN=21 m,DE=CN=BM=1.7 m,AEC=90,ACE=45,ACE是等腰直角三角形,CE=AE,设AE=CE=x m,BE=(21+x)m,ABE=22,tan 22=AEBE=x21+x0.40,解得x=14,AE=14 m,AD=AE+ED=14+1.7=15.7(m),纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m).答:纪念碑的高度约为14.5 m.21.解析延长B
20、C交AD于点E,则DE=CM=BN=1.6 m,BC=MN,AEB=90,AD=2.2 m,AE=AD-DE=2.2-1.6=0.6(m),在RtACE中,ACE=60,CE=AEtan60=0.630.35(m),在RtABE中,ABE=20,BE=AEtan200.60.361.67(m),MN=BC=BE-CE=1.67-0.35=1.32(m),有效测温区间MN的长度约为1.32 m.22.解析(1)RtABH中,tanBAH=13=33,BAH=30,BH=12AB=8米.(2)如图,过B作BGDE于G,由(1)得BH=8米,易得AH=83米,BG=HE=AH+AE=(83+24)米
21、,在RtBGC中,CBG=45,CG=BG=(83+24)米.在RtADE中,DAE=60,AE=24米,DE=3AE=243米.CD=CG+GE-DE=83+24+8-243=32-1634.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)COG=90,AON=90,POC+CON=GON+CON,POC=GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米,QH=OK=1.5米,PQO=90,POQ=60,在RtPQO中,tanPOQ=PQOQ,tan 60=PQ5,PQ=53米,PH=PQ+QH=53+1.510.2(米),即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米,O1E=O2F=DH=1.5米,tan =PDO2D,tan =PDO1D,O2D=PDtan,O1D=PDtan,O1O2=O2D-O1D,m=PDtan-PDtan,PD=mtantantantan米,PH=PD+DH=mtantantantan+1.5米.第 17 页 共 17 页
