1、 学科网（北京）股份有限公司 绝密启用前绝密启用前 辽宁省名校联盟辽宁省名校联盟 2024 年高二年高二 9 月份联合考试月份联合考试 数学数学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知复数2i1 iz+=+，则z的虚部是（）A12 B12 C1i2 D1i2 2已知向量()1,2a=，()2,1b=，()3,4c=，若()abc+，则=（）A1 B2 C25 D52 3 用 斜 二 测 画 法 画 出 水 平 放 置 的 平 面 图 形OAB的 直 观 图 为 如 图 所 示的O A B ，已 知2O DD BD AA B =，则OAB的面积为（）A4 6 B2 3 C8 D4 3 4已知()tan3=，则21sin2cos的值是（）A2 B-2 C87 D107 5已知0.13a=，0.313b=，0.
3、1log3c=，则 a，b，c 的大小关系是（）Aabc Bbac Ccab Dcba 学科网（北京）股份有限公司 62024 年 7 月，第 17 届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以 7 战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007 年，不满 17 岁就参加欧洲杯的天才少年拉明亚马尔获得 1 个进球，4 个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录 据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业如图，已知足球比赛的球门宽度 AB 大约为7 米，D 在场地的底线上，与点 B 距离 5 米，CD 与底线垂直，CD
4、 长为 15 米，若在训练中，球员亚马尔从点 C 开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度（APB），则他需要带球的距离 CP 大约是（参考数据：153.9）（）A3.6 米 B3.9 米 C7.2 米 D7.8 米 7已知关于 x 的方程()3 1 sincosxx=在()0,内恰有 3 个不相等的实数根，则的取值范围是（）A13 5,62 B13 5,62 C5 19,26 D5 19,26 8已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E，F 分别是棱 AD，11BC上的动点，若正方体1111ABCDABC D的外接球的球心是1O，三棱锥FBCE的
5、外接球的球心是2O，则12OO的最大值是（）A2 B22 C24 D3 24 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分在每小题给出的选项中分在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分分部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分 9下列幂函数中，既是奇函数，又在()0,+上单调递增的是（）A13yx=B13yx=C32yx=D53yx=10在ABC中，2ACBC=，2AB=，ABD是有一个角是 30的直角三角形，若二面角DABC是直二面角，则 DC 的长可以是（）A2
6、 B213 C303 D14 学科网（北京）股份有限公司 11在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知sincostanaBBCc=+，2228ab+=，则 c 可能为（）A5 B51 C2 D2 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分 12函数()()ln 2cos1f xx=的定义域是_ 13已知 i 是虚数单位，复数 z 满足42izzz=+=+，则z=_ 14 在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，E 是棱 PA 的中点，F 在棱 BC 上，满足2CFFB=，G 在棱 PB 上，满足 D，E，
7、F，G 四点共面，则PGPB的值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题小题，共共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）已知圆锥的底面半径为 2，高为 4，D 是母线 PA 的中点，C 在底面圆周上，OCAB（1）求圆锥的表面积和体积；（2）求 DC 与平面 ABC 所成角的正弦值 16（15 分）已知向量()3cos,2cosaxx=，()2sin,cosbxx=（1）若ab=，,2x，求tan2x的值；（2）设函数()f xa b=，求()f x图像的对称中心坐标，并写出()f x的图像经过怎样的平移变换，可以
8、得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）17（15 分）在ABC中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，3AB AC=，916EB EC=（1）求 AD 和 BC 的长；（2）若60BAC=，BAC 的平分线交 BC 于点 F，求 AF 的长 学科网（北京）股份有限公司 18（17 分）已 知 在 四 棱 锥PABCD中，底 面 ABCD 是 梯 形，ABDC，ABAD，3AD=，22PBPCDCAB=，M 是棱 PD 的中点（1）求证：AM 平面 PBC；（2）在棱 BC 上是否存在点 N，满足MNPD且MNBC丄?若存在，确定点 N 的位置并给出证明；若不存在，请说明理由；（3
9、）若1PD=，求点 D 到平面 PBC 的距离 19（17 分）通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式 例如：()()22cos3cos 2cos2 cossin2 sin2cos1 cos2sincos=+=34cos3cos（1）根据上述过程，推导出sin3关于sin的表达式；（2）求sin18的值；（3）求333sin 126sin 6sin 66+的值 参考答案及解析参考答案及解析 一、选择题一、选择题 1A【解析】()()()()2i1 i2i31i1 i1 i1 i22z+=+，所以31i22z=+，虚部为12故选 A 项 2B【解析】()2,21ab+=+，因
10、为()abc+，所以()()()3 24 21abc+=+=5100+=解得2=故选 B 项 3A【解析】因为2O DD BD AA B =，所以O A B 是直角三角形且90O B A =，可得2 3O B =，所以O A B 的面积12 32SO BA B =，则OAB的面积2 24 6SS=故选A 项 4D【解析】因为()tantan3=，所以tan3=，则 学科网（北京）股份有限公司 22221sincossin2cos2sincoscos+=2tan1102tan17+=故选 D 项 5D【解析】因为函数3xy=在 R 上单调递增，所以0.30.30.10.11log30333=，即
11、cba故选 D 项 6 C【解析】设PDx=，()0,15x，12tanADAPDPDx=，同理可得5tanBPDx=，则tanAPB=()125777 15tan12 560602 601xxAPDBPDxxxx=+，当且仅当60 xx=，即2 15x=时等号成立，此时152 15152 3.97.2CP=故选 C 项 7B【解析】原方程可整理为3sin62x+=，由()0,x，可得,666x+，因为方程有 3 个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得78363，即1cos2x，所 以2,2 33xkk+，kZ 135【解析】由复数的几何意义及4zz=+，可得在复平面内复数 z 对应的点(
12、),Z x y到()0,0O和()4,0A 的距离相等，所以 Z 在线段 OA 的垂直平分线上，即2x=，同理，由2izz=+，可得1y=，学科网（北京）股份有限公司 所以2iz=，故4 15z=+=1434【解析】如图，延长 DF，交 AB 的延长线于点 Q，连接 EQ，EQ 与 PB 的交点即为 G，取 AB 的中点 M，连接 EM，易得12BGEM=，12EMPB=，所以14BGPB=，故34PGPB=四、解答题四、解答题 15解：（1）圆锥的母线222 5PBPOOB=+=，则圆锥的表面积()222 2 544 5 S=+=+，圆锥的体积21162433V=（2）取 AO 的中点 E，
13、连接 DE，CE，因为 D，E 分别是 PA，OA 的中点，所以DEPO，所以DE 平面 ABC，所以 CE 是 DC 在平面 ABC 内的射影，所以DCE 是 DC 与平面 ABC 所成角，又122DEPO=，225CEOCOE=+=，所以223DCDECE=+=，可得2sin3DEDCEDC=，即 DC 与平面 ABC 所成角的正弦值是23 16解：（1）由ab=，可得22223cos4cos4sincosxxxx+=+，整理得226cos4sinxx=，即23tan2x=，学科网（北京）股份有限公司 因为,2x，所以tan0 x，所以51sin184=（用几何法求出也给分）（3）由（1）得331sinsinsin344=，所以333sin 126sin 6sin 66+313131sin126sin378sin6sin18sin66sin198444444=+()()31sin126sin6sin66sin378sin18sin19844=+()()()()31sin 1206sin6sin 606sin 36018sin18sin 1801844=+331313cos6sin6sin6cos6sin6sin18422224=+333 5sin18416=
